Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

5-Дифур

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
13.05.2015
Размер:
122.47 Кб
Скачать

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

ψ ( x,y) =C).

y¢y

 

1 - x2

+ 1 =

0.

 

 

 

1 - y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy

1 − x2

 

=

− 1,

 

 

 

 

1 − y 2

 

 

 

 

 

 

 

dy y

 

 

1 − x2

 

 

= − 1,

 

 

dx

 

 

1 − y 2

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

dy = −

 

dx

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − y 2

1 − x2

1 −y 2 = − arcsinx +C,C = arcsinx 1 −y 2 .

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y′ =

x + 2y

.

 

 

2x y

 

 

 

 

1 + 2

y

 

 

 

 

 

 

y

=

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

2 −

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем замену

y

=

u Þy =ux Þy¢ =u +u¢x.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u +

x du =

1 + 2u

,

 

 

 

 

 

dx

 

2 − u

 

 

x

du

=

1 + u 2

,

 

 

 

dx

2 −

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 − u

 

du =

 

 

dx

,

 

1 + u 2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

2

 

 

 

 

 

 

u

 

ö

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

ò ç

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ du

= ò

 

 

x

,

1 + u

2

1 + u

2

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2arctgu

1 ln

 

1 + u 2

 

= ln

 

x

 

+ ln C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2arctg

 

 

1

ln

1

+

= ln

 

x

 

+ ln C.

 

 

 

 

 

x

 

2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y′ =

x + 2y − 3

.

 

 

4x y − 3

ì

x=

x1+

k

,

í

y=

y1+

n

î

 

y

=

x1 + 2y1 +k + 2n − 3

 

 

1

 

4x1 y1 + 4k n − 3

 

 

 

 

 

 

ì

 

k+

 

2h-

3=

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

4k-h-

3=

 

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть ì

 

k=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

h=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

x1+

 

2 y1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4x1 y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4 −

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем замену

 

 

 

y1

 

 

= u Þ

 

y1 = ux1

Þ

 

 

 

 

 

y1¢

= u +u¢x1 .

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u + u¢x= 1 + 2u

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

- u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u¢x

=

 

1 -2u +u

2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4 - u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

x

=

 

(1 - u)2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

4 -

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 - u

du =

 

 

 

 

dx1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u - 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

æ

 

 

 

1 -

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

dx

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ du =

 

 

1

,

u 2

- 2u +

1

 

 

(u - 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ç

 

 

 

 

2 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

- 1 ln

 

u 2 - 2u+ 1

 

-

 

 

 

3

 

 

= ln

 

x

 

+ C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 1 ln

 

(u - 1)2

 

-

 

 

 

 

 

 

3

 

 

= ln

 

x

 

+ C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u - 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

æ

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

ln

 

ç

 

 

1

- 1÷

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= ln

x

 

+ C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ç

 

x

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

-

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

1

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1

ln

 

( y - x)2

 

 

-

 

 

 

x - 1

= ln

 

x - 1

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(x - 1)2

 

 

 

 

 

y -

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

y′ −y cosx =12 sin 2x,y(0) = 0.

y′ +P(x)y =f (x),

Пусть y = uv.

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим

v=

 

e

òP(x)dx

=

 

 

eò

cosxdx=e−sinx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u=

 

12òsine−sin2xxdx=

 

12òesinxsin2xdx=

 

 

òesinxsinxcosxdx=

 

sincosxxdx=t=dt

 

= òetdt=

 

 

 

 

 

 

u=

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

dvdu

==

edttdt

=tet

òetdt=tetet+

C=

sinxesinxesinx+

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v=

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e− sinx (sin xesinx

 

- esinx

+ C),

 

y(0)= 0Þ 0= 1× (0× 1- 1+ C)Þ C = 1.

 

y = e− sinx (sin xesinx

 

- esinx

+ 1).

 

 

 

 

Задача 5. Решить задачу Коши.

 

 

 

 

 

 

y 2 dx+ (xy− 1)dy= 0, y

|x= 1

= e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

dx

 

+ ( xy − 1) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

+

 

x

 

1

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x =

 

uv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

= u¢v +uv¢,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u¢v +uv¢ +uv -

 

 

1

 

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

v

ö

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

uçv¢ +

 

 

 

 

÷

+ u¢v

-

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

y

÷

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим 1)v′ + vy = 0, dydv = − vy ,

dv = -

 

dy

, ln v = - lny Þ v =

1

.

 

 

y

 

v

 

 

 

 

 

y

2) u¢v -

1

 

= 0,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

u¢

1

 

=

 

 

1

,

 

 

y

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

 

1

,

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

du =

dy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

u = ln y+ C,

x = 1y (ln y + C) -общеерешение ДУ.y|x= 1 = e Þ C = e - 1;

x = 1y (ln y + e - 1) -частноерешение ДУ.

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

3(xy′ +y) =y 2 lnx,y(1) = 3.

y¢ +

y

=

y2 lnx

.

x

3x

 

 

 

y = uv,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uv +uv′ +uv

=

 

u 2 v2 ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

3x

1) Пусть

v¢ +

 

v

 

=

0,

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

=

-

v

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

=

-

dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1 .

ln v = -ln x Þv =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2) u

¢v =

u 2 v2 ln x

,

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

×

 

1

=

 

u 2

 

ln x

,

 

dx

 

 

x

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

=

 

ln x

dx,

 

 

 

 

 

u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 1

 

= - ln x - 1

+ C,

u

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

u =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

ln x - 1- Cx

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

ln x - 1- Cx

 

 

y(1)= 3Þ C = - 2 / 3.

y =

3

.

3 ln x + 2x − 3

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

( y 2

+

 

y sec2

x)dx+ (2xy+ tgx)dy= 0.

P(x,y) =

y 2

+

y sec2 x,

 

 

Q(x,y) =

2xy+ tgx,

 

 

P

=

2 y + sec2 x = 2y +

1

 

y

cos 2 x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

=

 

2 y +

 

 

1

 

,

 

 

x

cos 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

=

 

Q

.

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x,y) =ò (2xy +tgx)dy =xy 2 +ytgx + ϕ (x),

U

= y 2

+ y sec2 x =y 2 +y sec2 x + ϕ ′(x).

x

 

 

ϕ ′( x) = 0,

ϕ ( x) =C.

u(x,y) =xy 2 +ytgx =C.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.

y′ =xy,M (0,1).

y= k= constÞ k= xy,

y = kx , т.е. гипербола.

Задача 9. Найти линию, проходящую через точкуM 0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осьюOy делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношенииa : b (считая от осиOy ).

M 0 (1,2),a :b = 2 : 1.

y y0 = y′(x x0 ) − уравнение касательной.

( y; x) -координатыпроизвольной точки, принадлежащие касательной. По условию

BMAB= 12 ,

AOB иBCM подобны.

AB

 

=

OB

,

 

 

BM

 

BC

 

 

 

 

 

 

 

xB

=

2

Þ xB =2x -2xB Þx B =

2

x(1).

x -

xB

1

3

 

 

 

Точка B( xB ;0) принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точкиB( xB ;0) в

уравнение касательной.

 

y =

y¢(x- xB ), xB =

x -

y

(2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢

Подставим (1) в (2).

 

 

 

 

2 x =

x -

y

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

y¢

 

 

 

 

 

 

 

y

 

=

1 x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

= 3 dx

,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ln y = 3lnx + lnC Þ y = x3C.

M 0

(1,2) Þ 1= 2

3 C Þ

C = 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Отсюда, y

æ

x ö

3

 

 

 

= ç

 

÷

- уравнение искомой линии.

 

 

 

 

 

 

è

2 ø

 

 

 

 

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y′′′ctg2x + 2y′′ = 0.

 

ì

y′′

=

 

 

z(x),

 

 

 

Замена: í

y¢¢¢

=

 

z¢(x).

 

 

 

 

î

 

 

 

 

zctg2x+ 2z=

0,

 

 

 

 

 

 

z¢ +2

z

 

=

0.

 

 

 

 

 

 

ctg2x

 

 

 

 

 

 

Предположим, что z =

 

uv.

u¢v+ uv¢

+ 2

 

 

uv

 

 

=

0,

ctg 2x

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

ö

 

u¢v +uçv¢ +2

 

 

 

 

 

 

 

÷

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

è

 

 

 

 

 

ctg2xø

 

Пусть v′ +

2

 

 

 

v

 

 

=

0.

ctg2x

 

dv

= - 2

 

 

v

 

 

,

 

 

 

 

 

 

dx

 

ctg 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

= - 2

 

 

dx

 

 

,

 

 

 

 

 

 

v

 

ctg 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln v = ln cos 2x Þ

v = cos 2x.

u¢v= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dudv cos 2x = 0,u = C1 ,

z = C1 cos 2x.

y¢ =

ò

C cos 2xdx=

1 Csin 2x+ C.

 

 

1

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

y =

ò

æ

1

C1 sin 2x +

C2

ö

1

C1 cos 2x+ C2 x+ C3 .

ç

2

÷ dx = -

4

 

 

è

 

 

ø

 

Задача 11. Найти решение задачи Коши.y′′ = 72 y3 , y(2) = 1, y′(2) = 6.

 

 

 

ì

y

=

z(y),

Замена: í

y¢¢

=

z¢(y)× z(y).

 

 

 

î

 

z¢ z= 72 y3 ,

 

y

 

 

 

 

 

z

 

z = 72 y3 ,

 

y

 

 

 

 

 

 

ò zz= 72ò y3 y,

1 z2

= 18y4

+

C ,

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z2=

36 y4 +

2C

 

 

 

 

 

 

1.

z2 = (y¢)2 Þ (y¢)2 = 36y4 + 2C1 . 36= 36+ 2C1 Þ C1 = 0.

y′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36 y 4 ,

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

= 36 y 4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

=

ò dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 y 2

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

1

 

 

 

x + C2 ,

 

 

 

 

6 y

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

6( x +C2 )

 

 

 

x = 2,y = 1, 1 = -

 

1

 

Þ C2

= -

13 .

6(2

+ C2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

y =

-

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

6x - 13

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.y′′′ + 3 y′′ + 2 y′ = 1 − x 2 .

yОН= yОО+ yЧН.

λ 3 + 3λ 2 + 2λ = 0 -характеристическоеуравнение.

λ 1 = 0, λ2 = - 1, λ3 = - 2,

yОО = C1 + C2 + C3 ex -общеерешение однородного уравнения.

yЧН = (Ax2 +Bx +C)x,

 

 

 

yЧН

= Ax3 +Bx2 +Cx,

 

 

 

 

y′ = 3Ax3 +Bx2 +C,

 

 

 

 

 

 

y′′ =

6 Ax +

2B,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′′ =

6 A,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Ax2 + 4Bx + 2C + 18Ax + 6B + 6A = 1 −x2 ,

6 Ax2 +x(18A + 4B) + 6A + 6B + 2C = 1 −x2 .

6 A = -1 ÞA = -

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

4

 

 

 

 

 

18A +4B =0 ÞB =

 

,

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 A +6B +2C =1 ÞC = -3.

 

 

 

 

 

æ

1

 

 

2

 

 

4

 

ö

Отсюда yЧН

= xç -

 

x

 

 

+

 

x -

3÷ - частное решение неоднородного уравнения.

6

 

 

3

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

ø

Общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= C +C

ex

+ C

e− 2x - 1 x3+ 4 x2- 3x.

 

1

2

 

 

 

 

3

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.y′′′ − 4 y′′ + 5 y′ − 2 y = (16 − 12x)ex .

yОН= yОО+ yЧН.

λ 3 − 4λ 2 + 5λ = 0 -характеристическоеуравнение.

λ 1 = 2, λ2,3 = 1,

yОО = C1e2 x + (C2 + C3 x)ex -общеерешение однородного уравнения.

yЧН = (Ax +B)x2 ex ,

yЧН = (Ax3 +Bx2 )ex ,

y′ = (−Ax3 Bx2 + 3Ax2 + 2Bx)ex ,

y′′ = (Ax3 +Bx2 − 6Ax2 − 4Bx + 6Ax + 2B)ex ,

y′′′ = (−Ax3 Bx2 + 9Ax2 + 6Bx − 18Ax − 6B + 2B)ex ,

− 10 Ax3 +x2 (48A − 10B) +x(34B − 42A) + 6A − 14B = 16 − 12x.

- 42 A +34B = -12 ÞA =

 

7

,

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

6 A -14B =0 ÞB =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда yЧН =

 

1

(7x3

+ 3x2 )ex - частное решение неоднородного уравнения.

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= C e2 x

+ (C

2

+ C

3

x)ex +

1

(7x3

+ 3x2 )ex .

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

y′′ +y = 2 cos 7x + 3sin 7x.

yОН

= yОО+ yЧН.

λ 2 +

λ

= 0 -характеристическоеуравнение.

λ 1 =

0, λ 2 = − 1,

yОО=

C1 + C2 ex -общеерешение однородного уравнения.

yЧН

=

Acos 7x +B sin 7x,

y′ =

− 7 Asin 7x + 7B cos 7x,

y′′ =

− 49 A cos 7x − 49B sin 7x,

− 49 Acos 7x − 49B sin 7x − 7Asin 7x + 7B cos 7x = 2 cos 7x + 3sin 7x, (7B − 49A) cos 7x + (− 7A − 49B) sin 7x = 2 cos 7x + 3sin 7x.

ì

7B-

49A= 2,

í

- 7A-

49B = 3

î

ì

A=

-

17

,

 

ï

 

 

350

í

 

 

.

ï

B =

-

133

 

ï

2450

 

î

 

 

 

Отсюда yЧН = − 35017 cos 7x − 2450133 sin 7x - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

y= C1 + C2 e− x 35017 cos 7x −2450133 sin 7x.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.y′′ + y = 2 sin x − 6 cos x + 2e x .

yОН= yОО+ yЧН.

λ 2 + λ = 0 -характеристическоеуравнение.

λ 1

=

0, λ 2

= − 1,

 

yОО=

C1 + C2 e− x -общеерешение однородного уравнения.

yЧН

=

Acos x + Bsin x + Сex ,

y′ =

− Asin x +

 

B cos x + Cex ,

y′′ =

− Acos x −

B sin x +

Ce x ,

 

Acos x − Bsin x + Cex

+ Acos x + Bsin x + Cex =2 sin x −6 cos x +2ex ,

2Ce x = 2 sinx − 6 cosx + 2e x .

2C=

2 Þ

C = 1.

 

Отсюда yЧН = ex - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

 

 

 

y

= C + C

2

e− x+ ex.

 

 

 

1

 

 

 

 

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

y′′ +

4 y =

4ctg2x,y(π / 4)= 3,y′(π / 4)= 2.

yОН

= yОО + yЧН .

 

λ 2

+

4λ

=

0 -характеристическоеуравнение.

λ 1

=

0, λ 2

= − 4,

 

yОО

= C1 + C2 e4 x -общеерешение однородного уравнения.

ì

u′

y1+

í

u¢

y1¢ +

î

ì

u

¢

×1+

ï

 

í

 

¢

 

ï

u

× 0+

î

 

v′

y2

=

0,

,

¢

¢

 

 

 

=

f(x)

v

y2

v¢e

4x

=

 

0,

v¢(-

4e

4x)= 4ctg2x.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку