ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Факультет ИСАУ

Кафедра Конструирование и технология электронных средств

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ТЕМА: Решение систем линейных уравнений

Выполнил: студент группы 1141

Факультета ИСАУ

Тутынин Андрей Викторович

Руководитель:

Рогачев Андрей Вячеславович

Дата защиты:

Оценка:

(подпись руководителя)

Дубна, 2012

Содержание

Содержание 2

Задачи 3

1.Теоретическая часть 3

1.1.Основные понятия 3

1.2.Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера 4

1.3.Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными 5

1.4.Метод Гаусса 6

2.Практическая часть 7

2.1.Решить систему методом Гаусса 7

2.2.Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнения. 9

Задачи

1. Решить систему методом Гаусса:

2. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнения:

1.Теоретическая часть

1.1.Основные понятия

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

a11x1	+ a12x2	+…+	a1nxn	=b1,
a21x1	+a22x2	+…+	a2nxn	(1) =b2,
…	…	…	…	…,
am1x1	+am2x2	+…+	amnxn	=bm.

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

где x₁, x_2, …, x_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа a₁₁, a₁₂, …, a_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы a_ij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены b_i (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов a_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел a₁, a₂, a_n, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных x₁, x₂, …, x_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

1.2.Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1	+ a12x2	+…+	a1nxn	=b1,
a21x1	+a22x2	+…+	a2nxn	(2) =b2,
…	…	…	…	…,
am1x1	+am2x2	+…+	amnxn	=bn.

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов a_ij.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆ = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через A_ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на A_1j, второе – на A_2j и т.д., наконец, последнее уравнение – на A_nj, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

или, сгруппировав члены относительно известных x₁, _x2, …, x_n, получим

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (3)

Коэффициент при неизвестной х_i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_1i, а_2i, …, а_ni заменены свободными членами b₁, b₂, …, b_n уравнения (2). Следовательно, выражение b₁A₁i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆xi, будем иметь

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆x_i = a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n. (3)

…………………

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

∆х =∆xi,

откуда при ∆ ≠ 0