84 85

Тема 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

9.1. Основные сведения о функциях

Нескольких переменных

Многим явлениям, в том числе и экономическим, присуща многофакторная зависимость. Например, спрос на товар зависит от его цены, качества изготовления и других показателей. Исследование таких зависимостей потребовало введения понятия функции нескольких переменных.

Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значенийсоответствует по какому-то законуодно значение переменной величины. В этом случае задана функция нескольких переменных

Переменные называются независимыми переменными или аргументами. Все их допустимые значения образуют область определения функции. Все значения зависимой переменнойобразуют множество значений функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных можно задавать аналитически, то есть формулой, при помощи таблиц, при помощи графика для функций двух переменных: – это множество точек пространства с координатамив системе координат.

Например, предприятие производит видов продукции, которые реализуются по ценам, при объемах реализациивыручка будет задаваться линейной функцией аргументов, то есть. Прейскурант автомастерской есть табличный способ задания стоимости ремонта в зависимости от выполненных работ. Перечень этих работ – это область определения функции, а стоимость всех работ – значение функции. График функцииизображен на рисунке.

Линией уровня функции двух переменных называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью, где– постоянная величина.

Обычно линии уровня проецируются на координатную плоскость , в этом случае их удобно анализировать.

Линии уровня производственной функции Кобба-Дугласа , где– объем выпущенной продукции,– затраты капитала,– трудовые затраты, коэффициенты, называются изоквантами и определяют одинаковый выпуск продукции при различных сочетаниях факторови.

9.2. Частные производные и дифференциалы функции двух аргументов

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Придадим переменнойв точкепроизвольное приращение, оставляя значение переменнойнеизменным. Тогда соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке.

Если существует предел , то он называется частной производной функциипо переменнойи обозначается одним из следующих символов:

.

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обыкновенную производную функции одной переменнойпри фиксированном значении переменной. Поэтому частная производная вычисляется по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

Аналогично определяется частная производная функции по переменнойи обозначается одним из символов:

.

Например, найти частные производные функции . Частную производнуюнаходим как производную функциипо аргументуприy =const.

.

Аналогично

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка и обозначаются следующим образом:

.

Полный дифференциал функции или дифференциал первого порядка от функции находится по формуле:

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала. Еслии– независимые переменные и функцияимеет непрерывные частные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

.