136 137

Тема 15. Знакопеременные и степенные ряды

15.1. Знакопеременные числовые ряды

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных слагаемых. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда:

.

Такой ряд называется абсолютным.

Если этот ряд сходится, то сходится и знакопеременный ряд. Знакопеременный ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а абсолютный ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Следующие теоремы отражают важные свойства абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов.

Теорема 1.Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся, имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов.

Теорема 2.Если ряд сходится условно, то какое бы ни взять наперед заданное число, можно так переставить члены этого ряда, чтобы сумма получившегося после перестановки ряда оказалась равной. Можно переставить члены условно сходящегося ряда так, чтобы ряд, полученный после перестановки членов, оказался расходящимся.

Итак, абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Например, рассмотрим ряд

.

Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

.

После вычитания первых разностей в скобках имеем:

.

В скобках получили исходный ряд. Скобка умножается на , то есть сумма ряда уменьшается в 2 раза.

15.2. Признак сходимости знакочередующихся рядов

Числовой ряд называется знакочередующимся, если члены рядаидля любыхимеют разные знаки. Знакочередующийся ряд записывают в виде, где. Признак сходимости для знакочередующихся рядов следующий.

Признак Лейбница. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда

монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

Например, ряд условно сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) 2),

а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, так как он гармонический ряд.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда иногда называют признаком условной сходимости.

15.3. Функциональные и степенные ряды

Выражение называется функциональным рядом. Слагаемыми в таком ряду являются функции. Если переменнойдать конкретное числовое значение, то получим числовой ряд из значений функций в точке:.

Точка называется точкой сходимости функционального ряда, если числовой рядсходится. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости.

Практическое применение имеют степенные ряды, то есть ряды, слагаемыми которых являются степенные функции с натуральными показателями. Степенной ряд записывают в виде

,

где числа называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая различные значения в этом ряде, будем получать различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Если , то рядпринимает вид, то есть его сумма равна. Итак, степенной ряд имеет, по крайней мере, одну точку сходимости – начало координат. Ответ на вопрос об области сходимости степенного ряда дает теорема Абеля.

Теорема. Если рядсходится при, то он абсолютно сходится при всех значениях, удовлетворяющих неравенству, если же рядрасходится при, то он расходится при всех значениях, удовлетворяющих неравенству.

Например, степенной ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем. Этот ряд сходится, если. Отсюда, то есть областью сходимости является интервал. Ряд расходится для значений.