Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

уч. пос. 2012 стр. 62-71

.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
14.05.2015
Размер:
399.36 Кб
Скачать

68 69

Множество всех первообразных функций для функции называется неопределенным интегралом от функции на промежутке и обозначается символом .

Таким образом, где – знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых , то есть каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства, которая называется интегральной кривой.

Нахождение неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием этой функции. Эта операция является обратной для операции дифференцирования. При интегрировании применяются свойства неопределенного интеграла, таблица неопределенных интегралов и специальные методы интегрирования.

7.2. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов

Неопределенные интегралы обладают следующими свойствами.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, то есть .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, то есть .

Последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления соответствует формула интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1. .

2. .

3. , где ≠-1.

4. .

5. .

6. .

7.

8.

9. .

10. .

11. .

12.

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

7.3. Непосредственное интегрирование.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Нахождение неопределенных интегралов с использованием основных свойств и таблицы неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Например,

Пример. Для некоторого предприятия предельные издержки (затраты) имеют вид , где – объем производства. Определить суммарные затраты предприятия при условии, что постоянные издержки равны 80.

Решение. Предельные издержки , где есть искомая функция суммарных издержек. Имеем .

Постоянные издержки не зависят от объема производства, то есть для издержки все равно будут равны 80. Поэтому получаем , отсюда находим . Итак, величина равна постоянным издержкам. В итоге получаем .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки , где – непрерывная функция новой переменной , имеющая непрерывную производную . Формула замены имеет вид:

.

Если , то для нахождения интеграла решаем уравнение относительно , то есть находим обратную функцию и подставляем ее в . В итоге получаем:

.

Итак, после интегрирования этим методом обязательно возвращаемся к старой переменной.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Произведем следующую подстановку: . Тогда

, , , .

Теперь исходный интеграл примет вид:

7.4. Интегрирование по частям

Пусть и – дифференцируемые функции аргумента . Проинтегрируем формулу Лейбница . Получим . Так как , , , имеем или .

Интегрирование по частям производится по следующей формуле:

.

С помощью этой формулы нахождение исходного интеграла сводится к отысканию другого интеграла , который проще исходного. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

Следующие типы интегралов удобно интегрировать по частям. Для интегралов вида , , , где P(x) – многочлен, за u принимают P(x), а за оставшееся выражение; для интегралов вида , , за u принимают соответственно функции , , , а за – выражение .

7.5. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, , . Если у дроби степень числителя меньше степени знаменателя, то она называется правильной, в противном случае – неправильной. Неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, используя алгоритм деления многочленов. Например, . В этом случае интеграл от исходной дроби сведется с помощью метода разложения к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Для нахождения интеграла делают замену . В итоге имеем .

Интеграл , если , приводится к табличному интегралу (вынося в знаменателе), если к табличному интегралу. Для интеграла используют замену .

В общем случае применяют метод неопределенных коэффициентов, представляя подынтегральную функцию в виде , где – некоторые числа, которые находятся из этого равенства, приводя дроби правой части к общему знаменателю.

Пример. Найти .

Решение. Имеем , ,

, . Получаем систему

Решив ее, находим и . Итак, .

Следовательно, .

Итак, интегрирование правильной рациональной дроби приводят к интегрированию простейших дробей. Например, , .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что такое неопределенный интеграл?

3. Перечислите свойства неопределенного интеграла.

4. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.

5. Как выполняется непосредственное интегрирование?

6. Как проводится интегрирование заменой переменной?

7. Напишите формулу интегрирования по частям.

8. Как интегрируются простейшие рациональные дроби?

Тема 8. Определенный интеграл.

Вычисления определенных интегралов

8.1. Интегральные суммы. Определенный интеграл.

Свойства определенного интеграла

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок точками на части. В каждом из отрезков длины выберем некоторую точку и составим сумму:

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек , тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Задача о нахождении называется интегрированием функции на отрезке .

Отметим, что неопределенный и определенный интеграл – различные понятия, так как неопределенный интеграл представляет семейство функций, а определенный есть число.

Определенный интеграл обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

8.2. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование заменой

и по частям в определенном интеграле

Если функция непрерывна на отрезке и какая-либо ее первообразная на , то тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница: