Lekcii_DIFFOP

функции известны.

Из Рис. 12.6 видно, что на интервалах (1; 0) и (2; 1) производная положительна, поэтому на этих интервалах функция возрастает. На интервале (0; 2) производная меньше нуля, следовательно, на этом интервале функция убывает. Схематически это можно показать так:

f0 + + -

f0 @ 2 X

R@

Рис. 12.7

На Рис. 12.7 видно, что точка xo = 0 является точкой локального максимума функции, а точка x1 = 2 точкой локального минимума. Найд¨ем значения функции в этих точках.

fmax(0) = 2 03 6 02 + 1	) fmax(0) = 1:
fmin(2) = 2 23 6 22 + 1	) fmin(2) = 7:

В результате получаем, что функция f(x) = 2x3 6x2 + 1

возрастает на интервалах (1; 0) и (2; 1) и убывает на интервале (0; 2) ,

а также имеет fmax(0) = 1; fmin(2) = 7 .

Из первого достаточного условия экстремума вытекает, что, меняя знак с минуса на плюс, первая производная возрастает. А, меняя его в обратном направлении, она убывает. Что, соответственно, означает положительность и отрицательность второй производной в стационарной точке (в том случае, когда эта производная существует). Исходя из этих рассуждений, можно сформулировать следующее утверждение:

Теорема 12.11. (Второе достаточное условие локального экстремума). Если дважды дифференцируемая функция в стационарной точке xo первой производной меньше (больше) нуля, то функция в этой точке имеет локальный максимум (минимум).

12.3.2. Условия выпуклости графика функции

Теорема 12.12. (Критерий выпуклости графика функции)

График функции является выпуклым вниз (вверх) на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда е¨ первая производная на этом интервале монотонно возрастает (убывает).

Объяснение этой теоремы нужно искать в определениях выпуклости. Если первая производная раст¨ет (убывает) на интервале, то раст¨ет (убывает) и угловой коэффициент касательной к графику. Поэтому график, располагаясь выше (ниже) касательной является выпуклым вниз (вверх).

11

Потверждение этому можно увидеть на примере функций y = x2 и y = x2. Для первой из них производная y0 = 2x раст¨ет на всей области определения и график оста¨ется выпуклым вниз. А для второй вс¨е происходит с точностью до наоборот: убывающая производная y0 = 2x и график, выпуклый вверх.

А там, где первая производная раст¨ет, вторая производная неотрицательна и, соответственно, наоборот, где первая производная убывает, вторая неположительна. Поэтому имеет место

Теорема 12.13. (Достаточное условие выпуклости графика функции) Если вторая производная дважды дифференцируемой функции f(x) является отрицательной (положительной) в точке xo, то график этой функции в точке с координатами (xo; f(xo)) является выпуклым вверх (выпуклым вниз)1.

Определение 12.3. Множество точек из области определения дважды дифференцируемой функции, в которых вторая производная меньше (больше) нуля, называется интервалом выпуклости вверх (вниз).

Определение 12.4. Точка графика функции y = f(x) с координатами (xo; f(xo)) называется точкой перегиба графика, если она отделяет участки выпуклости вниз от участков выпуклости вверх.

Определение 12.5. Точка xo из области определения дважды дифференцируемой функции f(x) называется стационарной точкой е¨ второй производной, если f00(xo) = 0.

Например, точка xo = 0 является стационарной точкой для второй производной функции y = x3 (Так как y00 = 3x2 и y00(0) = 0).

Определение 12.6. Точка xo из области определения функции f(x) называется критической точкой е¨ второй производной, если f00(xo) не существует.

Точка xo

= 0 является критической точкой для второй производной

функции

y

p3

(так как

y00

1

, и

y00

(0) не существует).

x

=

=

p3

x

2

3

Теорема 12.14. (Достаточное условие перегиба графика функции)

Если в окрестности своей стационарной или критической точки

xo вторая производная f00(x) меняет знак на противоположный, то график функции имеет точку перегиба с координатами (xo; f(xo)).

Задача 12.7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции f(x) = 12x3 3x4 + 2:

Решение. Так как данная функция многочлен, то е¨ производные

1Чтобы не запутаться в формулировке этой теоремы, нужно вспоминать о функции y = x2 с е¨ выпуклым вниз графиком и е¨ производной y00 = 2 > 0.

12

могут иметь только стационарные точки. Найд¨ем производные функции f0(x) = 36x2 12x3; f00(x) = 72x 36x2:

Определим стационарные точки второй производной, предварительно преобразовав производную

36x(2 x) = 0 ) xo = 0; x1 = 2:

Чтобы определить интервалы выпуклости гра-

-

фика, решим неравенства

+

X

0

2

f00(x) < 0 и f00(x) > 0:

Рис. 12.8

Так как вторая производная является квадратным тр¨ехчленом, то неравенства проще решить с помощью графика, изобразив параболу (см. Рис. 12.8), ветви которой направлены вниз, а нули квадратичной функции уже найдены. На интервалах (1; 0) и (2; 1) вторая производная меньше нуля, поэтому на этих интервалах график является выпуклым вверх. А на интервале (0; 2) вторая производная положительна, следовательно, график является выпуклым вниз. Схематически это выглядит таким образом:

f00 + -

f 0 2 X

Рис. 12.9

На Рис. 12.9 видно, что график функции имеет точки перегиба. Чтобы их найти, надо вычислить значения функции в стационарных точках второй производной:

fпер(0) = 12 03 3 04 + 2	) fпер(0) = 2:
fпер(2) = 12 23 3 24 + 2	) fпер(2) = 50:

В результате получаем, что график функции f(x) = 12x3 3x4 + 2

является выпуклым вверх на интервалах (1; 0) и (2; 1) и выпуклым

вниз на (0; 2): Имеет две точки перегиба: (0; 2) и (2; 50).

12.3.3. Общая схема исследования функций. Построение схематических графиков

Рассмотрим вопрос исследования функций с помощью пределов и производных в виде некоторой схемы, не только объединяющей все этапы исследования, но и позволяющей контролировать правильность их выполнения:

I. Определение области определения функции.

II. Исследование области определения с помощью пределов.

II.1 Исследование границ области и поиск горизонтальных асимптот.

13

II.2 Поиск вертикальных асимптот.

II.3 Поиск наклонных асимптот (при отсутствии горизонтальных). III. Исследование с помощью первой производной.

III.1 Определение области определения первой производной. III.2 Поиск стационарных и критических точек.

III.3 Поиск интервалов возрастания и убывания функции. III.4 Поиск локальных экстремумов функции.

IV. Исследование с помощью второй производной.

IV.1 Определение области определения второй производной. IV.2 Поиск стационарных и критических точек.

IV.3 Поиск интервалов выпуклости графика функции. IV.4 Поиск точек перегиба графика функции.

V. Дополнительное исследование.

V.1 Исследование функции на ч¨етность-неч¨етность.

V.2 Определение точек пересечения графика функции с координатными осями.

V.3 Определение периода функции.

Задача 12.8. С помощью общей схемы исследовать функцию

f(x) = x3 3x + 2

и построить на основании исследования схематический график функции.

Решение.

I. Функция является многочленом, поэтому область определения

Df = (1; 1):

II. Исследуем поведение функции на границе и отобразим его на вспомогательных эскизах.

xlim	f(x) = xlim (x3 3x + 2)			= xlim	x3	= (1)3	= 1:
! 1	! 1			! 1
lim	f(x) = lim (x3		3x + 2)	= lim	x3	= (+ )3	= + :
x! 1	x!+1 Y		Y	x!+1		1	1

66

-X - X

Рис. 12.10

График многочлена не имеет асимптот. III. Найд¨ем первую производную функции

(x3 3x + 2)0 = 3x2 3 ) f0(x) = 3x2 3:

14

III.1. Так как производная многочлен, то Df0 = ( 1; 1).

III.2. График многочлена может иметь только стационарные точки.

3(x2 1) = 3(x 1)(x + 1) ) f0(x) = 0 , x1 = 1; x2 = 1:

III.3. Найд¨ем интервалы монотонности, решив неравенства:

f0(x) < 0 , x 2 ( 1; 1) ) f(x) убывает, если x 2 ( 1; 1):

f0(x) > 0 , x 2 ( 1; 1) [ (1; 1) )

) f(x) возрастает, если x 2 ( 1; 1) и x 2 (1; 1):

f0	+		+ -
f		1 @	1 X
		R@

Рис. 12.11

Сравнивая эскизы 12.10 и 12.11 убеждаемся, что в бесконечности стрелки ведут себя одинаково.

III.4. Из Рис. 12.11 следует, что xo = 1 точка локального максимума, а x1 = 1 точка локального минимума. Найд¨ем значения локальных экстремумов.

fmax( 1) = ( 1)3	3	( 1) + 2 ) fmax( 1) = 4:
fmin(1) = 13	3	1 + 2 ) fmin(1) = 0:

Ещ¨е не зная второй производной, (но зная второе достаточное условие экстремума функции (см. теорему 12.11) можно утверждать, что между точками локальных экстремумов находится граница интервалов выпуклости графика функции. То есть график имеет точку перегиба, расположенную между локальными экстремумами функции1.

IV. Вычислим вторую производную функции

(3x2 3)0 = 6x ) f00(x) = 6x:

IV.1. Так как производная многочлен, то Df00 = ( 1; 1).

IV.2. График многочлена может иметь только стационарные точки.

f00(x) = 0 ) 6x = 0 , x3 = 0:

IV.3 Найд¨ем интервалы выпуклости вверх и вниз, решив неравенства:

f00(x) < 0 , x 2 ( 1; 0) ) выпуклый вверх, если x 2 ( 1; 0):

1Поэтому тот, у кого этот прогноз не совпад¨ет при расчетах с действительностью, может быть тв¨ердо уверен, что он совершил глупость, и ему надо е¨ искать и исправлять. Схема - это не набор случайных действий, а механизм по доказательству истинности построения.

15

f00(x) > 0 , x 2 (0; 1)	) выпуклый вниз, если x 2 (0; 1):
f00		+ -
f	0			X

Рис. 12.12

Сравнивая схематические эскизы 12.10, 12.11 и 12.12, можно видеть, что явных противоречий нет1.

IV.4. На эскизе 12.12 видно, что график имеет точку перегиба с первой координатой x3 = 0: Найд¨ем вторую координату точки перегиба

fпер(0) = 03 3 0 + 2 ) fпер(0) = 2:

Сравнивая вычисления в III.4 и в IV.4 по координатам на оси OX:1 < 0 < 1 и на оси OY : 0 < 2 < 4, можно предположить, что вычисления правдоподобны.

Для того, чтобы нанести найденные точки на график собер¨ем их вместе: точка максимума: ( 1; 4); точка минимума: (1; 0); точка перегиба: (0; 2).

V. Нам повезло в том, что некоторые точки пересечения графика с осями координат попали в число особых точек графика. Но в левой полуплоскости график должен пересекать ось OX ещ¨ один раз (это следует из того, что вторая координата в точке максимума положительна, а согласно эскизу 12.10 график при стремлении x влево стремится вдоль оси OY к 1). В данном случае, зная, что один корень кубического тр¨ехчлена равен 1, можно разложить тр¨ехчлен на множители2:

x3 3x+2 = x3 x 2x+2 = x(x2 1) 2(x 1) = x(x 1)(x+1) 2(x 1) =

= (x 1)(x2 + x 2) = (x 1)(x + 2)(x 1) = (x + 2)(x 1)2:

Из привед¨енного разложения видно, что второй точкой пересечения графика с осью OX является точка ( 2; 0).

Исследуемая функция является функцией общего вида, не являясь ни ч¨етной, ни неч¨етной. Поэтому график не симметричен относительно осей координат.

1Под явными противоречиями следует понимать такие факты, как наличие выпуклости вверх (вниз) при определ¨енном минимуме (максимуме), или стремление стрелок в +1 ( 1) в тех точках, где функция имеет максимум (минимум).

2Нетрудно догадаться, что данный пример был выбран с этой целью: найти точные значения координат точек пересечения с осями декартовой системы. Как покажет следующий пример, счастье вечным не бывает. В большинстве случаев приходится иметь дело с приближ¨енными значениями координат.

16

Y

4

2

X

Рис. 12.13		2			1		1

Задача 12.9. С помощью общей схемы исследовать функцию

g(x) = 12x3 3x4 + 2

и построить на основании исследования схематический график функции.

Решение.

I. Функция является многочленом, поэтому область определения

Dg = (1; 1):

II. Исследуем поведение функции на границе и отобразим его на вспомогательных эскизах.

lim g(x) = lim (12x3 3x4+2) = lim ( 3x4) = 3 (1)4 = 31 = 1:

x! 1

x! 1

x! 1

lim g(x) = lim (12x3 3x4+2) = lim ( 3x4) = 3 (+1)4 = 31 = 1:

x! 1	x!+1				x!+1
			Y			Y
			6-	X		6-	X
						@
						R@

Рис. 12.14

График многочлена не имеет асимптот. III. Найд¨ем первую производную функции

(12x3 3x4 + 2)0 = 36x2 12x3 ) g0(x) = 36x2 12x3:

III.1. Так как производная многочлен, то Dg0 = (1; 1).

III.2. График многочлена может иметь только стационарные точки.

36x2 12x3 = 12x2(3 x) ) g0(x) = 0 , x1 = 0; x2 = 3:

III.3. Найд¨ем интервалы монотонности, решив неравенства:

g0(x) < 0 , x 2 (3; 1) ) g(x) убывает, если x 2 (3; 1):

g0(x) > 0 , x 2 (1; 3)		) g(x) возрастает, если x 2 (1; 3):
g0	+		+ -
g		0	3 @	X Рис. 12.15
			R@

17

Сравнивая эскизы (12.14) и (12.15) видим, что в бесконечности стрелки ведут себя одинаково.

III.4. Из (12.15) следует, что xo = 3 точка локального максимума. Найд¨ем значение функции в этой точке, преобразовав функцию к виду

g(x) = 3x3(4 x) + 2:

gmax(3) = 3 33 (4 3) + 2 ) gmax(3) = 83:

Ещ¨е не зная второй производной, (но зная второе достаточное условие экстремума функции (см. теорему 12.11)) можно утверждать, что на интервале (3; 1) график должен быть выпуклым вверх. Можно также предположить, что x2 = 0 координата точки перегиба графика.

IV. Вычислим вторую производную функции

(36x2 12x3)0 = 72x 36x2 ) g00(x) = 72x 36x2:

IV.1. Так как производная			многочлен, то Dg00 = (									1	;	1	).
IV.2. IV.4. Эту производную мы исследовали в задаче 12.7, поэтому вос-
произвед¨ем вспомогательный эскиз 12.9 :
f00				+		-
f		0		2							X

Рис. 12.16

и воспользуемся результатами исследования. График исследуемой функции является выпуклым вверх на интервалах (1; 0) и (2; 1) и выпуклым вниз на (0; 2): Имеет две точки перегиба: (0; 2) и (2; 50).

Если сравнить схематические эскизы 12.14, 12.15 и 12.16, то можно увидеть, что явных противоречий нет.

Сравнивая вычисления в III.4 и в IV.4 по координатам на оси OX, можно предположить, что арифметические вычисления правдоподобны.

Для того, чтобы нанести найденные точки на график собер¨ем их вместе: точка максимума: (3; 83); точки перегиба: (2; 50) и (0; 2).

V. Решить это уравнение можно только методами вычислительной математики, которые не входят в программу нашего курса. Но мы можем определить интервалы с целыми концами, между которыми находятся нули функции. Так как g(0) = 2 > 0, а функция слева возрастает, то было бы логично вычислить значение функции g( 1) = 3 ( 1)3 (4 ( 1)) + 2. Так как g( 1) = 13 < 0, а функция является непрерывной, то один из е¨ нулей находится между точками оси абсцисс: 1 и 0. Второй нуль надо искать в правой полуплоскости. Зная представление g(x) = 3x3(4 x) + 2, можно найти значения при x = 4 и x = 5: g(4) = 2 > 0, а g(5) = 373 < 0.

18

Отсюда следует, что второй нуль функции находится между точками x = 4 и x = 51.

Исследуемая функция является функцией общего вида, так как она ни ч¨етная, ни неч¨етная. Поэтому график не симметричен относительно осей координат.

						Y
		83
50
			2									X
Рис. 12.17
					2			3		4

Задача 12.10. С помощью общей схемы исследовать функцию

p(x) =

9 2x

3 x

и построить на основании исследования схематический график функции. Решение. При исследовании данной функции с помощью пределов, можно, найдя область е¨ определения Dp = (1; 3)[(3; 1), вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 2, построить вспомога-

тельный эскиз:

Y

6

2-

3

X

Рис. 12.18

Однако доказать, что этот график правильный, можно только вычислив производные и убедившись, что первая производная больше нуля в области определения, а вторая производная положительна в левой полуплоскости

иотрицательна в правой. При этом ни одна из них не имеет стационарных

икритических точек.

III.1 Найд¨ем первую производную, предварительно преобразовав представление функции:

9 2x

=

2 3 2 3

+ 9 2x

=

2(3 x) + 9 6

= 2+

3

= 2+3(3 x) 1:

3

x

3

x

3

x

3

x

1При этом, судя по значениям в этих точках, очень близко от x = 4.

19

Тогда

2 + 3(3

x) 1

0

=

1

3(3

x)2

(3

x)0

=

3

=

3

:

(3 x)2

(3 x)2

Следовательно,

3

p0(x) =

:

2

(3 x)

Е¨е область определения Dp0 = (1; 3) [ (3; 1), и она положительна на всей области определения. Следовательно, она всюду возрастает.

IV.1 Вторая производная p00(x) = 6 имеет такую же область опреде-

(3 x)3

ления, не обращаясь в нуль ни в одной е¨ точке. А так как степень знаменателя неч¨етная, то при x < 3 вторая производная положительна, а при x > 3 отрицательна. Поэтому график является выпуклым вниз в левой полуплоскости и выпуклым вверх в правой, что полностью потверждает исследования, провед¨енные с помощью пределов.

V. Осталось только определить точки, в которых график пересекает оси

9 2 0

координат: p(0) = 3 0 , то есть p(0) = 3. p(x) = 0, если 9 2x = 0.

Поэтому ось OX пересекается графиком в точке (4; 5; 0).

Функция является функцией общего вида, поэтому симметрия относительно осей координат отсутствует.

Y

	3
2
					X
O		3	4; 5

Рис. 12.19

Задача 12.11. С помощью общей схемы исследовать функцию

q(x) =

x2 2x

x 1

и построить на основании исследования схематический график функции. Решение. При исследовании данной функции с помощью пределов, можно, найдя область е¨ определения Dp = (1; 1)[(1; 1), вертикальную асимптоту x = 1 и наклонную асимптоту y = x 1, построить вспомога-

тельный эскиз:

20