Ларина

для

	л	е	к
Э

Ларина Л.Н.

АГ

НИ

е

ка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Методическое пособие

по дисциплине «Высшая математикат

»

и

студентов, обучающихся по специальности 080104 «Экономика труда»,

080502 «Экономика управлен я на предприятиио

»

л

всех форм обучен я

б

и

б

ая

н

н

о

тр

НИ

Данное методическое пособие содержит необходимый краткий теоретический

материал при изучении темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,

достаточное количество примеров с подробным решением; к каждому разделу

приведены задания для самостоятельной работы, а также контрольные работы

по

темам:

«Дифференциальные

уравнения

первого

порядка»,

«Дифференциальные уравнения второго порядка» и варианты тестовых

заданий.

Данное методическое пособие разработано в помощь студентам второго курса

ка

экономических специальностей для самостоятельной работы над темой, а также

может быть использовано как задачник для практических з нятий в

АГудитории.

о

т

е

и

л

б

и

б

ая

н

н

о

тр

е

к

л

Э

Содержание.

АГ

НИ

&1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

1.1. Основные понятия.

1.2. Уравнения с разделёнными переменными.

1.3. Уравнения с разделяющимися переменными.

ка

1.4. Однородные дифференциальные уравнения.

1.5. Линейные уравнения.

1.6. Уравнения Бернулли.

е

1.7. Уравнения в полных дифференциалах.

1.8. Уравнения Лагранжа.

1.9. Уравнения Клеро.

& 2. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

2.1. Уравнения вида у(n) = f (x) .

и

о

т

2.2. Уравнения вида

F(x, y/ , y// ) = 0 .

2.3. Уравнения вида F( y, y/ , y // ) = 0 .

&3. Линейные однородные дифференциа ьные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами.

б

и

&4. Линейные неоднородные дифференциальныел

уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами.

б

&5. Нормальная система дифференциальных уравнений.

5.1. Основные понятия.

5.2. Методы решения систем уравнений.

ая

& 6. Решение задач с помощью дифференциальных уравнений.

& 7. Задания для контрольных работ.

& 8. Варианты тестовых заданий.

о

н

н

тр

е

к

л

Э

Э

§1. Дифференциальные уравнения первого порядка.	АГ	НИ
1.1. Основные понятия.

Определение. Уравнение вида F(x, y, y/ ) = 0, (1) где х – независимая переменная, у – искомая функция, у/ - её первая производная, называется

дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у/ , то оно принимает вид

у/ = f (x, y)

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно

производной.

е

ка

Определение. Решением дифференциального уравнения первого порядка

называется функция

т

у = ϕ(х) , которая при п дстан вке в уравнение

превращает его в тождество.

о

График этой функции называется интегральной кр

вой.

Условия , у = у0

при

х = х0 (3)

и

в силу которых функция у = ϕ(х) принимает

заданное значение у0 в заданной точке х0

называютл

начальными условиями

решения.

б

Определение. Общим решением уравнения (2) в некоторой области G

называется функция

и

y = ϕ(x,C), если она является решением уравнения (2)

б

при любом значении посто нной С и если при любых начальных

условиях (3) таких, что (х0 ; у0 ) G, существует единственное значение

постоянной C = C0 такое, что функция y = ϕ(x,C0 )

удовлетворяет данным

начальным условиям ϕ(x0 ,C) = y0 .

ая

Определение. Част ым решением уравнения (2) в области G называется

н

функция y = ϕ(x,C0 ), которая получается из общего решения у = ϕ(х,С) при

определённом з

аче

ии постоянной С = С0 .

Геометрически

бщеен

решение у = ϕ(х,С)

представляет собой семейство

интегральных к ивых на плоскости, а частное решение у = ϕ(х,С0 ) – одну

о

интегральную к ивую этого семейства, проходящую через заданную точку

(х0 ; у0 ).

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).
		тр
Если в уравнении y/ = f (x; y) функция f (x; y) и её частная производная f y/ (x; y)
	к
непр рывны в некоторой области, содержащей точку (x0 ; y0 ) , то существует
единственноее			решение y = ϕ(x) этого уравнения, которое удовлетворяет
начальному условию y(x0 ) = y0 .
л

Э

1.2. Уравнения с разделёнными переменными

Определение. Уравнение вида P(x)dx + Q(y)dy = 0

называется уравнением с

разделёнными переменными.

НИ

Его решение òР(х)dx + òQ( y)dy = C .

Пример 1. Решить уравнение (2х +1)dx + (3y2

+ 2y)dy = 0.

Решение. Уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя, находим

общий интеграл: ò(2х +1)dx + ò(3y2 + 2y)dy = C Þ x2

+ x + y3 + y2 = C.

АГ

Пример 2. Решить уравнение (2x − 2)dx + 2ydy = 0 .

ка

Решение. Уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его , находим

общий интеграл: ò(2x - 2)dx + ò2ydy = C Þ x2 - 2x + y2 = C.

е

о

т

1.3.Уравнения с разделяющимися переменными.

и

Определение. Уравнение вида у/ = f1 (x) f2 ( y), (4)

где f1 (x), f2 (y) - непрерывные функции, называется дифференциальным

уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1.Решить уравнение у/ =

у

.

б

л

х

Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

f1 (x) =

1

,

f2 ( y) = y. Разделяя переменныеи , получаем

dy

=

y

Þ

dy

=

dx

.

dx

y

x

ая

б

x

x

dy

dx

Интегрируя,

ò

=

ò

получаем

ln | y |= ln | x | + ln | c | - общий интеграл и

y

x

y = Cx - общее решение.

Пример 2. Найти част ое решение дифференциального уравнения

н

(x2 -1) y/ + 2xy2 = 0 , удовлетворяющего условию y(0) = 1.

о

н

dy

2xdx

Решение.

Разделяя переменные, получаем

= -

. Тогда интегрируя,

y2

x2

-1

тр

2xdx

1

находим ò

dy

= -ò

Þ

= ln | x

2

-1| +C. Общий интеграл уравнения имеет

y

x

-1

y

вид y(ln | x2 -1| +C) = 1.

Используя начальное условие , находим С:

к

С = 1.

Тогда частный интеграл y(ln | x2

-1| +1) = 1.

1(0 + С) = 1

Þ

е

Прим р 3. Найти общий интеграл уравнения ех dy - yex dx + 8dy = 0 .

л

Решение. Сгруппируем члены с dx и dy:

Э

(ex

+ 8)dy = yex dx. Разделяя переменные, имеем

НИ

dy

=

ex

Þ ò

dy

= ò

ex dx

Þ

ò

dy

= ò

d(ex

+ 8)

Þ ln | y |= ln | e

x

+ 8 | +ln c .

y

e

x

+ 8

y

e

x

+ 8

y

e

x

+ 8

Используя свойство логарифмов, имеем ln | y |= ln | c(ex

+ 8) | , т.е.

y = c(ex

+ 8) .

Пример 4. Найти частное решение уравнения (xy2

АГ

= 1.

+ x)dx + (x2 y - y)dy = 0,

y(0)

Решение. Преобразуем уравнение к виду x( y2 +1)dx + y(x2

-1)dy = 0 .

2

2

2

ка

2

Разделяя переменные и интегрируя, получим

xdx

+

ydy

= 0 Þ

ò

ydy

+ ò

xdx

= c

Þ

1

ò

d( y

2 +1)

+

1

ò

d(x2

-1)

= c .

x

2

-1

y

2

+

1

y

2

+

1

x

2

-

1

2

y

2

+1

2

x

2

-1

Имеем ln | y2

+1| +ln | x2

-1|= ln c

е

Þ

( y2 +1)(x2 -1) = c . Учитывая, что y(0) = 1

т

имеем:

c = −2. Следовательно,

(y

+1)(x

-1) = -2. Откуда y

+1 =

1

- x2

есть

частное решение исходного уравнения.

и

о

Задания для самостоятельной работы.

л

Найти интегральные кривые дифференциа ьных уравнений.

1.

2ydx + (1+ x2 )dy = 0

и

б

Ответ:

y(1+ x2 ) = C

2.

y/

= tgxtgy

б

Ответ:

sin y cos x = C

3.

y

/

y = -2xsec y

Ответ:

x

2

+ y sin y + cos y = C

4.

y/

+ sin( x + y) = sin( x - y)

Ответ:

ln | tg( y / 2) | +2sin x = C

5.

y(1+ x2 )y /

+ x(1+ y

2 ) = 0

ая

Ответ:

(x2 +1)(1+ y2 ) = C

9.

y

=

1+ x2

Ответ:

y = ln(1+ x ) + C

6.

ex dx -

(1

+ e y ) ydy =

0

Ответ:

2ln(1

+ ex ) - y

2 = C

7.

y/

= 2ex cos x

Ответ:

y = ex (cos x + sin x) + C

8.

y/

= y ln y

н

Ответ:

ln | ln y | −x = C

/

2x

н

2

10.

1

Ответ:

y

/

=

о

y = ln | x + x2

-1 | +C

x2

-1

y2

Cy

11. xy/

- y = y

3

Ответ:

x =

;

y = 0

14.

y/

= 8

yтр, y(0) = 4

Ответ:

y = (4x + 2)

2

1+ y

2

12.

y/ y(1+ ex ) = ex ,

y(1) = 0,5

Ответ:

2e

2

=

e

(1+ ex )

13.

xy/

+ y = y2 ,

y(1) = 0,5

Ответ:

y(1− Cx) = 1

е

л

y +1

Ответ:

y = −1+ C(x +1)

y

/

15.

= к

x +1

Э

	1.4.	Однородные дифференциальные уравнения.		НИ
	Определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией
	m - го	измерения, если f (λx,λy) = λm f (x, y) .	АГ
	Определение. Дифференциальное уравнение вида			(5)
			P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

где P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одинакового измерения,

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

С помощью замены	ка
	y = ux, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися

переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка н зывается

/

æ

y ö

однородным, если оно может быть представлено в виде

y

= f ç

÷ .

è x ø

/

æ

a1 x

ö

Уравнение вида y

= f

ç

+ b1 y + c1 ÷

сводится к однородному, если прямые

ç

÷

è a2 x

+ b2 y + c2 ø

е

a1x + b1 y + c1 = 0,

a2 x + b2 y + c2 = 0

пересекаются. Для эт готдостаточно взять

подстановку

x = u + α

y = v + β , где

(α, β ) − точка пересечения прямых

а1х + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0 .

о

Если прямые не пересекаются, то уравнение решаетсяи

с помощью замены

переменной z = a1 x + b1 y .

л

/

+ y .

xy

= x

2

+ y

2

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

б

Решение. Выразим y/

x

2

+ y

2

+ y

y/

y

2

y

. Уравнение однородное.

=

Þ

=

1+

+

x

x2

x

и

С помощью замены y = ux,

y/ = u

/ x + u

приводим данное уравнение к виду

+ u, т.е. u/ x =

б

u/ x + u =

1+ u2

1+ u2 . Разделяя переменные и интегрируя,

du

dx

Þ ò

du

= ò

dx

получим:

=

Þ

ln | u +

1+ u

2

|= ln | x | + ln c,

x

x

1+ u

2

1+ u

2

ая

= cx . Возвращаясьн

т.е. u +

к исходной переменной, имеем

y

+ 1+

y2

= cx .

1+ u2

x

Пример 2. Найти решениен

x2

уравнения (x2 + y2 )dx - 2xydy = 0,

y(4) = 0.

Решение. Так какофункции P(x, y) = x2 + y2 ,

Q(x, y) = 2xy - однородные одного

тр

измерения, о исходное уравнение является однородным. С помощью замены

y = ux,

к

= u / x

+ u сведём его к уравнению с разделяющимися переменными.

y/

л

е

Э

2udu2

= dx

Þ

ò

2udu2 =

ò dx Þ - ln |1- u2 |= ln | x | +ln | c | Þ

1

2

= cx.

НИ

x

2 + y2

-

2xyy/ =

0,

x2 + u2 x2 - 2ux2 (u / x + u) = 0,

x2 (1+ u2 - 2uu/ x - 2u2 ) = 0,

АГ

1- u2

= 2uu / x,

1- u

x

1- u

x

х2

1- u

Возвращаясь к исходной переменной, имеем

= сх .

ка

х2

- у2

1

х

Учитывая, что у(4) = 0 имеем с =

. Следовательно,

=

1

.

4

х2

- у2

4

т

+ y - 3

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y/

=

2x

.

о

x -1

/

æ

ö

е

Решение. Это уравнение вида y

=

ç

a1 x + b1 y + c1

÷

= -1 ¹ 0)

приводится

1

f ç a

x + b y + c

÷, (2 × 0 -1×

è

2

2

2 ø

к однородному подстановкой x = u +α,

y = v + β , где

(α;β ) - точка пересечения

прямых

2x + y - 3 = 0

и x -1 = 0.

л

Найдём её, реш в с стему уравнений

ì2х + у - 3 = 0

ì

у = 1

б

и

í

х

-1 = 0

Þ í

х =

1

. Следовательно, α = 1,

β = 1.

î

î

и

Делаем подстановку

х = u +1, y = v +1, тогда уравнение преобразуется к виду

(2(u +1) + v +1− 3)du − (u +1−1)dv = 0,

б

(2u + v)du - udv = 0.

ая

откуда dv = udt + tdu;

В полученном однородном уравнении положим v = ut,

придём к уравнению с раздел ющимися переменными

(2u + ut)du − u(udt + tdu) = 0,

u(2 + t)du - u2 dt - utdu = 0,

2udu - u2 dt = 0,

н

2du - udt = 0,

2

2du

о

2duн

t 2

- dt =

0 Þ ò

òdt = c

2ln | u | -

= c

-

Þ

u

u

2

тр

v

2(x -1)2

или (после замены t =

)

2ln | u | -

v

= c.

2u2

u

Возвращаясь к переменным х и у (

u = x -1,

v = y -1)

найдём общий интеграл

к

( y -1)2

исходного уравнения

2ln | x -1| -

= c или

л

е

ln(x -1)

2

1

æ y -1ö2

= c.

-

2

×ç

-1

÷

è x

ø

Пример 4. Решить уравнение (x + y + 3)dx + (2x + 2y −1)dy = 0.

Э

Решение. Уравнение вида		/	æ	a1 x + b1 y + c1	ö	,	НИ
			ç		÷
	y		= f ç		÷
			è a2 x + b2 y + c2		ø

прямые x + y + 3 = 0

и

2x + 2y -1 = 0 не пересекаются. Положим поэтому

x + y = t,

dy = dt - dx.

Данное уравнение примет вид

АГ

(t + 3)dx + (2t -1)(dt - dx) = 0,

(2t -1)dt - (t - 4)dx = 0.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

2t -1

ò

dt - òdx = C, 2t + 9ln | t - 4 | -x = C.

t - 4

Возвращаясь к старым переменным

(t = x + y), получим оконч тельный ответ:

2(x + y) + 9ln | x + y − 4 | −x = C,

x + 2y + 9ln | x + y - 4 |= C.

Задания для самостоятельной работы.

ка

Найти интегральные кривые дифференциальных уравнений.

y

y

е

y

1.

y/

= e x

+

Ответ:

e

− x + ln | x |= C

x

y

т

c

2.

y/

=

-1

Ответ: у = хln

x

о

x

x

л

иОтвет: e

x

3.

= xy + y2e−

б

x2 y/

y

y

+ ln | x |= C

4.

x cos

y

dy + (x - y cos

y

)dx = 0

и

Ответ:

ln | x | +sin

y

= C

x

x

x

x

5. (x2

+ 2xy)dx + xydy = 0

б

Ответ:

ln | x + y | +

= C

x + y

6.

/

æ y ö

æ y ö

Ответ:

y æ

y

ö

xy

lnç

÷

= x + y lnç

÷

ая

ln x -

x

çln

x

-1÷ = C

è x ø

è x ø

è

ø

7.

Ответ:

y

ydx + (2

xy - x)dy =

0

+ ln | y |= C

x

8. (4y2

+ x2 ) y/ = xy

Ответ:

ln | y |=

x2

+ C

8y2

9.

xy

/

æ y

ö

+ x = y sin

æ

y ö

Ответ:

Cx = e

cos( y / x)

sinç

÷

ç

÷

è x

ø

è x

ø

10.

xy + y2 = (2x2 + xy) y

/

н

Ответ:

y2 = Cxe− y / x

11.

y

/

=

xy + y2

о

н

Ответ: y2e y / x = Cx

2x2

+ xy

12. x2 - 3y2

y(-2) = 2

Ответ:

y = −x

+ 2xyy/

= 0,

13.

xdy = (x + y)dx,

y(1) = 0

Ответ:

y = x ln x

14. (x2 - 3y2тр)dx + 2xydy = 0,

y(2) = 1

Ответ:

y = x 1-

3

x

к

Ответ:

8

2

2

x

+ 2xy - y

- 4x + 8y = C

15. (x − y

+ 4)dy + (x + y − 2)dx = 0

л

е

Э

1.5.

Линейные уравнения.

НИ

Определение. Уравнение вида у/

+ p(x) y = f (x),

(6) где p(x) и

f (x) -

непрерывные функции, называется линейным дифференциальным

уравнением первого порядка.

АГ

Если f (x) = 0,

то уравнение называется линейным однородным уравнением.

Если f (x) ¹ 0,

то уравнение называется линейным неоднородным.

Для его решения применяют метод вариации произвольной постоянной или

метод подстановки.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y/ + 3y = e2x .

Решение. Найдём общее решение данного уравнения методом подстановки.

Положим

y = uv,

тогда

т

кания в данное

y / = u/ v + v/ u. Подставляя эти выраж

уравнение, получим u/ v + v/ u + 3uv = e2x ,

u/ v + u(v/

+ 3v) = e2x .е

Потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы

v/ + 3v = 0, Þ

dv

= -dx; Þ

1

ln v = -x; Þ v = e−3x .

и

о

3v

3

л

Подставляя найденное значение v в уравнение u/ v = e2x , найдём

u

e

−3x

= e

2x

; du = e

5x

dx; Þ u =

1

e

5x

+ C. Но

б

ç

e

5x

+ C ÷ .

y = uv,Þ y = e

/

−3x æ 1

ö

5

è 5

ø

2способ. Метод вариации постоянной.

Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y/

+ 3y = 0.

Разделяя переменные и интегрируя, находими

dy

= -3dx Þ ò

dy

= -3òdx

ая

б

−3x

.

Þ ln | y |= -3x + ln | C | Þ

y = Ce

y

y

Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде

y = C(x)e−3x

н

, где произвольную постоянную будем считать уже функцией от х .

Дифференцируя, имеем у/ = С / (х)е−3х - 3С(х)е−3х .

Подставляя в данное уравнение

выражения для

у и

н

у/

получаем

о

= е2х , С / (х) = е5х

С / (х)е−3х - 3С(х)е−3х + 3С(х)е−3х = е2х , С / (х)е−3х

тр

С(х) =

1

е5х + С

5

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

к

æ 1

ö

1

у =

ç

е5х + С ÷е−3х

или

у =

е2х + Се−3х .

5

е

è 5

ø

2

Прим р 2. Найти частное решение (интеграл) уравнения у/

-

у = 2х3 , если

л

х

указаны начальные условия: у(1)=2.