Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matematikka.docx
Скачиваний:
69
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
1.52 Mб
Скачать

Вопрос 1. Понятие систем линейных уравнений. Их решения.

ЛУ – это уравнение вида:

ai1х1+ai2x2+ainxn=bit (1), где х12…хn-неизвестные; ai1,ai2,ain-коэффициенты; bit-свободный член ур-ия.

*только первые степени

*нет соответствующих произведений.

i-номер ур-ия; 1,2…-номер неизвестного.

СЛУ-это: а11х1 а12х2 а1nхn=b1

а21х1 а22х2 а2nхn=b2

аm1х1 аm2х2 аmnхn=bm

а11 а12…а1n

А= а21 а22…а2n - матрица системы

аm1 аm2…аmn

Решение системы – набор чисел k1, k2, kn, если при подстановки их вместо неизвестных, каждое ур-ие системы становится тождеством.

Виды СЛУ:

-совместная (если имеет решение). М.б.: определенная (одно решение) и неопределенная (имеет бесконечно много решений);

-несовместная (если не имеет решений).

Этапы решения СЛУ:

  1. Выяснить, является ли СЛУ совместной;

  2. Если совместна, то определить её вид;

  3. Найти метод её решения.

Вопрос 2.Методы решение систем линейных уравнений.

Формулы Крамера.

Теорема Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой служит определитель системы, а числителем, определитель, получаемый из знаменателя заменой столбца коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.

2x+3y-z=5,

x+y+2z=7,

2x-y+z=1.

=18. x=8, y=38, z= 40.

Замечание: 1. Если <>0, то система имеет единственное решение;

2. Если =0, то при x=y=z=0, то система имеет бесконечное множество решений (неопределённая), а при x<>0 или y<>0 или <>0, то система не имеет решений (несовместна);

Метод Гаусса исключения неизвестных.

«Исключение неизвестных» означает построение равносильной системы линейных уравнений, имеющей ступенчатый вид, т.е. x1 может содержаться не более, чем в одном уравнении, х2 – не более чем в двух и т.д.

Пример 1. Пример 2.

x1 + 2х2 + 3х3 – 2х4 = 6, x1 + 2х2 + 3х3 – 2х4 = 6,

2x1 – х2 – 2х3 – 3х4 = 8, 2x1 – х2 – 2х3 – 3х4 = 8,

3x1 + 2х2 – х3 + 2х4 = 4, 3x1 + 2х2 – х3 + 2х4 = 4,

2x1 – 3х2 + 2х3 + х4 = – 8. 5x1 + х2 – 3х3 – х4 = 14.

Ответ: (1, 2, –1, 2). Ответ: (23 – 10,8х4, –4 – 3,4х4, 2х4+ 3, х4).

Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим снова систему уравнений, имеющую основную матрицу А.

Используя правило умножения матриц, систему можно записать в эквивалентном матричном виде:

(*) АХ = Н

Пусть определитель  матрицы А отличен от нуля. Тогда, система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Дадим теперь другую форму записи решения матричного уравнения (*). Для этого введем понятие обратной матрицы.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначе­ние А-1), которая удовлетворяет условиям

А-1А=АА-1= Е,

где Е — единичная матрица.

Если определитель   0, то обратной для мат­рицы А является следующая матрица:

А-1 = ,

где, как и ранее, Аi, Вi, Сi – алгебраические дополнения соответ­ственно элементов ai, bi, ci ( i = 1, 2, 3).

Матрицы А и А-1 назы­ваются взаимнообратными.

Замечание. Если определитель матрицы А равен нулю ( = 0), то обратная матрица не существует.

Воспользуемся обратной матрицей для решения уравнения (*). Умножая уравнение слева на матрицу А-1, получаем

А-1АХ = А-1Н

Так как А-1А = Е, а ЕХ = X, то X = А-1Н.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Теорема Кронекера-Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]