Вопрос 5. Электромагнитные волны

Лекция 3

(18.09.13)

Уравнения Максвелла в

Волны это возмущения распространяющиеся в среде

дифференциальной форме

r

r

Материальные уравнения

B

rot E

D

E ;

r

t

0

r

r

;

div D

r

B

H

r

r

r

r0

rot H j

D

j

E

r

t

r

r

div B 0

r

r

При отсутствии электрических

H

;

E

;

rotE

0

rotH

0

зарядов и токов с учетом

r

t

r

t

материальных уравнений :

divE 0;

div H

0;

Из данной системы следует наличие электромагнитных волн.

Покажем !!!

r

r

r

2

2

2

A = grad divA

- rot rotA ;

- оператор

Используя

x

2

y

2

z

2

Лапласа

r

2 E

;

r

0 0

2 H

Получим волновые уравнения

E = 0 0

t2

H =

t2

Или используя определение операторов получаем

1

Распишем эту систему уравнений в координатных составляющих учитывая, что

r

A

A

A

r A

A

A

A

A

A

divA

;

rotA

Z

-

Y

e

+

X

-

Z

e

Y

-

X

e

;

X

Y

Z

y

z

X

z

x

Y

y

Z

x

y

z

x

EZ - EY			= -			HX		;
	y	z					t
EX - EZ			= -				HY	;
	z	x					t
EY - EX			= -				HZ	;
	x	y					t

EX EY				EZ		0;
				z
x		y
	EX		EY		EZ		;
	x		y			z

Возьмем уравнение

HZ - HY

=

EX

;

y

z

t

H

H

E

Y

X -

Z

=

;

z

x

t

HY - H X

=

EZ

;

x

y

t

H X

HY

HZ

0;

x

y

z

и продифференцируем по времени

2

2 E

H

H

H

H

Y

X =

Z -

Y

Z

-

;

t

2

y

z

t

z

t

y

t

Производные напряженности

EY - EX

= -

HZ ;

EX

- EZ

= -

HY

;

x

y

t

z

x

t

магнитного поля H выразим из:

2 E

X

E

E

E

E

Z

= -

Y -

X

X -

=

2

t

x

y

z

x

y

z

E

E

E

E

Z

= -

Y

X

X

-

=

y

x

y

y

z

z

z

x

=2 EX

y2

2 E2X z

EZ

EY

x

y

z

1 442 4 43

E

X

2

EX

2

EX

2

EX

2

EX

x

z2

t2

x2

y2

	Получили - волновое уравнение для					с
	компоненты напряженности электрического
						3
	поля с фазовой скоростью:

Аналогично получаются волновые уравнения всех компонент эл-маг поля. В векторном виде уравнения :

r

2

2

r

2

2

E

1 E

H

1 H

E

и H

t2

2

t2

t2

2

t2

Функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую волну.

Следовательно, переменное электромагнитное поле действительно распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн.

Свойства электромагниных волн (следствие теории Максвелла)

1) скорость в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде:

с

, где с 1

0 0

Ввакууме =1 и =1 скорость распространения эл-маг волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Ввеществе >1 скорость эл-маг волн в среде меньше скорости света.

4

2) векторы E, B, (скорость волны) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему. Это внутреннее свойство не зависящее от системы координат

3) Векторы E и B всегда колеблются в одинаковых фазах.

«Мгновенная фотография» линейно поляризованной электромагнитной волны

4). Между мгновенными значениями E и B в любой точке существует соотношение

п о к а ж е м

Условие задачи: Плоскополяризованная волна и распространяется вдоль оси

Х (как на мгновенной фотографии).			r	H
	Доказательство:	Распишем уравнение Максвелла	rotE 0	t
	по координатным осям, при данных условиях только компоненты
		EY и HZ не равны нулю		5

E

E

H

В результате имеем только

E

H

Z

Z

-

Y

= -

X

;

одно уравнение:

Y = -

;

t

t

y

z

x

EX

EZ

HY

Для возмущения (волны) произвольной

t x

-

= -

;

формы, представим переменную как :

z

x

t

E

E

H

Z

EY EY t x

HZ HZ t x

Y

-

X

= -

;

x

y

t

берем производные:

EYx

Подставив в уравнение ( )

EY = EYx

получаем:



1 EY

υ

HZ	HZ	=	HZ		1
t	t		t

0 HZ

	С учетом		1		0	EY		0	HZ
			0
	Интегрируем:		0 EY		0 HZ const

Const’ а обусловлена постоянными полями, здесь же поле переменное, поэтому:

0 EY

0 HZ

6

Волновые уравнения,

2

2

2

1

2

HZ

представленной волны:

EY

1

EY

и

HZ

2

t2

x2

2 t2

x2

Этим уравнениям удовлетворяют решения:

EY = E0cos t - kx +

и HZ = H0cos t - kx +

7

Энергия эл/магн поля и ее поток. Вектор Пойтинга

Электрическое и магнитное поля обладают энергией, следовательно, и электромагнитного поля она также имеется. Определим ее.

Очевидно, что плотность энергии электромагнитной волны это сумма электрического и магнитного полей:

	0 E2		0 H 2				0 E				0 H			1
w	2		2	0 0											EH EH		EH w
								H		2
				142 43	2							E
				1			0				0

С правой стороны: скорость – вектор, плотность энергии скаляр, следовательно, справа - вектор ;

Сслевой стороны: напряженности электромагнитного поля векторы, их произведение также должно быть вектором , поскольку справа вектор

Векторная величина	EH

представляет плотность потока энергии электромагнитного поля и называется вектором Пойтинга

Изменение энергии в какой-то области пространства характеризуется потоком энергии. В частности убыль энергии означает, что из этой

области энергия вытекает за ее границы.	8

Именно этот процесс и характеризует вектор Пойтинга

Теорема Пойтинга: убыль энергии за единицу времени в объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом

+

плюс мощность Р, которую силы поля производят над зарядами вещества внутри данного объема.

9

6.6. Электромагнитная волна на границе раздела

Соотношение между амплитудами и фазами

1)Условие задачи: Плоская эл/маг волна падает на границу раздела 2-ух сред

–нормально (перпендикулярно границе раздела)

2) Обозначения:	E, Н, k – падающие на границу раздела вектора;
	E’, Н’ , k’– отраженные вектора; E”, Н” , K”- преломленные вектора

3) Тангенциальные составляющие векторов на границе раздела двух сред связаны соотношениями: E1 E2 ; H1 H2 ;

4) Связь компонент электрического и магнитного полей при распространении волны вдоль координаты X:

Hz ~ 1 Ey n1Ey ;
					Hz	~ n2 Ey ;	Hz	~ n1Ey
Следствие уравнений Максвелла:
H	z	0	Ey			0 Ey		0 Hz
x			t
								10