Архив1 / docx54 / Отчёт (9)

Содержание:

1. Цель работы…………………………………………………………………………………..2

2. Исходные данные……………………………………………………………………………2

3. Графическое решение……………………………………………………………………….2

4. Метод Ньютона………………………………………………………………………………2

   1. Листинг программы (Метод Ньютона)………………………………………………..2

   2. Результат программы (Метод Ньютона)………………………………………………3

5. Метод простой итерации……………………………………………………………………3

6. Метод Гаусса-Зейделя………………………………………………………………………6

   1. Листинг программы (Методы простой итерации и Гаусса-Зейделя)………………..8

   2. Результат программы (Методы простой итерации и Гаусса-Зейделя)………………9

7. Вывод…………………………………………………………………………………………9

1. Цель работы: С помощью знаний полученных на лекциях решить СНАУ в структуре MS 2008(C++) методом Ньютона, методом простой итерации и методом Гаусса-Зейделя.

2. Исходные данные:

3. Графическое решение

A(1,23;0,56), B(0,24;-0,98), C(-1,23;-0,56), B(-0,24;0,98). За начальное приближение берём точку (1,2;0,5) с соответствующими координатами.

4. Метод Ньютона

   1. Листинг программы (метод Ньютона):

#include <stdafx.h>

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <locale>

using namespace std;

double F(double x, double y)

{

return tan(x*y+0.3)-x*x;

}

double G(double x, double y)

{

return 0.9*x*x + 2*y*y - 2;

}

double dFdX(double x, double y)

{

return y/pow(cos(x*y+0.3), 2)-2*x;

}

double dFdY(double x, double y)

{

return x/pow(cos(x*y+0.3), 2);

}

double dGdX(double x, double y)

{

return 1.8*x;

}

double dGdY(double x, double y)

{

return 4*y;

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double x_new, x_old, y_new, y_old;

double e = 0.01;

x_new = 1.2;

y_new = 0.5;

do

{

x_old = x_new;

y_old = y_new;

x_new = x_old + (dFdY(x_old, y_old)*F(x_old, y_old) - dGdY(x_old, y_old)*G(x_old, y_old)) / (dGdY(x_old, y_old)*dFdX(x_old, y_old) - dFdY(x_old, y_old)*dGdX(x_old, y_old));

y_new = y_old + (dGdX(x_old, y_old)*F(x_old, y_old) - dFdX(x_old, y_old)*G(x_old, y_old)) / (dGdY(x_old, y_old)*dFdX(x_old, y_old) - dFdY(x_old, y_old)*dGdX(x_old, y_old));

}

while((abs(x_new - x_old) >= e) && (abs(x_new - x_old) >= e));

cout<<"x = "<<x_new<<endl;

cout<<"y = "<<y_new<<endl;

getch();

}

4. 2. Результат программы (метода Ньютона)

5. Метод простой итерации

Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

,

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

 (1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

 (2)

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо  необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или 

Условие окончания итерационного процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут  или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Пример.

Решить систему линейных уравнений с точностью :

	8	4	2		10		x1
=	3	5	1	=	5	=	x2
	3	–2	10		4		x3

Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

.

Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: , , .

Приводим систему уравнений к виду (1):

. 

Начальное приближение . Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

k	x1	x2	x3	точность
0	0	0	0
1	1.250	1.000	0.400	1.2500
2	0.650	0.170	0.225	0.8300
3	1.109	0.565	0.239	0.4588
	………
4	0.908	0.287	0.180	0.2781
5	1.061	0.419	0.185	0.1537
6	0.994	0.326	0.165	0.0931
7	1.046	0.370	0.167	0.0515
8	1.023	0.594	0.160	0.2235
9	0.913	0.582	0.212	0.1101
10	0.906	0.505	0.242	0.0764
11	0.937	0.495	0.229	0.0305
12	0.945	0.516	0.218	0.0210
	……
13	0.937	0.523	0.220	0.0077

Здесь  

 

, 

6. Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя)

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение примера системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

k	x1	x2	x3	точность
0	0	0	0
1	1.250	0.250	0.075	1.2500
2	1.106	0.321	0.132	0.1438
3	1.056	0.340	0.151	0.0500
4	1.042	0.344	0.156	0.0139
5	1.039	0.346	0.157	0.0036

Так как, что метод Гаусса-Зейделя является модифицированным методом простых итераций, реализуем оба метода в одной программе.

Точность eps = 0.0001

1. Листинг программы (Методы простой итерации и Гаусса-Зейделя):

#include <stdafx.h>

#include <math.h>

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <locale>

using namespace std;

double funcx(double, double);

double funcy(double, double);

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

setlocale(LC_ALL,"Russian");

cout<<"Метод простых итераций\n"<<endl;

int k = 0;

double x, y, newx, tx, ty, newy, eps;

x=1.23;

y=0.55;

eps=0.0001;

do

{

k++;

tx = x;

ty = y;

newx = funcx(x, y);

newy = funcy(x, y);

x = newx;

y = newy;

cout<<"Итерация #"<<k<<endl<<"x = "<<x<<", y = "<<y<<endl;

}

while(fabs(x - tx) > eps || fabs(y - ty) > eps);

cout<<"Ответ:"<<endl<<"x = "<<newx<<", y = "<<newy<<endl;

cout<<"\n"<<endl;

cout<<"Метод Гаусса-Зейделя"<<endl;

k=0;

x=1.23;

y=0.55;

eps = 0.0001;

do

{

k++;

tx = x;

ty = y;

newx = funcx(x, y);

x = newx;

newy = funcy(x, y);

y = newy;

cout<<"Итерация #"<<k<<endl<<"x = "<<x<<", y = "<<y<<endl;

}

while(fabs(x - tx) > eps && fabs(y - ty) > eps);

cout<<"Ответ:"<<endl<<"x = "<<newx<<", y = "<<newy<<endl;

getch();

}

double funcx(double x, double y)

{

return (atan(x*x)-0.3)/y;

}

double funcy(double x, double y)

{

return sqrt(fabs(1-0.45*x*x));

}

6. 2. Результат программы (метод Гаусса-Зейделя):

7. Вывод:

Метод Зейделя работает быстрее, чем метод простых итераций.

9