shpory2 семестр Рапа

Пространство элементарных событий. Элементарные и составные события. Событие – всякий факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайный опыт – любое действие, которое можно повторить большое число раз в одинаковых условиях и результаты которого нельзя предугадать заранее. Пространство элементарных событий (ПЭС): Ω – множество, состоящее из предполагаемых исходов данного опыта, исключающих друг друга. Элементы множества Ω – элементарные события. Случайное событие – произвольное подмножество ПЭС. Вероятность события A – P(A) – сумма вероятностей элементарных событий, образующих это событие. Численная мера степени объективной возможности этого события. . m – число благоприятных исходов; n – число всех исходов. Условия для вероятности элементарного события : 0<; ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ события – содержат 1 исход (элементарный исход). СОСТАВНЫЕ события – содержат несколько исходов.	Равенство, сумма, произведение и разность событий. Равенство: События А и В равны, если каждое из них является частным случаем другого. А=В, т.е. А является частным случаем события В, при наступлении А наступает В. Сумма двух событий А и В: событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из двух событий. А+В=С. В событие С входят все элементарные исходы, содержащиеся «или А, или В». Произведение событий А и В: событие С, состоящее в совместном появлении двух событий. АВ=С. «и А, и В». Разность (А-В): событие С, которое содержит те элементы А, которые не входят в В.	Несовместные и совместные события. СОВМЕСТНЫЕ. События совместны, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е. если АВ≠ НЕСОВМЕСТНЫЕ. События несовместны, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании (т.е. не имеют общих элементарных исходов). АВ=	Достоверные и противоположные события. Иллюстрация с помощью диаграмм Венна – Эйлера. ДОСТОВЕРНОЕ. Событие, которое обязательно произойдет в результате выполнения фиксированной совокупности условий. Р(А)=1 ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ. Событие называется противоположным событию А, если оно наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Ω-А	Определение вероятности в дискретном пространстве. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечно и счётно. Ω={}. Вероятность события в дискретном пространстве определяется как сумма вероятностей каждого из элементарных исходов, входящих в это событие. - элементарный исход, – вероятность эл. исхода , Р(А) – вероятность события А. Свойства вероятности в дискретном пространстве: 0≤P(А)≤1; P(Ω)=1; P()=1-Р(А) Если А и В несовместны, то В общем случае Если А, то Р(А)≤Р(В)
6. Теорема сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Д/СОВМЕСТНЫХ: Вероятность суммы двух совместных событий выражается разностью между суммой вероятностей этих событий и вероятностью из произведения. Д/НЕСОВМЕСТНЫХ: Вероятность суммы для несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.	7. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые и зависимые события. Условная вероятность события А при наличии события В – вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. - обозначение условия вероятности. Единственная формула нахождения условной вероятности: , где N(AB) – число общих элементарных исходов в событиях А и В, N(B) – число элементарных исходов в событии В. «Как общее относится к базе(к тому, что произошло)». Условие: P(B)>0 Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события при наличии первого. – теорема применяется для зависимых событий. ЗАВИСИМЫЕ события: события А и В зависимы, если появление события А изменяет вероятность появления события В (и наоборот). НЕЗАВИСИМЫЕ события: если появление события А не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Теорема умножения вероятностей для независимых событий:	8. Формула полной вероятности. Применяется, если об опыте можно сделать n исключающих друг друга гипотез H1, H2,..., Hn, а также, если событие А может появиться только при одной из этих гипотез. , (условная вероятность события, при гипотезе), где P(Hi) – априорная вероятность гипотезы Hi, – условная вероятность события А при гипотезе Hi. Свойство системы гипотез Hi:	9. Формула Байеса Р(H1), P(H2),…, P(Hk) – вероятности гипотез, априорные (доопытные); событие А – апостериорное (полученное в результате опыта). По формуле Байеса, условная вероятность того, что имело место событие Hk, если в результате опыта наблюдалось событие А, вычисляется по формуле (условная вероятность гипотезы при событии):	10. Схема испытаний Бернулли. Предполагает серию однотипных опытов (испытаний). Исход каждого опыта независим от исходов других. Например: а) многократное извлечение из урны одного шара, при условии, что вытянутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну. б) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой. Испытание имеет 2 исхода: 1) появится событие А; 2) появится событие (противоположное А). n независимых испытаний Бернулли (вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна. Испытания проводятся в одинаковых условиях). p – вероятность появления события А: p=P(A). q – вероятность появления противоположного события : q=1-p; Тогда вероятность того, что событие А появится в серии n испытаний ровно k раз выражается формулой Бернулли: Pn(k)==

Случайные события

11. Локальная теорема Лапласа. Позволяет приближенно найти вероятность появления события в серии однотипных n испытаний ровно k раз, если число испытаний достаточно велико. Формулировка теоремы: Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0<p<1), то вероятность Pn (k) того, что событие А появится в серии однотипных n испытаний ровно k раз, приближенно равна значению функции: – функция плотности нормализованного распределения (Гаусса) Конечная формула:

12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Применяется для вычисления вероятности P(l<k<m) того, что событие А появится в серии n испытаний не менее l и не более m раз (от l до m раз). Формулировка теоремы: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 (0<p<1), то вероятность P(l<k<m) того, что событие А появится в серии n испытаний от l до m раз, приближенно равна след. интегралу: при и

Комбинаторика

1.Выборка с возвращением, выборка без возвращения. Размещения, перестановки, сочетания.

Как перестановки, так и размещения, были определены как последовательности элементов некого множества Y. Перестановки, составленные из элементов этого множества, отличаются друг от друга только порядком расположения элементов в последовательностях, размещения – как порядком элементов, так и самими элементами. Сочетания – это такие наборы элементов множества Y, которые отличаются друг от друга только самими элементами, порядок расположения элементов в них не учитывается.

Договоримся, в дальнейшем называть перестановки, размещения и сочетания общим словом "расстановки".

Сочетания, также, как и расстановки других видов, могут содержать одинаковые элементы или не содержать. В зависимости от этого различают сочетания с повторениями или без повторений.

Сочетаниями без повторений или выборками без возвращений из n по m называют подмножества множества Y, (n(Y)=n), причем каждое подмножество содержит m элементов.

Примечание. В теории вероятностей сочетания без повторений называют выборками без возвращений. Термин "выборка" подразумевает, что при составлении подмножества один за другим извлекается m элементов множества Y , причем извлеченные элементы в множество не возвращаются и второй раз в подмножестве появиться не могут.

Сочетаниями с повторениями или выборками с возвращениями из n по m называют наборы элементов множества Y, (n(Y)=n), каждый из которых содержит m элементов, причем, наборы отличаются друг от друга составом элементов, но порядок расположения элементов не учитывается, элементы в наборах могут повторяться.

Примечание. В теории вероятностей сочетания с повторениями называют выборками с возвращениями. При составлении подмножества один за другим извлекают m элементов множества Y, причем извлеченный элемент возвращается в множество Y и может быть извлечен повторно.

Число сочетаний с повторениями из n по m обозначают .

1. Определение дискретной случайной величины и способы ее задания.

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания примет только 1 возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее нельзя учесть.

Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать (число возможных значений конечное и счётное).

Если между случайными величинами, отмеченными на координатной прямой, существуют промежутки, не содержащие других возможных значений, то эти сл. величины относятся к классу дискретных.

Способы задания дискретной сл. величины (ДСВ).

Закон распределения ДСВ – всякое соответствие между возможными значениями сл. величины x_i и вероятностями их появления p_i.

1. Табличный способ ( построение ряда распределения). Ряд распределения – таблица, где перечислены возможные (различные) значения сл. величины Х: х₁, х₂,…,хn и вероятности их появления pn.

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

,

2. Графический способ. Наглядное изображение закона распределения сл. величины в виде многоугольника распределения (в прямоугольной системе координат строим точки (xi;pi), а затем соединяем их отрезками прямых.

3. Аналитический способ (формула).

xi	0	1	…	n
pi	Pn(0)	Pn(1)		Pn(n)

2. Мат. ожидание ДСВ и его свойства.

Математическое ожидание – важная числовая характеристика случайной величины. Приближенно равно среднему значению случайной величины. Это сумма произведений всех возможных значений ДСВ (xi) на их вероятности (pi).

Свойства мат. ожидания:

1. М (С)=С. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. М (СХ)=СМ (Х). Постоянный множитель можно вынести за знак мат. ожидания.

3. М (ХУ)=М (Х) М (У). Мат. ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их мат. ожидания.

4. М (Х+У)=М (Х)+М (У). Мат. ожидание суммы двух сл. величин равно сумме мат. ожиданий слагаемых.

Отклонение сл. величины от ее мат. ожидания – разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: x-M(x).

3. Дисперсия ДСВ и ее свойства. Действия над ДСВ.

Дисперсия ДСВ – характеристика рассеяния (насколько разбросано значение сл. величины). Мат. ожидание квадрата отклонения сл. величины от ее мат. ожидания.

Свойства дисперсии:

1. D(C)= 0, дисперсия постоянной величины С равна нулю.

2. D(CX)=C²D(x), постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. D(X+Y)=D(X)+D(Y), дисперсия двух независимых сл. величин равна сумме дисперсий этих величин.

4. D(X-Y)=D(X)+D(Y), дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

4. Биномиальное распределение (схема независимых испытаний Бернулли). Вычисление мат. ожидания и дисперсии.

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0,1,…,n, а вероятности того, что Х=k, выражаются формулой:

, где q=1-p, k=0,1,2,…,n, 0<p<1.

Таблица распределения Х:

x	0	1	…	n
p	Pn(0)	Pn(1)	…	Pn(n)

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Закон распределения называют «биномиальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Вычисление мат. ожидания и дисперсии: M(x)=np; D(x)=npq, где q=1-p.

5. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли (закон больших чисел).

Неравенство Чебышева.

Помогает оценить вероятность того, что отклонение сл. величины от ее мат. ожидания не превышает по абсолютной величине положительно числа ε.

Если ε достаточно мало, то мы таким образом оценим вероятность того, что Х примет значения, достаточно близкие к своему мат. ожиданию.

Формулировка: Вероятность того, что отклонение сл. величины Х от ее мат. ожидания по абсолютной величине положительного числа ε, не меньше, чем

Данное неравенство справедливо как для дискретных, так и для непрерывных сл. величин.

Теорема Чебышева.

Если х₁, х₂,…, хn – попарно независимые сл. величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства будет как угодно близка к единице, если число сл. величин достаточно велико.

Теорема Бернулли.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

ε – сколь угодно малое положительное число.

Случайные величины

6. Распределение Пуассона. Вычисление мат.ожидания и дисперсии.

Дискретная сл. величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,…,k, а вероятность того, что Х=k, выражается формулой:

, где >0 – параметр распределения Пуассона. е

x	0	1	2	…	k
p		λ		…

Вычисление мат. ожидания и дисперсии: M(x)=λ; D(x)=λ

7. Геометрическое распределение. Вычисление мат. ожидания и дисперсии.

Случайная величина с геометрическим распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р.

Говорят, что сл. величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p(0;1), если Х принимает значения k=1,2,3,… с вероятностями

x	1	2	…	k	…
p	p	p(1-p)	…	p	…

Вычисление мат.ожидания и дисперсии: ;

8. Определение и основные свойства (интегральной) функции распределения

Функция распределения (интегральная функция) – функция F(x), определяющая вероятность того, что сл. величина Х в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.

Основные свойства функции распределения:

1. Значения ф-ции распределения принадлежат отрезку [0;1]

2. если , F(x) – неубывающая функция

3. Если возможные значения сл. величины принадлежат интервалу (а;b), то F(x)=0 при F(x)=1 при .

9. Определение непрерывной сл. величины (НСВ). Определение и основные свойства дифференциальной функции распределения (плотности вероятности) непрерывной сл. величины. Связь с интегральной функцией распределения.

НСВ – сл. величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Плотность распределения вероятности НСВ – функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). f(x)=F’(x) (связь с интегральной функцией распределения). F(x) – первообразная для f(x).

Свойства плотности распределения:

1. , плотность распределения – неотрицательная функция.

2. , несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от (-∞) до (+∞) равен единице.

Если функция плотности f определена на интервале [a;b], то ,

График плотности f(x) называется кривой распределения. Функция F(x) выражается через плотность распределения формулой . Вероятность попадания в интервал (a;b) для непрерывной сл. величины выражается формулой:

10. Равномерное распределение. Дифференциальная и интегральная функции распределения и их графики. Параметры равномерного распределения. Вычисление мат. ожидания и дисперсии.

Интегральная функция распределения:

(ГРАФИК)

Дифференциальная функция распределения (плотности вероятности):

(ГРАФИК)

Вычисление мат. ожидания и дисперсии: ,

11. Нормальное распределение. Дифференциальная и интегральная функции нормального распределения. Параметры норм. распределения и их связь с мат. ожиданием и дисперсией.

Интегральная функция распределения:

Дифференциальная функция распределения (плотности вероятности):

Параметры

M(x)=a; D(x)=

Математическая статистика

1. Выборка и генеральная совокупность. Способы представления выборки. Выборка – совокупность случайно отобранных объектов исследования. Генеральная совокупность – множество всех возможных значений исследуемого признака. Выборкой объема n из генеральной совокупности с функцией распределения Fx(x) называется последовательность x1,x2,…,xn наблюдаемых значений случайной величины X. Каждую выборку рассматривают как выборку из теоретически бесконечной генеральной совокупности, распределения признака в которой совпадает с теоретическим распределением вероятностей величины x. Способы представления выборки: а) Вариационным ряд – элементы выборки упорядочиваются по величине. б) Статистический ряд – для этого все n наблюдаемых значений выборки разбивают на k непересекающихся интервалов [ci,ci+1), i=1,…,k, обычно одинаковой длинны h. Формула Стерджеса k=[log2n]+1. в) Дискретный статистический ряд – при наблюдении дискретных случайных признаков довольно часто среди элементов выборки встречаются одинаковые. В виде таблицы записываем значение признаков в возрастающем порядке и частоту признака встречающегося в выборке. г) и в порядке регистрации.	2. Вариационные и статистические ряды. Частота, относительная частота, размах выборки мода медиана, выборочное среднее к выборочная дисперсия. Вариационным рядом x1,x2,…,xn называется способ записи выборки, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине. Разность между крайними членами вариационного ряда называется размахом выборки. Статистический ряд – для этого все n наблюдаемых значений выборки разбивают на k непересекающихся интервалов [ci,ci+1), i=1,…,k, обычно одинаковой длинны h. Формула Стерджеса k=[log2n]+1. Пусть событие Е состоит в том что значение случайной величины x принадлежит некоторому множеству SE и пусть дана случайная выборка значений величины х. Частотой события – называется количество vi выборочны значений xi. Относительной частотой – отношение частоты к объему выборки. Размах выборки - разность между крайними членами вариационного ряда называется размахом выборки. Мода - наиболее часто повторяющиеся значения признака. Xmo=x0+h(fmo-fmo-1/2fmo-fmo-1-fmo+1) Медиана – величина признака которая делит упорядоченную последовательность на две равные части. Me= x0+h(0,5*N+Sme-1/fme) Выборочное среднее – называется среднее арифметическое элементов выборки: xcp=nixi/n Выборочная дисперсия S^2=1/n*[n сумма i=1](xi-xср)^2	3. Эмпирическая функция распределения (функция накопительных частот). Это способ представления статистических данных. Эмпирической функцией распределения называется – функция F^*(x)=vn(x)/n где vn(x) – число элементов выборки x1,x2,…,xn значения которых меньше x. Функция F^*(x) постоянна на промежутках [xi, xi+1}=[ci, ci+1} для интервально группированных данных, а в концевых точках xi+1 увеличивается на p^*i=vi/n, i=1, …, k-1: {0 при x<=x1 F^*(x)= { p^*i=vi/n при xi<x<=xi+1, i=1,…,k-1, {1 при x>xk. F^*(x) однозначна для всех x и обладает всеми свойствами функции распределения: изменяется от 0 до 1 не убывает и непрерывна слева. Важнейшее свойство что при увеличении n происходит сближение F^*(x) с теоретической функцией распределения F(x)=P(X<x).	4. Графическое представление выборки (полигон и гистограмма). Полигон обычно используют для изображения дискретного статистического ряда. Для его построения на оси абсцисс откладывают все различные выборочные данные выборочные данные x1<x2<…<xk. На оси ординат, пользуясь статистическим рядом, либо частоты либо относительные частоты. Затем отмечают точки с координатами и соединяют. В силу закона больших чисел в схеме Бернули относительные частоты p^*I сходятся по вероятностям pi=P(X=xi). Гистограмма – это графическое изображение интервального статистического ряда в виде прямоугольников разной высоты. Основаниями прямоугольников являются отрезки оси абсцисс, соответствующие интервалам группировки, а высоты соответствут относительным частотам интервалом. Функция: {0 при x<=c1 p^*(x)= { v^*i=(nh) при ci<x<=ci+1, i=1,…,k-1, {1 при x>ck+1. При достаточно большом объеме выборки и малых значения длин интервалов группировки гистограмма близка к плотности распределения исследуемого признака X.	5. Точечные и интервальные оценки параметров. Основные свойства оценок на примере оценки математического ожидания. Выборочное среднее xcp=nixi/n Исправленная выборочная дисперсия
6. Понятие доверительного интервала. Основные типы задач на интервальные оценки. Доверительным интервалом для параметра 0 называется интервал (0^*1; 0^*2) со случайными границами 0^*1 и 0^*2, который с заданной доверительной вероятностью Y=1-a накрывает неизвестное истинное значение параметра 0: P(0^*1<0<0^*2)=1-a. Нижняя и верхняя границы ДИ 0^*1 и 0^*2 определяются по результатам наблюдений и следовательно, являются случайными величинами. Часто применяются односторонние ДИ. Симметричный доверительный интервал P(0^*-Е<0<0^*+Е)=Р(|0-0^*|<Е)=1-а.,Величина Е называется точностью – это половина длинны доверительно интервала, а – уровень значимости и Y надежность. Для мат.ожидания: xcp-+t1-a/2*(n-1)s/kor n Для дисперсии: (n-1)s^2/X^21-a/2(a/2)(n-1) Основные типы задач 1)определение доверительно интервала (точности E) по заданной доверительной вероятности Y=1-a и объему выборки n. 2)Определение доверительной вероятности Y=1-a по заданному интервалу (точности) и объему выборки n. 3)Определение объема выборки n по заданному доверительному интервалу и доверительной вероятности Y=1-a.	7.Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности при неизвестной дисперсии. x ср-(t1-a/2(n-1)s/kor n)<M< x ср+(t1-a/2(n-1)s/kor n) xcp=nixi/n s^2=(nixi^2/(n-1))-(nxcp/(n-1))	8.Интервальная оценка дисперсии нормального распределения генеральной совокупности при неизвестной математического ожидания. ((n-1)s^2)/(X^21-a/2(n-1))<б^2<((n-1)s^2)/(X^2a/2(n-1)) xcp=nixi/n s^2=(nixi^2/(n-1))-(nxcp/(n-1))	9. Общая постановка и схема проверки параметрической статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода при проверки гипотез. Подлежащая проверке гипотеза называется основной. Каждой основной гипотезе противопостовляют основную которую обозначают H1. в качестве альтернативной можно рассматривать одну из следующих гипотез H1^(1):0>00; H1^(2):0<00; H1^(3):0=00; H1^(4):0/=00; Вид такой гипотезы определятся конкретной формулировкой задачи. Схема проверки гипотезы: Этап 1. Сформулировать Н0 и Н1. Этап 2. Назначить уровень значимости а. Этап 3. Задать объем выборки n. Этап 4. Выбрать статистику ^vI^vкритерия и определить распределение статистики ^vI^v при условии что верна H0. Этап 5. В зависимости от проверяемой и альтернативной гипотез выбрать область принятия гипотезы и критическую область. Определить критические точки. (пример хи квадрат) Этап 6. а) Н^0 должна быть отвергнута на уровне значимости а, если вычисленное значение ^vI^v^* попадает в критическую область. б) Н^0 принимается или её принятие откладывается, если вычисленное ^vI^v^* принадлежит допустимой области. Этап 7. Выполнить эксперимент и проверить гипотезу, т.е. получить выборку намеченного объема вычислить выборочное значение ^vI^v^* статистики критерия ^vI^v и принять статистическое решение. Ошибки первого и второго рода: Ошибка 1-го рода­ – отклонение правильной нулевой гипотезы. Ошибка 2-го рода – принятие неправильной нулевой гипотезы. Последствия указанных ошибок часто оказывается совершенно различным. Что лучше или хуже – зависит от конкретной постановки задачи и содержания нулевой гипотезы. Принято обозначать а=P(отвергается H0/верна H0) – 1 рода.	10.Проверка гипотезы о математическом ожидании нормально распределённой генеральной совокупности при неизвестной дисперсии. Этап 1. Сформулировать Н0 и Н1. Этап 2. Назначить уровень значимости а. Этап 3. Задать объем выборки n. Этап 4. Выбрать статистику ^vI^vкритерия и определить распределение статистики ^vI^v при условии что верна H0. T=(xcp-M0)*kor n/S ,эта статистика имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Этап 5. В зависимости от проверяемой и альтернативной гипотез выбрать область принятия гипотезы и критическую область. Определить критические точки. Критическим значением статистики критерия T будет: tкр=t1-a(n-1) Этап 6. а) Гипотеза Н^0 должна быть отвергнута на уровне значимости а, если вычисленное значение tв попадает в критическую область. б) Гипотеза Н^0 принимается или её принятие откладывается, если вычисленное tв принадлежит допустимой области. Этап 7. Выполнить эксперимент и проверить гипотезу, т.е. получить выборку намеченного объема вычислить выборочное значение ^vI^v^* статистики критерия ^vI^v и принять статистическое решение. T=(xcp-M0)*kor n/S