5ДУ
.docОбщее решение уравнения равно
.
Из условия получаем
.
Найдем производную общего решения:
+
Из условия получаем: .
Для определения и имеем систему уравнений
Решая эту систему, получаем
,.
Тогда .
Ответ: .
Задача 35. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Стоящая в правой части функция является правой частью второго типа. Имеем
, , =0, =1. Число не является корнем характеристического уравнения, значит . Частное решение ищем в виде = , где - многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел и равно нулю. Тогда =
Найдем :
;
.
Подставляя в уравнение, получаем:
Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: 2А=0, 2В=4. Следовательно В=2. Тогда .
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
Задача 36. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: , , . Число не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать в виде =, где - многочлен третьей степени. Тогда =. Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем :
;
;
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
+=
Приводим подобные в левой части уравнения:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:
Следовательно А=1, В=0, С=1. Тогда частное решение запишется в виде =.
Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:
+.
Задача 37. Найти решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям x(0)=2, y(0)=1.
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
.
Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем
; ;
.
Из первого уравнения системы выразим : .
Тогда уравнение можно переписать в виде
. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде
+.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
; ; .
Решение дифференциального уравнения имеет вид
, где - произвольные постоянные.
Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:
;
.
Тогда общее решение системы имеет вид:
;
.
Где - произвольные постоянные.
Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.
Так как x(0)=2, y(0)=1, то для определения имеем систему уравнений:
Решая систему, получаем
Ответ: ,
.
Литература
1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Изд. 5-е, стереотип. «Дрофа» М., 2003 г.
2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, тт. 1-2, М., Наука, 2000 г.
3.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Изд-во МГУ, М., 2004г.
4.Б.П.Демидович. Сборник задач по математическому анализу. Изд-во «АСТ Астрель», М., 2003 г.
5.Катасонов А.М. Дифференциальные уравнения. Программированное учебное пособие. МГАПИ, М., 1997.
6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ, М., 2004г.