13

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет.

Реактивное движение

курсовая работа по курсу

компьютерные методы физики студента 214 группы

Пяткина Юрия Константиновича.

Преподаватель –

Шленов Святослав Александрович.

Москва, 2003.

В данной курсовой работе рассматривается конкретный случай реактивного движения – старт ракеты с поверхности планеты и набор (или не набор) ею второй космической скорости. Рассмотрение этого процесса производилось с помощью соответствующей программы, моделирующей его. В разделе теория рассмотрен принцип реактивного движения и необходимые формулы. В разделе модель рассмотрены используемые допуски, приближения и численные методы. В разделе анализ результатов представлены результаты, полученные в результате компьютерного моделирования, в том числе необходимые условия для придания фиксированной полезной нагрузке второй космической скорости при старте с различных тел Солнечной системы.

Теория.

Реактивное движение – движение тела переменной массы, где тяга создается в результате отброса части массы, принадлежащей телу.^[1]

Рассмотрим конкретный случай реактивного движения – полет ракеты. Пусть в некоторый момент времени ракета имеет массу M(t) и скорость. Пусть ракета отбрасывает массу dM' со скоростью (см. рис. 1). Если dM’ – отбрасываемая масса, то dM – изменение массы ракеты. По закону сохранения массы

dM + dM’ = 0 (1).

Очевидно, что dM < 0, т.е. масса самой ракеты уменьшается. В момент времени t (до отброса части массы) полный импульс системы равен M. А в момент времени t + dt (после отброса части массы) он равен . По закону сохранения импульса получим

(2).

Перемножив скобки и отбросив член (в силу того, что он - бесконечно малый член второго порядка малости) получим следующее уравнение:

(3).

Учитывая закон сохранения массы (1) получим из (3) уравнение движения:

(4).

Если скорости и достаточно малы (т.е. существенно меньше скорости света), то можно воспользоваться приближением классической механики для :

(5),

где - скорость отброшенной массы относительно ракеты. Если подставить (5) в (4) и продифференцировать левую часть (4) по времени, получим уравнение

(6),

описывающее движение ракеты с нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил. Введя (т.е. расход топлива) и - совокупность внешних сил, действующих на ракету, – получим итоговое уравнение движения:

(7).

Рассмотрим теперь более конкретный случай: прямолинейное движение ракеты с постоянной скоростью отброса газов относительно нее , причем направлена так, чтобы ракета разгонялась. Предположим также, что на ракету не действуют внешние силы. Тогда уравнение движения принимает вид:

(8),

знак “-“ в правой части уравнения обусловлен тем, что при разгоне ракеты v и u’ противоположно направлены. Пусть v₀ – скорость ракеты перед началом ускорения, а М₀ – начальная масса ракеты. Если переписать уравнение (8) в виде

(9),

то, проинтегрировав (9), получим формулу, называемую формулой Циолковского:

(10).

Формула Циолковского может быть преобразована для определения конечной скорости ракеты:

(11).

Кроме того, для рассмотрения данной задачи необходимо ввести две физические характеристики места старта ракеты: ускорение свободного падения и вторая космическая скорость.

Ускорение свободного падения – ускорение, которое приобретает тело в поле силы тяжести данного небесного тела. Пусть небесное тело (для определенности – планета) обладает массой M_p и радиусом R_p. Согласно закону всемирного тяготения между планетой и телом массы m, находящимся от центра масс планеты на расстоянии x, возникает сила притяжения

(12),

где G = 6.67210^-11 Нм²/кг² – гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньютона действующая на тело массы m сила

(13).

Приравнивая правые части (12) и (13) и сокращая их на m, получим выражение для g:

(14).

Если h – высота тела над поверхностью планеты, то x=R+h. Таким образом, из (14) получим зависимость g от высоты h:

(15).

Вторая космическая скорость – скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно могло покинуть планету и удалиться от нее на бесконечно большое расстояние, т.е. скорость, при которой кинетическая энергия ракеты превысит потенциальную энергию ракеты, обеспечиваемую полем силы тяжести. Соответствующее равенство выражается формулой:

(16).

Сокращая правую и левую части (16) на m и учитывая выражение для g (15), получим формулу для второй космической скорости на высоте h:

(17).