PraktykumD+ICh

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

131

ymin(1) 21 .

11.3. Знайти найбільше та найменше значення функції

y x4 8x2 3, x [ 1; 2].

Розв’язання. [2.9.12.] 

Функція y неперервна на відрізку [ 1; 2].

[Крок 1. Знаходимо критичні точки 1-го порядку функції в ( 1; 2). ] y 4x3 16x 4x(x2 4).

y 0 x1 2, x2 0, x3 2; y , x ( 1; 2).

x1, x3 ( 1; 2); x2 ( 1; 2).

[Крок 2. Обчислюють значення функції у знайдених критичних точках і на кін-

цях відрізку.]

y( 1) 4; y(0) 3; y(2) 13.

[Крок 3. Серед обчислених значень функції вибирають найбільше та найменше значення функції на відрізку.]

max y y(0) 3;

[ 1,2]

min y y(2) 13.

[ 1,2]

11.4. Довести нерівність x x2 ln(1 x) x, x 0. 2

Розв’язання. [2.9.4, 2.9.5.]

Розгляньмо функцію

y(x) ln(x 1) x.

І дослідімо її на локальний екстремум.

			1					x
	y		x 1			1	x 1 0 x 0.

Функція спадає на (0; ) і отже, своє найбільше значення вона набуває у точ-

ці x 0 : y(0) 0.

Звідси випливає, що y(x) 0 або

ln(x 1) x 0 x 0.

Розгляньмо функцію

y(x) ln(x 1) x x2 . 2

Дослідімо її на локальний екстремум.

132 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

			1					x2
	y (x)					1 x			0 x 0.
				x 1				x 1
Функція зростає на (0; ) і,						отже, своє найменше значення набуває у точці
x 0: y(0)	0. Звідси випливає, що y(x) 0 або
			ln(x 1) x				x2	0 x 0.
							2
11.5. Знайти інтервали опуклості							і точки перегину графіка функції
y	1	.
	1 x2

Розв’язання. [2.9.8, 2.9.9, 2.9.11.]

[Крок 1. Знаходимо область означення функції.]

D(f ) ( ; ).

[Крок 2. Знаходимо критичні точки 2-го порядку функції.]

2x

6x2 2

f

(x) (1 x2)2 ,

f (x) (1 x2)3 .

f

0

6x

2

2

0; x1,2

1

(x)

3

;

f

x .

(x)

[Крок 3. Досліджуємо знак другої похідної в кожному інтервалі.]

знак

f

поведінка f

1

1

x

3

3

[Крок 4. Висновуємо про поведінку функції в кожному інтервалі.]

Отже, графік функції y f(x) :

1

1

опуклий донизу в

;

; ;

3

3

1

1

опуклий догори в

;

.

3

3

1

Точки перегину — M

3

;

.

3

4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

11.6.

Покажіть,

що

функція

y 2x 3

3x 2

12x 1

спадає в

інтервалі

( 2;1).

Покажіть,

що функція y

зростає в інтервалі (0;1)

і спадає в

11.7.

2x x 2

інтервалі (1; 2). Побудуйте графік цієї функції.

11. Дослідження функцій за допомогою похідних

133

11.8. Покажіть, що функція:

1) y x 3

x скрізь зростає;

2) y arctg x x скрізь спадає.

11.9. Знайдіть інтервали монотонності і точки екстремумів функції:

1)	y (x 2)5(2x 1)4;			2)	y 3 (2x a)(a x)2	(a 0);
3) y x ex ;				4) y x 2e x ;
5) y		x	;	6) y 2x2 ln x;
		ln x
7)	y x 2 sin x (0 x 2 );			8)	y x cos x;

11.10. Знайдіть найбільше та найменше значення функцій на зазначеному відрізку:

1) y x 4 2x2 5,[ 2; 2];

3)y 100 x2,[ 6; 8];

11.12.Доведіть правдивість нерівностей:

1)2x arctg x ln(1 x2);

2)	y x 2 x,[0; 4];
4)	y sin 2x x,					;
							.
				2			2
2)	sin x tg x 2x				0		x
								.
								2

11.13.Визначте висоту конуса, вписаного в кулю радіусом R, з найбільшою бічною поверхнею.

11.14.Знайдіть висоту прямого колового конуса, описаного навколо кулі радіусом R, найменшого об’єму.

11.15.Покажіть, що графік функції

1) y x arctg x скрізь угнутий;

2) y ln(x2

1) скрізь опуклий.

11.16.Знайдіть інтервали угнутості й опуклості графіка функції, та точки перегину:

1)	y x 3 5x2 3x 5;					2)	y x 4 12x 3 48x2 50;
3)	y ln(1 x2);					4)	y x 4(12 ln x 7);
5) y 3			3			6) y xe2x 1.
		x 1		x 1;

134 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Відповіді

											1		11								1			11										1											11
11.9. 1) ;																; ,							;						, xmax								, xmin									; 2) ;							2a		(a; ) ,
											2			18								2			18										2										18
																																																					3
2a		;a					, xmin				a, xmax						2a	;		3) ( ; 0)									, (0; ) ,						xmax 0;
3
															3
4) ( ; 0) (2; ) ,															(0;2) ,					xmax 2, xmin 0; 5)													(0;1) (1;e) ,													(e; ) , xmin e;
		1					1											1												5						5														5
6)		0;					,			; ,					xmin					; 7)	0;										; 2		,						;				,		xmax							,	xmin					;
			2						2										2					3						3						3					3										3					3
8) монотонно зростає.
11.10. 1) max y 13, min y 4; 2)																					max y 8, min y 0;
							[ 2;2]						[ 2;2]								[0;4]								[0;4]
3) max y 10, min y													6; 4)						max		y								, min			y								.
																																						2
	[ 6;8]									[ 6;8]							[ 2;				2]			2					[ 2;			2]
11.13.					4R			. 11.14. 4R.
															; ,
							3
							5						5																5				250											;2				,			2; 4			,(4; ) ,
11.16. 1) ; 3 ,													3							точка перегину 3 ;													27 ; 2)

точки перегину (2; 62),(4;206);

3); 1 , 1;1 ,(1; ) , точки перегину ( 1; ln 2);

4)(0;1) ,(1; ) , точка перегину (1; 7);

5)( ; 1),(1; ) ,( 1;1) , M1,2( 1; 32) — точки перегину;

6)( ; 1) , ( 1; ) , M( 1;1 e 2 ) — точка перегину.

12.Побудова графіків функцій

Навчальні задачі

12.1.Знайти рівняння асимптот графіка функції y x3 2 .

x2 4

Розв’язання. [2.8.5, 2.8.6.]

[Крок 1. Визначаємо область означення.]

Область означення функції D(y) ( ; 2) ( 2; 2) (2; ).

[Крок 2. Досліджують поведінку функції у граничних точках області означення.]

Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :

lim	x 3	2	,
		4
x 2 0 x2
lim	x 3	2	.
		4
x 2 0 x2

Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції. Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :

12. Побудова графіків функцій

135

lim

x3

2

,

4

x 2 0 x2

lim

x 3

2

.

4

x 2 0 x2

Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.

Дослідімо поведінку

функції,

коли

x ,

шукаючи

похилу асимптоту

y kx b :

k lim

x 3 2

1,

x x(x2 4)

x

3

2

x

3

2 x

3

4x

b lim

x

lim

2

2

x

4

x

x

4

x

4x 2

lim

0.

4

x

2

x

Так само, k 1,b 0.

Отже, y x є похилою (двобічною) асимптотою графіка функції.

12.2. Дослідити функцію та побудувати її графік:

			x3					2 3		2 3
1) y						;		2) y (x 1)		(x 2)	;
		3 x2
3)	y		ex 2		;			4) y x arctg x;
		x 2
5)		1
	y						.
			x2 1

Розв’язання. [2.9.13.]

1) [Крок 1. Знаходимо область означення функції.]

D(f ) ( ; 3) ( 3; 3) (3; ).

[Крок 2. Встановлюємо можливі симетрії графіка функції.]

Функція f непарна, оскільки D(f ) симетрична та

f ( x)		( x)3			x3	f (x).
		( x)2			x2
1			1

Графік функції симетричний щодо початку координат.

[Крок 3. Визначаємо можливі точки розриву функції і асимптоти графіка функції.]

Дослідімо поводження функції на межах області означення — в околах точок x 3 та .

(3 x2)3

136 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

lim			x3		,	lim			x 3	;
			x2						x2
x 3 0 3						x 3 0 3
lim			x 3		,	lim			x3	.
			x2						x2
x 3 0 3						x 3 0 3

Точки x 3 — точки розриву 2-го роду (нескінченного). Прямі x 3

та x 3 — двобічні вертикальні асимптоти. Шукаємо похилі асимптоти y kx b :

lim

f(x)

lim

x2

1;

x

3 x

2

x

x

x

3

3x

b

lim (f (x) kx) lim

lim

0.

x

x

x

x

2

x

3 x

2

3

Пряма y x — двобічна похила асимптота.

[Крок 4. За допомогою першої похідної функції визначаємо інтервали монотонності і точки екстремуму.]

				3x2(3 x2) 2x 4	x2(9 x2)
	y			(3 x2)2	(3 x2)2 .
					y 0 x 0, x 3;
					y x	3.

y
y	3			0 3		3	x
		3
	min				max

У точці x 3 функція f досягає максимуму

ymax y(3) 92 ,

а в точці x 3 функція досягає мінімуму

ymin y( 3) 92 .

[Крок 5. За допомогою другої похідної функції визначаємо інтервали опуклості функції і точки перегину.]

y (18x 4x3)(3 x2)2 (9x2 x4 )2(3 x2)( 2x) 6x(9 x2) . (3 x2)4

12. Побудова графіків функцій			137
y 0, x ( ; ) x 0;				y

y , x ( ; ) x 3.

y

3

3

y

0

x

3

3

O

x

т. перегину

Точка O(0; 0) є точкою перегину функції.

[Крок 6. Знаходять можливі точки перетину

графіка функції з осями координат.]

Рис. до зад. 12.2.1)

[Крок 7. Будуємо графік функції y f (x). ]

2) 1. D(y) ( ; ).

2.f ( x) ( x 1)23 ( x 2)23 f (x).

3.y kx b :

k

lim

(x 1)2 3

(x 2)2 3

0;

x

x

3

b

lim

(x 1)2

3 (x 2)2

x

lim

(x 1)2

(x 2)2

lim

3x

0;

3 (x 1)2 3(x 2)2

3 (x 2)4 3

x (x 1)4

x 3x 4 3

y 0 — горизонтальна асимптота.

2

(x

1 3

(x

1 3

2)

1)

4. y

1 3

1 3

.

3

(x 1)

(x 2)

y 0 (x 2)1 3 (x 1)1 3 x ;

y x1 1, x2 2.

y

y

2

1

x

max

min

ymin ( 1) 1; ymax ( 2) 1.

2

4 3

(x

4 3

(x 2)

1)

5. y

4 3

4 3

.

9

(x 1)

(x 2)

y 0 (x 2)4 3

x 2

x 1,

x

3 .

(x 1)4 3

x

1

2

x 2

y x1 1, x2 2.

138 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

						y
						y	2 23		1 x
								т. перегину								y
			3
														1
y					0.
			2			3									3
6. y 0 x													2			1 O x
						2 .								2

x 0 y 1 34 0, 58.

Рис. до зад. 12.1.2)

3) 1. D(y) ( ; 2) ( 2; ).

e x 2

2. y( x) x 2 y(x).

3. x : y kx b :

k		lim		ex 2				0;
					2)
	x x(x
b		lim		ex 2		0.
		x x 2
x : y kx b :

k

lim

ex 2

lim

ex 2

.

2)

2

x x(x

x

y 0 — ліва горизонтальна асимптота.

lim

ex 2

;

x 2 0 x 2

lim

ex 2

.

x 2 0 x 2

x 2 — вертикальна асимптота.

4. y

ex 2(x 1)

(x 2)2 .

y 0 x 1; y x 2.

12. Побудова графіків функцій

139

y
y	2 1	x

min y( 1) e 2, 71.

5. y ex 2(x2 2x 2) . (x 2)3

y 0 x ;

y x 2.

	y
6.	y	2		x
	y 0, x 0.
4) 1. D(y) .
2.	y( x) x arctg x y(x)			x D(f ).

Графік функції симетричний щодо початку координат. 3. x : y kx b :

k

lim

x arctg x

1;

x

x

b

lim

arctg x .

x

2

y x

— ліва похила асимптота.

2

y x

— права похила асимптота.

2

4. y 1

1

0, x y на .

1 x2

5.

y

2x

.

2 2

(1 x

)

y

0 x 0;

y x .

y

y

0

x

6. y(0) 0.

5) 1. D(y) .

1

2. y( x)

y(x) x D(y).

x2 1

y

e 2 2

e

2

1 O x

Рис. до зад. 12.2.3)

y

2

O	x
	2

Рис. до зад. 12.2.4)

140 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Графік функції симетричний щодо осі Oy.

3. x , y kx b :

k lim			1				0;
x x(x2				1)
b lim			1			0.
			1
x x2

y 0 — горизонтальна асимптота.

4.	y		2x
					.
			2	2
	(x			1)

y 0 x 0; y x .

y
y		0 x
		max

y(0) 1.

5. y 2 3x2 1 . (x2 1)3

y 0 x 1 ; 3

y x .

y
y						1							1			x
								3						3
			1								3
y(0) 1, y												.
			3								4

6. y(0) 1, y 0.

12.3.Дослідити астроїду, задану рівняннями

y

1

3

4

		O 1				x
				3
	Рис. 12.2.5)
	3
	a cos t,
x
		і побудувати її.
y	a sin3 t

Розв’язання. 

Функції cos3 t та sin3 t означенні для будь-яких значень t. Але оскільки ці фу-

нкції періодичні з періодом 2 ,		досить розглянути проміжок t [0; 2 ).
Оскільки x [ a;a] та y [ a;a],				то крива асимптот не має.
Знайдімо
yx (t)	yt			3a sin2 t cos t	tg t.
	xt
		3a cos2 t sin t