Пример: Игла Бюффона.
Стол разграфлен параллельными линиями на расстоянии 2а, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?
Положение иглы можно характеризовать двумя параметрами:
Х - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, φ - угол между направлением иглы и линии.
"Случайность" положения иглы означает, что Х может равновероятно принимать любые значения от 0 до а, а φ - соответственно - от 0 до . Тогда пространство элементарных
событий представим прямоугольником, а событие А (пересечение произошло) - областью под кривой Х = L×sinφ, т.к. для пересечения нужно, чтобы Х было меньше, чем L×sinφ.
Задача о встрече
«Дуэли в городе N редко кончались печальным исходом. По обычаю каждый из противников должен придти в определенное место в любой момент от 5.00 утра до 6.00 и ждать соперника ровно 5 минут. Если тот не появляется, спор считается разрешенным. Какова вероятность, что дуэль состоится?»
х- время прихода первого, у –второго.
Пространство элементарных событий : (1час)2
Условия дуэли (А):х-у 1/12 часа.
Событие, противоположное |
|
имеет меру |
(1-1/12)2 |
Р (А)={1-(1-1/12)2}/1
Вероятность зависит от выбора
пространства
На круг бросаютэлементарныхпалку. Какова вероятностьсобытийтого, что длина хорды больше радиуса круга?
1. Закрепим одну точку пересечения и проведем касательную через нее.
U- угол между палкой и касательной от 0 до 1800 А –от 300 2. Проведем диаметр круга через центр хорды. Если точка до 1500.
пересечения внутри равностороннего треугольника, хорда длиннее радиуса.
U- диаметр круга. А отрезок длиной
3. Центр хорды равновероятно попадает в любую точку круга
U-круг радиуса R А- круг радиуса
Вероятность зависит от выбора
пространства
На круг бросаютэлементарныхпалку. Какова вероятностьсобытийтого, что длина хорды больше радиуса круга?
1. Закрепим одну точку пересечения и проведем касательную через нее.
U- угол между палкой и касательной от 0 до 1800 А –от 300 2. Проведем диаметр круга через центр хорды. Если точка до 1500.
пересечения внутри равностороннего треугольника, хорда длиннее радиуса.
U- диаметр круга. А отрезок длиной
3. Центр хорды равновероятно попадает в любую точку круга
U-круг радиуса R А- круг радиуса
Если события А и В принадлежат одному полю событий и вероятность В не равна 0, то условной вероятностью А при условии В называется отношение вероятности пересечения А и В к вероятности В.
Пример : Пусть в области, представленной на рисунке , задана геометрическая вероятность. Событие А - треугольник выше диагонали, событие В - нижняя половина области. Р(А) = 1/2 , Р(В) = 1/2 , Р(АВ) = 1/8 , P(A/B) = 1/4 .
В квадрате задана геометрическая вероятность
Если P(A/B) = P(A), то события А и В называются
независимыми . Для независимых событий из определения условной вероятности следует:
Это формула "умножения вероятностей", справедливая для независимых событий.
Пример независимых событий A и В
Видно, что АВ составляет такую же долю В, какую А составляет от всего пространства событий.