Лабораторная работа № 8

Аппроксимация периодического сигнала рядом Фурье.

Цель работы:

Изучение представления различных периодических сигналов рядом ортогональной системе тригонометрических функций

1. Введение

В электроэнергетике и электротехнике предъявляются достаточно жёсткие требования к строго синусоидальному закону изменения токов и напряжений во времени. Но во многих областях радиотехники, автоматики, связи, электротехники, несинусоидальные, периодические сигналы (тока и напряжения) соответствуют нормальному режиму работы цепей и устройств. Нередко даже при синусоидальном входном воздействии выходная величина существенно отличается от гармонической, если в цепи содержатся наименьшие элементы (электронные или полупроводниковые приборы, катушки с ферромагнитным сердечником и др.). Поэтому методы анализа цепей с периодическими негармоническими воздействиями имеют большое значение при, разработке устройств весьма широкого применения.

Поскольку разновидностей периодических негармонических сигналов, в принципе, неограниченное множество, важнейшей задачей становится выбор такого метода анализа, который был бы применим к любой форме сигнала. Таковым оказался метод, основанный на использовании тригонометрического ряда Фурье и принципа суперпозиции, применимого к линейным энергетическим цепям.

2. Теоретическая часть

2.1 Представление периодических функций рядом Фурье.

Все периодические сигналы (напряжения, токи), отличаемые от гармонических, называются негармоническими. Они характеризуются периодом Т, формой и размахом напряжения или тока (U_p или I_p_). Математически такой сигнал, как функция времени, удовлетворяет условию:

Если эта функция удовлетворяет ряду условий, называемых условиями Дирихле, (в пределах периода Т функция f(x) непрерывна, либо имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов), то такая функция может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда Фурье. Сумма этого ряда совпадает со значениями f(t) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва дает среднее арифметическое предельных значений функции при приближении к точке разрыва слева f(t-) и справа f(t+).

Если обозначить w=2/Т (частота основной или первой гармоники), то ряд Фурье в тригонометрической форме можно записать:

(1)

где

(2)

- постоянная составляющая, a_n, в_n - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов ряда. Как следует из (1), ряд Фурье содержит только кратные основной частоте гармонические слагаемые, поскольку n принимает только целые значения, и называется номером гармоники. Все гармоники, кроме первой, называются высшими гармониками.

Можно показать, что значения a_n и в_n не зависят от выбора t₀. Поэтому, положив t₀.=0. Поэтому, положив t₀.=0 и введя новую переменную с учетом, чтои, формулы (1) и (2) можно переписать:

(3)

(4).

Если вспомнить соотношение из тригонометрии:

(5)

откудаи

(6)

,

то ряд Фурье запишется в виде:

. (7)

либо , (8)

где (9)

Очень часто периодические функции электрических или магнитных величин обладают некоторым видом симметрии, что значительно укрощает разложение такой функции в ряд Фурье. Отметим некоторые виды симметрии:

1. Функция f() симметрична относительно оси ординат (рис.1).

f()

t

-2

Рис. 1.

В этом случае , т.е. функциячетная. Из тригонометрических функций четной является только косинус, а синус – нечетная. Поэтому синусоиды не входят в состав ряда Фурье таких функций, т.е.

, (10)

т.е. четная функция может содержать только косинусоиды и постоянную составляющую. Важное свойство четных функций: для определения коэффициентов а_n достаточно пользоваться кривой f() за половину периода, т.е.

(11)

2. Функция f() симметрична относительно начала координат (рис.2).

f()

0

2

Рис. 2

В этом случае выполняется условие f(-)= -f(). Такие функции называются нечетными. Этому условию не удовлетворяют постоянная составляющая и косинусоиды, поэтому при данном виде симметрии ряд содержит только синусоиды.

, (12)

т.е. нечетная функция может содержать только синусоиды. Здесь также для определения коэффициентов b_n достаточно пользоваться кривой f() за половину периода, т.е.

(13)

3. Функция f() симметрична относительно оси абсцисс, если её дополнить той же функцией, смещенной на полпериода (рис. 3).

Такая функция удовлетворяет условию: f()= -f(+). Заменив f() по формуле (3), получим:

,

откуда для четных n получим:

.

Это условие выполняется при произвольных значениях  только в том случае, когда a₀=0 и a_n=b_n=0 для четных n. То есть, при данном виде симметрии

. (14)

Поэтому, функция с данным видом симметрии содержит только нечетные гармоники. Коэффициенты a_n и b_n можно вычислять по формулам (11) и (13).

 2 

Рис. 3

При разложении периодической функции в ряд Фурье следует сначала проанализировать её на наличие каких-либо видов симметрии. Если они имеются, то этот факт позволяет предсказать, какие гармоники не войдут в разложение. Если, например, одновременно выполняются условия симметрии по п.п. 1 и 3, то в разложении будут только нечетные синусоиды.

Часто для придания функции симметрии относительно оси ординат бывает необходимо перенести начало отсчета. На рис. 4 показана однополупериодная синусоида. Если сместить начало отсчета на отрезок , то кривая становится симметричной относительно оси абсцисс.

f()

0 0’



Рис. 4.

Пусть для некоторой функции f() известно разложение в ряд Фурье, т.е. заданы коэффициенты a_n и b_n:

.

Если сместить начало отсчета на отрезок  вправо или налево относительно исходного положения, то разложение функции в новой координатной системе получается заменой  на ₁ +₁, где ₁ – абсцисса в новой системе координат;  >0 – соответствует смещению нового начала координат вправо,  <0 – влево.

(15)

Используя известные соотношения для тригонометрических функций:

,

выражение под знаком суммы формулы (3) можно переписать:

Из формул (4) нетрудно определить, что a_n – четная функция n, а b_n – нечетная, т.е. a_n=a_-n; b_n= -b_-n. Кроме того, .

Поэтому ряд Фурье можно записать в следующем виде:

, (16)

где (17)

называется комплексной амплитудой n-ой гармоники. Формула (16) – ряд Фурье в комплексной форме.