Архив2 / курсач docx180 / KURSACh(196)
.docx
1Кинематика плоского движения твердого тела
Условие: ОL=25 см; KH=22см; α=50°;β=10°; εOK=3,1c-2; υK=10см/с.
Рисунок 1- кинематический механизм
Найти:скорости υL, υH, ωKLи ускорения aL,aH,aK, εKL.
Решение:Механизм представляет собой кривошипно-шатунный механизм
Кривошип совершает замедленное вращательное движение с угловой скоростью ωOK и угловым ускорением εОК относительно точки О (рисунок 5).
Скорость и ускорение точки К равны [2]
OK находим по теореме синусов
где – угловая скорость звена OK,с-1;
– длина звена ОК, см.
Определим ускорение точки К. В векторной форме оно находится по формуле вида
,
где - вектор ускорения точки К,;
– нормальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c2;
- тангенциальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c2.
Нормальное ускорение найдём по формуле
где - нормальное ускорение точки К,
- угловая скорость звена ОК, с-1.
После подстановки получим
.
Тангенциальное ускорение найдём по формуле
где - тангенциальное ускорение точки К,см/c2;
– угловое ускорение звена ОК, с-2.
После подстановки получим:
.
Ускорение точки К в скалярной форме найдём по формуле:
.
После подстановки получим:
.
Рисунок 2– Скорость и ускорение точки К
Шатун KLсовершает плоское движение. Точка Lпринадлежит ползуну L, который совершает движение поступательно. Скорости точек Kи Lне параллельны, следовательно, мгновенный центр скоростей P звена KLлежит на пересечении прямы, перпендикулярных скоростям точек KиL(рисунок 6). Согласно следствию к теореме Шаля имеем
Рисунок 3- определение скоростей точек H,L
где υK- скорость точки К,см/с;
υL- скорость точки L,см/с;
υH- скорость точки H,см/с
KP–длина от точкиK до МЦС - точки P, см;
LP -длина от точкиL до МЦС - точки P,см.
HP -длина от точкиH до МЦС - точки P,см.
Составим пропорцию вида
Для нахождения HPвыполним следующие действия
Длину HP определим из треугольника HLP по теореме косинусов. Тогда получим выражение:
Для нахождения ускорения точки Lвоспользуемся теоремой о сложении ускорений плоской фигуры, где в качестве полюса выберем точку K
где – вектор ускоренияточки L, см/c2;
– вектор ускоренияточки K, см/c2;
– вектор ускорения звена KL, см/c2;
– нормальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c2;
- тангенциальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c2.
Где - ускорение точки Lв относительном вращении стержня LKвокруг полюса K(рисунок 7). Спроецируем векторное равенство на оси декартовой системы координат xLy, учитывая что
Рисунок 4- определение ускорений точки L
Получим систему линейных уравнений 2-ого порядка относительно
-
На ось ОХ :
-
На ось OY:
Из 1-ого :
Из 2-ого :
Аналогично находим ускорение точки H
Где
Рисунок 5- определение ускорения точки H
Наось x:
На осьy:
.
В результате расчётов, получили скорости и ускорения, равные:, , , , ,, .
-
Динамика механической системы
Дано: ; ;;; ; ; ;;; . Определить скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместится на расстояние S, и ускорение центра масс тела 1.
Механическая система движется под действием сил тяжести первого тела. Массами нитей пренебречь. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Диск (каток, колесо) считать сплошным однородным телом, если радиус инерции для него не задан. Все тела в системе абсолютно твердые. Нити нерастяжимые.
Задачу решить тремя способами:
- по теореме об изменении кинетической энергии системы. Проверить результаты расчета кинетической энергии отдельных тел и всей системы, а также работ внешних сил и моментов сил на компьютере в вычислительной лаборатории на кафедре теоретической механики;
- по общему уравнению динамики;
-по уравнению Лагранжа. Провести сравнение коэффициентов в выражении кинетической энергии отдельных тел системы с коэффициентами в выражениях работы сил и моментов сил инерции этих тел соответственно.
Решим задачу по теореме об изменении кинетической энергии. Схема для решения представлена на рисунке 6
Рисунок 6 – Схема для решения задачи по теореме об изменении кинетической энергии
Для начала найдем радиусr2. Он будет равен:
r2=4/5·R2=0,8·0,24=0,192см.
Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:
,
где - кинетическая энергия системы в конце и в начале перемещения центра масс тела 1 из состояния покоя на расстояние S;
- сумма работ всех внешних сил и моментов сил на том же перемещении;
- сумма работ внутренних сил и моментов сил на рассматриваемом перемещении системы.
T0 = 0; т.к. система движется из состояния покоя. так как тела в системе абсолютно твердые и отсутствует относительное движение тел в системе (нити нерастяжимые, качение тел по поверхностям и нитям без скольжения).
Определим кинетическую энергию системы. Она получается из суммы кинетических энергий её частей. Тогда получим выражение:
Кинематический расчет для каждого тела:
-
, , ,
-
,
Тело 1 движется поступательно. Тогда его кинетическая энергия будет равна:
,
где - масса тела 1;
- скорость тела 1.
Тело 2 вращается. Тогда его кинетическую энергию найдём из выражения:
,
где – момент инерции;
– угловая скорость.
Преобразуя формулу, получим:
Тело 3 движется плоскопараллельно. Его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии вращения и поступательного движения. Тогда получим выражение:
где – скорость центра масс;
- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости тела;
– угловая скорость тела.
Скорость центра масс:
Момент инерции тела выражается формулой:
Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии третьего тела примет вид:
Скорость центра масс:
Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии четвертого тела примет вид:
,1953
После того, как мы нашли значения всех четырех частей системы, подставим их в формулу для нахождения кинетической энергии системы. Тогда получим выражение:
Далее найдём сумму работ внешних сил. Она находится из выражения:
∑,
где - работа силы тяжести тела 1;
- работа силы трения скольжения тела 2;
- работа силы тяжести тела 2;
- работа силы тяжести тела 3;
- работа силы тяжести тела 4.
.
Работу силы тяжести тела 1 вычислим по формуле:
Работа будет положительной, потому что тело 1 опускается.
Работу силы трения скольжения тела 1 вычислим по формуле:
После подстановки известных значений получим:
.(2.18)
Так как точка приложения силы не перемещается, работа силы тяжести тела 2 будет равна нулю:
Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле:
После подстановки значений получим:
Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле:
Зная все работы, найдем сумму работ внешних сил, подставив значения. Тогда получим:
Далее найдём скорость тела 1.
.
Сократим массы, выразим скорость и найдём её:
м/c
Теперь найдем ускорение тела 1. Для этого продифференцируем по времени:
Выразим и найдём ускорение:
м/c2.
Теперь решим задачу по общему уравнению динамики. Общее уравнение динамики составляется в результате последовательного применения принципа Даламбера для системы и принципа возможных перемещений. Оно записывается в виде равной нулю суммы работ трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении, задаваемом из положения системы в рассматриваемый момент времени:
или
где - активная сила, действующая на k-тую точку системы;
- реакция связей, приложенная к k-той точке;
- сила инерции k-той точки;
- радиус-вектор k-той точки относительно начала координат
- число точек системы.
Число независимых общих уравнений динамики для системы равно числу степеней свободы системы.
Механическая система состоит из бесконечного числа точек, поэтому имеет и бесконечное число сил инерции этих точек. Необходимо привести силы инерции к выбранному центру и получить одну силу, равную главному вектору сил инерции, и одну пару сил, векторный момент которой равен главному моменту сил инерции относительно выбранного центра приведения .В динамике за центр приведения чаще всего выбирают центр масс. Главный вектор Ф сил инерции не зависит от центра приведения и всегда вычисляется по формуле:
,
где - масса всей системы;
- вектор ускорения центра масс системы.
Главный момент сил инерции относительно центра приведения 0 вычисляется по проекциям на оси координат .
При поступательном движении тела центр приведения выбираем в центре масс С и имеем
.
Во вращательном движении, если выполняются два условия:
-
тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения;
-
центр приведения выбирается в этой плоскости симметрии, то главный момент сил инерции параллелен оси вращения и вычисляется по одной проекции на эту ось:
,
гдеО - центр приведения;
Jоz - момент инерции относительно оси, проходящей через центр приведения О и параллельной оси вращения Z;
ε - угловое ускорение тела.
Можно выбирать любую точку за центр приведения, но в большинстве задач динамики рекомендуется выбирать центр масс С за центр приведения, так как решение задач получается более простым, при этом главный вектор сил инерции по-прежнему вычисляется по формуле
,
а момент сил инерции относительно точки С при выполнении указанных выше двух условий вычисляется по формуле
,
где С - центр приведения и центр масс тела;
Jcz - момент инерции тела относительно оси СZ;
ε- угловое ускорение тела.
В плоском движении за центр приведения выбирается центр масс. Тело, если нет особых указаний, имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения и проходящую через центр масс, поэтому надо использовать и .
В моей задаче ,если задержать тело 1, которое движется поступательно и прямолинейно, то есть если убрать одну степень свободы у системы, то вся система остановится. Следовательно, при движении эта система имеет одну степень свободы. Схема для расчёта представлена на рисунке 7
Рисунок 7 – Схема для решения задачи по общему уравнению динамики
Рассмотрим силы действующие на тела. На тело 1 действует сила тяжести:
Сила инерции:
Сила трения:
(2.41)
где =.
Подставив значения, получим выражение:
.(2.42)
На тело 2 действует момент инерции
(2.43)
где ;
После подстановки значений получим:
.(2.44)
На тело 3 действует сила тяжести:
.(2.45)
Сила инерции:
.(2.46)
Запишем выражение:
.(2.47)
Отсюда выразим ускорение центра масс и подставим значения. Тогда получим:
.(2.48)
Момент инерции центра масс найдём по формуле:
(2.49)
После подстановки получим выражение:
.(2.50)
Момент инерции найдём по формуле:
(2.51)
где
.
После подстановки значений получим выражение вида:
.(2.52)
Теперь запишем общее уравнение динамики для данной системы. Получим выражение вида:
. (2.53)
где
;
=2.
После подстановки значений получим:
.(2.54)
Далее сократим наm, и. Так же подставим числовые значения.Получим выражение:
.(2.55)
После операций с числами получим:
(2.56)
Тогда ускорение будет равно:
.
Наконец, решим задачу по уравнению Лагранжа второго рода. Уравнения Лагранжа второго рода являются дифференциальными уравнениями движения механической системы в обобщенных координатах:
(2.57)
гдеТ - кинетическая энергия системы в абсолютном движении, выраженная в обобщенных координатах;
- i-я обобщенная координата;
- i-я обобщенная скорость;
- обобщенная сила по i-й обобщенной координате;
n - число степеней свободы системы.
Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат, дифференциальными уравнениями первого порядка относительно обобщенных скоростей и алгебраическими линейными уравнениями относительно обобщенных ускорений.
Уравнения Лагранжа можно получить из общего уравнения динамики системы, переходя в последнем к обобщенным координатам.
Число независимых уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.
Поскольку в общем уравнении динамики содержатся работы трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции, а правая часть уравнения Лагранжа представляет собой обобщенную силу, которая рассчитывается через работы только двух групп сил: активных и реактивных связей, то, следовательно, работы сил инерции записаны в левой части уравнения Лагранжа в виде:
(2.58)
Схема для решения задачи представлена на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 – Схема для решения задачи по уравнению Лагранжа второго рода
Система имеет одну степень свободы. Запишем уравнение Лагранжа второго рода:
,(2.59)
где – обобщённая сила.
Кинетическая энергия системы была найдена в двух предыдущих методах и она равна:
.(2.60)
Скорость является первой производной от перемещения:
.(2.61)
Тогда получим выражение вида:
.(2.62)
Далее вычислим производные:
,(2.63)
так как координата S не входит в выражение T.
.(2.64)
.(2.65)
Теперь вычислим обобщенную силу. Она представлена выражением:
.(2.66)
.(2.67)
.(2.68)
.(2.69)
.(2.70)
. (2.70)
Подставив значения, рассчитаем обобщённую силу. Получим выражение:
.(2.71)
Подставив полученные значения в уравнение Лагранжа, найдём ускорение:
. (2.72)
.
В завершении найдем скорость. Внешние силы, действующие на механическую систему, постоянные, поэтому движение системы равнопеременное.
Для расчета скорости центра масс тела 1 в тот момент времени , когда он переместится на заданное расстояние S, используем закон равнопеременного движения при начальной скорости, равной нулю
см/c .
Список использованной литературы
1. Дунаева В.В. Динамика механической системы: Методические указания к выполнению семестрового задания Д-10 по теоретической механике. – Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003 – 42с.
2. Морозов С.И., Яковлева Л.П., Ваенский П.Н. Кинематика плоского движения твердого тела: Методические указания к выполнению расчётно-графических заданий по теоритической механике. – Архангельск, ИПЦ САФУ, 2012 – 34с.