АГ-1 МП ПЗ 1-27 Теорминимум 1-й семестр

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

L

С А В

Рис. 7

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок АВ внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок АВ внешним образом.

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

CAB ACCB ,

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.) Пусть A(xA ), B(xB ), C(xC ) – точки координатной оси Ох и точка С делит

отрезок АВ в отношении CAB , причем, A B С. Тогда:

1)	CAB	xC xA	; 2) xC	xA CAB xB	.
		xB xC
				1 CAB

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

xC xA xB . 2

Практическое занятие 9 Прямоугольная декартовая система координат на плоскости

п.9.1 Угол между векторами Определение. Углом между двумя векторами, называется кратчай-

ший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

41

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

b

a

Рис. 1

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

a	e	L

Рис. 2

Обозначение: (a ^ b), (a ^ L) . Из определения следует, что угол между векторами не может быть больше 180o .

Теорема. (О вычислении проекции вектора на ось.) Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:

прL a | a | cos(a ^ L) .

п.9.2 Ориентация двух координатных осей на плоскости Определение. Говорят, что упорядоченная пара двух неколлинеарных координатных осей имеет правую ориентацию, если кратчайший поворот первой оси вокруг их точки пересечения до положения сонаправленности со второй осью осуществляется против часовой стрелки. В противном случае говорят, что эта пара осей имеет левую ориентацию. (Смотрите рисунки 3 и 4.)

у	х
х	у

О О

Рис. 3 Рис. 4

42

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Определение. Угол между положительными направлениями координатных осей называется координатным углом.

п.9.3 Общая декартовая система координат на плоскости

Выберем упорядоченную пару неколлинеарных координатных осей на плоскости с общим началом координат, с правой ориентацией, с произвольным координатным углом и с одинаковым масштабом. Первую ось обозначим Ох и назовем её осью абсцисс, вторую – Оу и назовем её осью ординат.

Для каждой точки плоскости определим понятие её координат. Пусть М – произвольная точка плоскости. Проведем через точку М прямые параллельные координатным осям. Точку пересечения построенной

прямой с осью Ох обозначаем M . Вторую точку пересечения обозначим M .

у

M (yM ) M(xM ; yM )

х

О M (xM )

Рис. 5

Определение. Точка M называется проекцией точки М на ось Ох параллельно оси Оу, а точка M называется проекцией точки М на ось Оу параллельно оси Ох.

Определение. Координата xM точки M на оси Ох называется абсциссой точки М, а координата yM точки M на оси Оу называется ординатой точки М. Упорядоченная пара (xM , yM ) называется координатами точки М.

Определение. Плоскость, на которой выбраны две неколлинеарные координатные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и для каждой точки которой определено понятие её координат, называется координатной плоскостью. Говорят также, что на плоскости введена общая декартовая система координат.

43

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

п.9.4 Прямоугольная декартовая система координат на плоскости Определение. Декартовая система координат на плоскости с прямым координатным углом называется прямоугольной.

у

M (yM )M(xM , yM )

О

M (xM ) х

Рис. 6

Определение. Вектор OM , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М.

Введем, для произвольного вектора a , обозначения:

ax прx			ay прy		.
	a,			a

Определение. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК на плоскости совпадают с координатами её радиусвектора:

xM = прx OM, yM = прy OM .

Замечание. В силу взаимно однозначного соответствия: M (xM , yM ) (прx OM, прy OM) OM .

принято отождествлять радиус-вектор OM с упорядоченной парой его координат:

OM (xM , yM ) (прx OM, прy OM) .

п.9.5 Координатная форма записи вектора

Определение. Пусть a – произвольный вектор координатной плоско-

44

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

сти Оху. Запись вектора в виде

a (прx a, прy a) (ax , ay ) ,

называется его координатной формой записи.

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты:

a b (ax bx ) & (ay by ) .

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме записи.) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число:

a

b

(ax bx , ay by )

и k

a

(k ax , k ay ) ,

где a, b – произвольные векторы координатной плоскости Оху, k R

– произвольное действительное число.

Теорема. (О вычислении координат вектора.)

Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

AB (xB xA ; yB yA ) .

Теорема. (Расстояние между двумя точками плоскости.)

Пусть A(xA , yA ) и B(xB , yB ) – две произвольные точки координат-

ной плоскости Оху. Тогда расстояние между ними можно вычислить по формуле:

AB (xB xA )2 (yB yA )2 .

Теорема. (О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат:

| a | a2x a2y .

Обозначим углы между вектором и координатными осями: (a ^ Ox) , (a ^ Oy) .

45

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

у

a

х

Рис. 7

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются его направляющими углами, а их косинусы – его направляющими косинусами.

Теорема. (О направляющих косинусах вектора.) Пусть a (ax ; ay ) .

	Тогда cos	a		x		, cos	ay			и	cos2 cos2 1.
		| a |					| a |

Определение. Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором a называется его ортом, и обозначается ao .

Теорема. (Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора явля-

ются координатами его орта: ao | aa | (cos ; cos ) .

п.9.6 Деление отрезка в данном отношении
Теорема. (О координатах	точки,	делящей отрезок.)	Пусть
A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC )	– три	произвольные точки	коорди-

натной плоскости Оху, лежащие на одной прямой L, и точка С делит отрезок АВ в отношении CAB , считая от точки А. Тогда

xC

xA xB

, yC

yA yB

и CAB

xC xA

yC yA

.

1

xB xC

1

yB yC

Следствие. Если точка С есть середина отрезка АВ, то

xC

xA xB

, yC

yA yB

.

2

2

46

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Практическое занятие 10 Прямоугольная декартовая система координат в пространстве п.10.1 Ориентация координатных осей в пространстве

Пусть Ох, Оу и Оz – три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом координат в точке их пересечения О. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат, ось Оz – осью аппликат.

Рассмотрим кратчайший поворот оси Ох вокруг начала координат в плоскости Оху к оси Оу, причем наблюдать за этим поворотом будем из той части полупространства относительно плоскости Оху, в которой находится положительная полуось аппликат. Если наблюдаемый поворот осуществляется против часовой стрелки (смотрите рисунок 1), то говорят, что оси координат имеют правую ориентацию, иначе (смотрите рисунок 2) – левую.

z

О у

х

Рис. 1

z

О х

у

Рис. 2

п.10.2 ПДСК в пространстве

Пусть Ох, Оу, Оz – три взаимно перпендикулярные оси с правой ориентацией, с общим началом координат О и общим масштабом. Введем понятие координат произвольной точки пространства М. Пусть

47

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Mx , My , Mz – проекции точки М на координатные оси Ох, Оу, Оz соответственно. Смотрите рисунок 3.

z Mz

	М
О		у
Mx		My
х
	Рис. 3

Каждая точка на координатной оси имеет координату. Обозначим xM , yM , zM координаты точек Mx , My , Mz на координатных осях Ох,

Оу, Оz соответственно, т.е. Mx (xM ), My (yM ), Mz (zM ) .

Определение. Числа xM , yM , zM называются, соответственно, абс-

циссой, ординатой и аппликатой точки М. Упорядоченный набор чисел (xM , yM , zM ) называется координатами точки М.

Общепринято следующее обозначение координат точки М: M(xM , yM , zM ) . (Смотрите рисунок 4.)

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные оси с правой ориентацией, с общим началом координат, общим масштабом и введенным понятием координат любой точки пространства.

п.10.3 Координаты вектора и его координатная форма записи

Определение. Вектор OM , где О – начало координат, называется ра- диус-вектором точки М.

Определение. Координатами вектора называются его проекции на

48

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

координатные оси.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.) Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с координатами её ради- ус-вектора:

xM прx OM, yM прy OM, zM прz OM .

Смотрите рисунок 4.

z

Mz (zM )

M(xM , yM , zM )

a

О

у

My (yM )

хMx (xM )

Рис. 4

Принято отождествлять радиус-вектор OM с упорядоченной тройкой его координат:

OM (xM , yM , zM ) (прx OM, прy OM, прz OM) .

Введем для произвольного вектора a обозначения:

ax прx a, ay прy a, az прz a .

Пусть a – произвольный вектор пространства и a OM . Так как проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно записать:

a (прx a, прy a, прz a) (ax , ay , az ) .

Определение. Запись вектора в виде a (ax , ay , az ) называется его координатной формой записи.

49

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

Теорема. (О равенстве векторов.) Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число:

a b (ax bx , ay by , az bz ) , k a (k ax , k ay , k az ) .

Теорема. (О вычислении координат вектора.) Для того, чтобы вычислить координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

AB (xB xA ; yB yA ; zB zA ) .

Теорема. (Формула расстояния между двумя точками.) AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2 .

Теорема. (О модуле вектора.) Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

| a | a2x a2y az2 .

Обозначим углы между вектором и координатными осями: (a ^ Ox) , (a ^ Oy) , (a ^ Oz) .

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются его направляющими углами, а косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

Теорема. (О направляющих косинусах вектора.) Пусть a (ax ; ay ; az ) . Тогда

cos

a

x

, cos

ay

, cos

a

z

,

cos2 cos2 cos2 1.

| a |

| a |

| a |

50

Головизин В.В. Теорминимум ПЗ курса «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2011, с.51

z

a

О

у

х

Рис. 5

Теорема. (Об орте вектора.) Направляющие косинусы вектора являются декартовыми координатами его орта:

		o			a			(cos ; cos ; cos ) .
	a
		| a |
п.10.4 Деление отрезка в данном отношении
Теорема. (О координате								точки, делящей отрезок.) Пусть
A(xA , yA , zA ), B(xB , yB , zB )								и C(xC , yC , zC ) – три произвольные точ-

ки пространства, лежащие на одной прямой L и точка С делит отрезок

АВ в отношении CAB , считая от точки А. Тогда

xC

xA xB

, yC

yA yB

, zC

zA zB

и

1

1

1

CAB

xC xA

yC yA

zC zA

.

xB xC

yB yC

zB zC

Следствие. Если точка С есть середина отрезка АВ, то

xC

xA xB

, yC

yA yB

, zC

zA zB

.

2

2

2

51