математическая статистика на двух страницах

2.Математическая статистика на паре страниц

2.1.Применение.

(1)Исследуется случайный эксперимент, причем не все свойства эксперимента известны.

(2)Этот эксперимент проведен в одних и тех же условиях достаточно большое число раз и собраны наблюдения за результатами эксперимента.

(3)Требуется восстановить неизвестные свойства эксперимента.

2.2.Описательная статистика. Представление эмпирических данных зависит от типа исследуемого признака:

(1)Количественные данные

характеристики объекта выражаются числами:

бывают дискретными (изменяются фиксированными шагами) и непрерывными (могут меняться на как угодно малую величину),

описываются группировкой по повторяющимся (дискретные) или близким (непрерывные) значениям,

графически представляются многоугольником распределения (дискретные) или гистограммой (непрерывные).

(2)Качественные данные

характеристики объекта являются его свойствами:

описываются частотами возможных значений,

графически представляются гистограммой (количества элементов) или круговой диаграммой (доли элементов).

(3)Двумерные данные

характеристики объекта являются парами наблюдаемых значений:

описываются совместным распределением,

графически представляются полем рассеяния.

2.3.Точечные и интервальные оценки. Точечными оценками являются выборочные характеристики:

среднее выборочное: СРЗНАЧ;

исправленная дисперсия: ДИСП.В;

исправленное стандратное отклонение: СТАНДОТКЛОН.В.

Интервальные оценки для центра строятся по формуле

точечная оценка квантиль стандартная ошибка:

Для большой выборки (объем> 30) используются квантили стандартного нормального распределения, для малой t-распределения. Квантили находятся по таблицам либо в Excel с помощью функций, обратных к функциям распределения.

Точечная оценка это среднее выборочное или выборочная доля признака (либо их разности).

Стандартная ошибка это

p

S0= n для математического ожидания,

r

p(1 p)

b b для доли признака, n

1

2

s

n1

+ n2

или s

S0

n1

+ n2

, где S0

=

n1 + n2 2

, для

S12

S22

2

1

1

2

(n1

1)S12 + (n2

1)S22

разности математических ожиданий при большой или малой выборке,

Число

p1(1 p1)

+

p2(1 p2)

b

b

b

b

для разности долей признака.

r

n1

n2

степеней свободы t-распределения равно n

1 для одной выборки и

n1 + n2 2 для двух выборок.

Здесь n, n1 и n2 обозначают объемы выборок, S0, S1 и S2 стандартные

отклонения, p, p1 и p2 выборочные доли признака.

дисперсии интервал уровня доверия 1

имеет вид

Для

b b b

2

2

(n 1)S0

;

(n 1)S0

;

1 =2

=2

где квантиль 2-распределения с n 1 степенью свободы уровня .

2.4. Проверка гипотез.

величина

статистика

закон

p

a

MX

x

N0;1 при n > 30

n

S0

Tn 1 при n 6 30

p

p p0

p

N0;1 при n > 30

n

(1

p

)

(n pb0

1)S2

0

DX

p

0

X

n 1

2

MX

MY

x

1

x

2 b

N

при

n

+ n

> 32

0;1

1

2

S2

S2

1

2

s

+

n1

n2

1

2 b

Tn1+n2

2 при n1 + n2 6 32

x

x

sS2

1

1

+

n1

n2

p1

p2

p1 p2 b

N0;1

p1

(1 p1)

+ p2(1 p2)

r

b

b

n1

n2

где n объем выборки, x выборочное среднее, p оценка доли признака,
b	b	b	b

S02 несмещенная оценка дисперсии, a, 2, p0 предполагаемые значения па-

n

n

x

x

выборочные средние, S2

и S2

раметров,

1

и

2

объемы выборок,

1 и

2

b

1

2

несмещенные оценки дисперсий, S2 =

(n1 1)S12 + (n2 1)S22

, b предпола-

n1 + n2 2

гаемое значение разности, n1 и n2 объемы p1

и p2 оценки доли признака.

Cтатистика критерия Пирсона

b

b

2

X

(наблюдаемая частота ожидаемая частота)

2

ожидаемая частота

распределена по закону

с k r 1 степенью свободы, где k число слагаемых

в сумме и r число оцененных параметров.