Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

lineynaya_algebra_Yudina

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
15.05.2015
Размер:
16.87 Mб
Скачать

 

 

 

Министерство образования и науки Республики Татарстан

 

 

 

 

 

Альметьевский государственный нефтяной институт

 

ка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г.Е. Юдина

 

о

т

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

Раздел: Линейная алгебра слэлементами

 

 

 

 

аналитической геометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно-методическоеипособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по проведению практических занятий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ая

работы

 

 

 

 

 

 

 

 

и организации самостоятельнойб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

по м тематике

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для студентов 1-го курса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всех специаль остей и форм обучения

 

 

 

 

 

 

 

к

т

р

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Альметьевск 2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УДК 512

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ю 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка

Ю 16

Г.Е. Юдина

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика. Раздел: Линейная алгебра с элементами аналитичес ой

 

геометрии: Учебно-методическое пособие по проведению практич ских

 

занятий

и

организации

самостоятельной работы

по

мат матике для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. –

 

Альметьевск: Альметьевский государственный нефтяной инсти ут, 2010.

 

– 112 с.

 

 

 

 

 

и

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

л

 

инейной алгебре,

 

Пособие содержит теоретический материал по

 

векторной алгебре и аналитической геометрии в соответствии с ГОС ВПО

технических

и

экономических специальностей. Наряду

 

со

сведениями

теоретического

характера в

и

 

 

большое

количество

пособии представлено

решенных примеров и задач, а также приведен комплекс примеров и задач для проведения практических занятий и контрольных работсо студентами. В пособие включены индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по дисциплинарным модулям «Линейная алгебра» и «Аналитическая

геометрия».

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Печатается по решению учебно-методического совета АГНИ.

 

 

 

 

 

 

 

н

н

ая

 

Рецензенты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зам. Зав. кафедрой ПМ

 

 

 

к.т.н., доцент

 

 

о

 

 

А.Г. Шляхова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Директор Альметьевского филиала

 

КГТУ им. А.Н. Туполева

 

 

 

 

к.п.н., доцент

т

р

 

 

 

 

М.Ш. Гарифуллина

 

 

е

к

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Альметьевский государственный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нефтяной институт, 2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

ка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предисловие………………………………………………………………………….5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

Глава I. Матрицы и определители………………………………………………….6

 

§1.1. Основные сведения о матрицах……………………………………...6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

§1.2. Действия с матрицами………………………………………………..8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

§1.3. Элементарные преобразования матриц…………………………….11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

§1.4. Определители квадратных матриц…………………………………13

 

§1.5. Обратная матрица……………………………………………………17

 

§1.6. Ранг матрицы………………………………………………………...18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

§1.7. Задачи для самостоятельной работы……………………………….19

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

Глава II. Системы линейных уравнений………………………………………….23л

 

§2.1. Системы m линейных уравнен й с n переменными………………23

 

§2.2. Решение С.Л.А.У с квадратными матрицами……………………...24

 

§2.3. Решение С.Л.А.У с прямоугольными матрицами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ая

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Кронекера-Капелли………………………………………..б 29

 

§2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

система решений…………………………………………………….32

 

§2.5. Задачи для самостоятельной работы……………………………….34

Глава III. Элементы вектор ой алгебры. Квадратичные формы. Линейная

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модель обме а…………………………………………………………36

 

 

 

 

р

 

 

 

. Коллинеарность. Компланарность……….36

 

§3.1. Вект р. Определениен

 

§3.2. Линейные операции над векторами…………………………….…38

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.3. Проекция вектора на ось…………………………………………...40

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.

 

е

Направляющие косинусы…………………………………………...42

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3.5. Скалярное произведение векторов и его свойства………………...43

Э

§3.6. Векторное произведение и его свойства………..………………….44

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

§3.7. Смешанное произведение трех векторов…………………………..45

§3.8. Действия над векторами в координатной ферме. ………………...46

 

 

§3.9. N-мерный вектор и векторное пространство

 

 

 

 

 

 

 

Размерность и базис векторного пространства…………………...48

 

 

§3.10. Евклидово пространство…………………………………………...51

 

 

§3.11. Линейные операторы………………………………………………52

 

 

§3.12. Собственные векторы и собственные значения

 

т

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейного оператора…….…………………………………………52ка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

§3.13. Линейная модель обмена…………………………………………..54

 

 

§3.14. Квадратичные формы………………………………………………55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

§3.15. Задачи для самостоятельной работы……………………………...58

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

Глава IV. Аналитическая геометрия на плоскости………………………………61

 

 

§4.1. Основные понятия аналитической геометрии……………..………61

 

 

§4.2. Прямая линия на плоскости…………………………………………62

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

§4.3. Основные задачи на прямую на плоскости………………………...64

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

§4.4. Линии второго порядка на плоскости. бОсновные понятия……….68

 

 

§4.5. Полярная система координат……………………………………….76

 

 

§4.6. Задачи для самостоятельной работы……………………………….78

Глава V. Аналитическая геометрия в пространстве……………………………..80

 

 

§5.1.Уравнения плоскости в пространстве……………………………...80

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.2.Основные задачи на плоскость……………………………………..84

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.3.Уравнения прямой в пространствеая

…………………………………85

 

 

§5.4.Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи…………..88

 

 

§5.5.Цилиндрические поверхности………………………………………89

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.6.Поверхн сти вращения……………………………………………...91

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.7.Задачи дляосамостоятельной работы……………………………….95

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индивидуальные задания для самостоятельной работы……………….97

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы……………………………………………….112

Э

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Предисловие

Предлагаемое учебно-методическое пособие следует рассматрив ть к к

учебное

пособие

по

линейной алгебре векторной алгебре

и аналитичес ой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

геометрии. Пособие соответствует содержанию ГОС ВПО и программе урса

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

высшей

математики

для экономических специальностей.

о

Основнаякацель

данного пособия – помочь студентам в самостоятельном приобретении

теоретических знаний и практических навыков.

 

и

 

 

 

В

пособии

теоретический материал изложен

 

снове лекций,

на

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

прочитанных автором, в соответствии с программой для экономических

специальностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

Подробно рассматриваются различные спосо ы решения задач. Основное

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

внимание в пособии уделено различным методам решения систем линейных

 

 

 

б

 

 

экономических задач,

алгебраических уравнений и их применен я для решенияб

а также решению задач аналитической и векторной алгебры.

Автор ставил своей целью аясделать данное пособие наиболее полным и

Пособие содержит пять глав. При этом нумерация параграфов строится

таким образом: первые цифры представл ют собой номер главы, а следующие

цифры, отделенные от первых точкой, порядковый номер. Например, §3.2 – это

 

н

второй параграф третьей главы.

н

 

доступным в изложе ии. В каждом параграфе задачи расположены по мере возрастания сложн сти.

 

В пособии

р

 

представлен комплекс индивидуальных заданий, который

 

 

 

 

т

 

можно использовать дляотекущего и промежуточного контроля.

 

 

 

к

 

 

 

Пособие будет полезно не только студентам при изучении

соответствующего

курса высшей математики, но и преподавателям для

 

 

е

 

 

 

пров д ния практических занятий и контрольных работ.

Э

л

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Глава I Матрицы и определители

§1.1 Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и раздел – матричная алгебра имеют большое значение

для экономистов. Объясняется это тем, что большая часть экономич ских

объектов записывается в простой матричной форме.

 

ка

 

 

Матрицей размера m×n называется прямоугольная аблица чисел,

 

е

 

содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу называются

элементами матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

Матрица обозначается заглавными буквами латинск го алфавита А, В, С,

и т.д. элементы аi j, i – номер строки,j – номер столбца.

i =1, mо

j =1, n

или

 

и

,

 

сокращенно А=( аi j )

i=1,2…m

j=1,2…n

 

б

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а11 а12 а13 … а1 j … а1n

и

 

 

 

 

 

а21 а22 а23 … а2 j … а2n

 

 

 

 

 

[aji]=A= а31

а32

а33 … а3 j … а3n

 

 

 

 

 

 

…………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

am2 am3 … аm j … аm m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Две матрицы одного размера называются равными, если они совпадают

поэлементно, т.е.

аij=

bij .

С помощьюб

матриц

удобно записывать

экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики: (усл. ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отрасли экономики

 

 

Ресурсы

 

 

 

 

 

 

ая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Промышленная

Сельское хозяйство

 

Электроэнергия

 

 

 

 

н

5,3

4,3

 

Трудовые ресурсы

 

 

 

 

2,4

2,2

 

Водные ресурсы

 

 

н

 

3,5

5,1

 

 

 

 

5,3

4,3

 

 

 

 

 

 

 

А2*2= 2,4

 

о

 

 

 

 

 

 

 

2,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,5р

5,1

 

 

 

 

 

Частные виды матрицт

:

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. В ктор – строка –А=(а11, а12… аi j…а1n) – размера (1×n)

Э

л

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b11

 

 

 

 

 

 

 

ка

2. Вектор – столбец –В= b21 - размера (m×1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm1

 

 

 

 

 

 

е

 

3. Квадратная матрица m= n.

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например квадратная матрица 3 порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а11

а12

а13

 

побочная диагональ

и

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A=

 

 

а21

а22

а23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а31

а32 а33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

главная диагона ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

Элементы у которых i=j номер. строки равен номерулстолбца – называются

диагональными и образуют главную диагональ, а11 а22 … а33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

квадратной матрицы

4. Диагональная, если все недиагональные элементыб

равны нулю.

 

 

 

 

 

 

ая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А= 0 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

1

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Треугольная матрица – если все элементы выше или ниже главной

диагонали равны нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Единичная, если диаг нальные элементы матрицы аi i=1, а остальные нули

1 0

 

 

т

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E=

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Нулевая матрица – если все элементы равны нулю.

 

 

 

 

 

8. Транспонированная – матрица, полученная из данной заменой каждой ее

 

л

 

строки столбцом с тем же номером.

 

Э

 

7

§1.2. Действия c матрицами

1. Умножение матрицы на число

 

 

 

 

 

 

 

 

ка

В=λ×А, если

bi j = λ× аi j : i=1,2…m , j=1,2n,

О×А=0

 

 

 

е

Пример 1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

1

3

3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=

 

 

 

В =3×А=3

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

4

2

12

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы м жно вын сить за знак

матрицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

и

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

15

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

25

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Сложение матриц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицы одинакового размера складываются (вычитаютсяи ) поэлементно

 

 

 

С=А+В

Аm×n= (аi j) , Bm×n= (bi j), Cm×n= (cбi j), такая что ci j= аi j+ bi j где i = 1,

 

,

m

j =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

3

 

 

 

 

-2 3 -4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A=

 

 

 

 

 

 

B=

ая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

1

2

 

 

н

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

2 -3

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C=A+B=

0

3

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычитание А-В=А+(-В)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Умножениетматриц: умножение матриц определено, когда число столбцов

первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

+…+ аi к×b=∑ аi jbj i i=1,2…m

 

 

 

С=А×В ci j= аi 1×bj 1+ аi 2× bj 2+…+ аi j×b j i

 

 

 

j=1,2…n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

л

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.5

 

1

 

0

-2

 

 

 

2

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка

А=

3 1

 

0

 

 

 

В= 3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

-2

 

 

2

-1

 

 

1×2+0×3-2×1

 

1×(-1)+0-2×(-2)

АВ=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

3

0 =

 

 

 

 

 

3×(-1)+1×0+0×(-2)т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

3

 

 

1

 

0

 

 

1

-2

 

 

3×2+1×3+0×1

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

и

о

 

 

= 9

-3

 

 

 

 

= 3 3 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АВ=С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для

операций над матрицами:

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)А+В=В+А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)(А+В)+С=А+(В+С)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

3)λ(А+В)=λА+λВ

 

 

 

 

 

 

 

4)А(В+С)=АВ+АС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ая

б

 

 

 

 

 

 

 

5)(А+В)С=АС+ВС

 

 

 

н

6) λ(АВ)=А(λВ)

 

 

 

7)А(ВС)=(АВ)С

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 3 -5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В×А=

3

 

 

0

 

 

×

 

 

о

 

=

 

3

0 -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -2

 

 

 

 

 

 

 

 

-5 -2 -2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

-2

 

2 -1

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

А×В=

 

е

 

 

к

 

×

3

0

 

=

 

 

 

, АВ ¹ ВА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

1 -2

 

 

 

9 -3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Единичная матрица играет роль единицы при умножении чисел.

 

 

Произведениел

двух ненулевых матриц может быть равно нулевой матрице, т.е.

А×В=0, это не значит что А=0 или В=0

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка

А= 1 1

 

В= 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А×В= 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью Аm m>1т

 

 

Am=A×A×A…..4(m раз )

 

 

 

 

 

 

л

 

о

 

 

А0=Е ;

А'=А ; Аm×Ak=Am+k

; (Аm)k=Amk

 

 

 

 

 

Пример 1.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

A2=

1

-1

×

 

1

-1

 

=

-1

-4

 

и

 

 

 

 

 

 

2

3

 

2

 

3

 

 

8

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Am=0 не следует что А=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

am2

am3 … ааяm n

 

 

 

 

 

 

 

6.Трансопнировние матриц – замена строк столбцами с сохранением

 

 

нумерации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а11

 

а12

а13

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а21

 

а22

н

 

размера (m × n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а23

2n

 

 

 

 

 

 

 

А= . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

о

нam1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ат=

 

 

а11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

а12

а22

… am2

размера (n × m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

. . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

a1n

 

a2n

… аm n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

4 7 8

 

 

 

 

 

 

AT =A32=

 

 

 

 

 

 

 

A23=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 0

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 3

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]