- •1. Кривые Евклидова пространства.
- •2.Поверхности Евклидова пространства.
- •1.Кривые Евклидова пространства
- •1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке.
- •1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и выбранной точке.
- •1.3 Кривизна и кручение кривой. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.
- •1.4 Построение кривой
- •2.Поверхности евклидова пространства.
- •2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности.
- •2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности.
- •2.3Вторая квадратичная форма поверхности.
- •2.4 Полная и средняя кривизны поверхности.
- •2.5 Изображение поверхности
- •3.Список использованной литературы.
Содержание.
1. Кривые Евклидова пространства.
1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.........................2 стр.
Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой............................................................................................3 стр.
1.2Соприкасающаяся плоскость в произвольной и в выбранной точке..4 стр.
Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке..............................................................5 стр.
1.3 Кривизна и кручение в выбранной и произвольной точке.....................6 стр.
Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке.............................................................................................7 стр.
1.4 Построение кривой...................................................................................9 стр.
2.Поверхности Евклидова пространства.
2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности................................10 стр.
Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке.............................................................................................................11 стр.
2.2 Первая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке...14 стр.
Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке..............................................................................................................15 стр.
2.3 Вторая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке...17 стр.
Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке...........................................................................................19 стр.
2.4 Полная и средняя кривизна поверхности.............................................22 стр.
Вычисление полной и средней кривизны поверхности...............................23 стр.
2.5 Изображение поверхности....................................................................24 стр.
3.Список использованной литературы......................................................25 стр.
1.Кривые Евклидова пространства
Нам даны параметрические координаты кривой: x= , y=,z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.
1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке.
Вектор () является вектором касательной кривойв точке. Обозначим точку кривой, соответствующую значению параметра, черезP, т.е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке. По вектору=и точкеP запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
+=0.
Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой
Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.
В уравнение касательной прямой:
подставим наши координаты: x, y и z вместо ,исоответственно, и производныевместо, получим:
Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :
Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:
+=0
наши координаты:
+=0.
Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что . В итоге получаем:
+=0.
Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.