Математические модели простейших систем массового обслуживания
Одноканальная СМО с отказами
система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с
интенсивностью 
. Поток обслуживаний имеет
интенсивность 
. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Абсолютная пропускная способность
(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
Относительная пропускная способность
(средняя доля заявок, обслуживаемых системой):
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.
Имеется n – каналов, на которые поступает
поток заявок с интенсивностью |
. Поток |
обслуживаний имеет интенсивность 
. Заявка,
заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Состояние системы S нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
S0 – в СМО нет ни одной заявки;
S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
. . .
Sn – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).
Граф состояний
Абсолютная пропускная способность:
где n – количество каналов СМО;
– вероятность нахождения СМО в
начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S0);
Относительная пропускная способность:
Вероятность отказа:
Среднее число занятых каналов:
Агнер Краруп Эрланг
(1878 – 1929)
В 1909 году он опубликовал свою первую работу: «Теория вероятностей и телефония» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations.)
Эрланг — единица интенсивности нагрузки (чаще всего в телекоммуникационных сетях).
Распределение Эрланга — статистическое распределение вероятностей.
Erlang — разработанный компанией Эрикссон язык программирования для больших промышленных систем реального времени.
Имитационное моделирование на языке GPSS
Имитационная модель посредством моделирующего алгоритма воспроизводит стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени.
При его реализации на ЭВМ производится накопление статистических данных по тем параметрам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин или их выборочных моментов.
Одним из наиболее распространенных средств создания компьютерных имитационных моделей СМО являются программные системы, основанные на языке GPSS (General Purpose Simulation System).
Система общецелевого моделирования разработана Джеффри Гордоном (Geoffrey Gordon 1924-1989 г.г.) и выпущена IBM в 1961 году.
Гордоном были созданы 5 первых версий языка: GPSS (1961), GPSS II (1963), GPSS III (1965), GPSS/360 (1967) и GPSS V (1971).
В1984 году появилась первая версия GPSS для персональных компьютеров с операционной системой DOS — GPSS/PC. Она была разработана компанией Minuteman Software под руководством С. Кокса.
В1993 году Minuteman Software выпустила GPSS World.
http://www.minutemansoftware.com/index.htm
http://gpss.ru/
Базовые операторы языка GPSS
В качестве объектов языка используются аналоги стандартных компонентов СМО
oзаявки,
oобслуживающие приборы
oочереди
ит.п.
Описание модели на языке GPSS есть совокупность операторов (блоков), характеризующих процессы обработки заявок
В GPSS моделью заявки является структура данных, называемая транзакт.
К числу базовых можно отнести те операторы GPSS, набор которых позволяет моделировать СМО простейшего вида – одноканальную систему с одним потоком заявок.
1. Генерация и удаление транзактов
GENERATE Tcp,Tм,Тн,Кт,Пр - оператор генерации транзактов
o Тср - средний интервал времени между последовательными транзактами;
o Тм - разброс интервала времени относительно Тср;
o Тн - время появления первого транзакта; o Кт - количество генерируемых транзактов; o Пр - приоритет транзактов.
TERMINATE Nз - оператор удаления транзакта
Nз - величина уменьшения счетчика числа завершений.
2. Занятие и освобождение одноканального устройства
SEIZE Ип - оператор занятия устройства Ип - имя прибора, подлежащего занятию транзактом.
RELEASE Ип - оператор освобождения устройства Ип - имя освобождаемого устройства.
3. Задержка транзакта
ADVANCE Тср,Тм – оператор задерживает транзакт на время, определяемое параметрами Тср, Тм, которые аналогичны первым двум параметрам оператора GENERATE.