10

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Ярославский государственный технический университет"

Кафедра кибернетики

Н. Н. Василькова

Построение переходных процессов

в замкнутой системе автоматического управления

по каналам управления и возмущения

(Метод трапеций)

Методические указания

к курсовому проекту по курсу

"Теория автоматического управления"

для студентов заочной формы обучения

2007

Построение переходных процессов в замкнутой системе

по каналам управления и возмущения

1. Построение переходного процесса в замкнутой системе по каналу управления

Для расчета переходного процесса в замкнутой системе при наличии запаздывания в канале регулирования объекта чаще всего применяются частотные методы. Основных методов два: 1) метод трапеций, который строит переходные процессы в замкнутой системе с использованием таблиц h-функций и может выполняться вручную без применения компьютеров для вычислений; и 2) метод, основанный на применении так называемой формулы интегрального синуса, устанавливающей связь между вещественной частотной характеристикой системы и её переходным процессом в виде интеграла, который определяется численными методами на компьютере с применением современных вычислительных пакетов типа MATCAD или MATLAB.

Метод трапеций

Рассмотрим суть данного метода на примере построения переходного процесса в замкнутой системе по каналу управления. Для построения переходного процесса в замкнутой системе по каналу управления (т. е. при единичном ступенчатом изменении задающего воздействия Хзад) необходимо составить передаточную функцию замкнутой системе по указанному каналу, используя общую формулу

W_р.с.(p)

W_з.с.(p) = ----------------- ; (1)

1+ W_р.с.(p)

Из этой передаточной функции надо вывести аналитическое выражение для вещественной частотной характеристики замкнутой системы Re_з.с.(w) через частотные характеристики разомкнутой системы, построить график вещественной частотной характеристики, произвести разбивку его на трапеции, вычислить и построить составляющие переходного процесса для каждой трапеции с использованием таблиц h-функций, а затем найти суммарный переходный процесс.

Подставляя в выражение (1) p=jw, раскрывая затем W_р.с.( jw) как

W_р.с.( jw)= Re_р.с.(w) +jIm_р.с.(w) и проводя алгебраические преобразования, получим выражение для расчета вещественной частотной характеристики замкнутой системы по каналу управления (вывести подробно):

Re_р.с.(w) ( 1+ Re_р.с.(w)) +(Im_р.с(w))²

Re_з.с.(w) = ------------------------------------------------------- (2)

( 1+ Re_р.с.(w))² +(Im_р.с(w))²

Очевидно, что для расчета и построения вещественной частотной характеристики замкнутой системы по выведенной формуле, потребуется вывестиформулы и рассчитать вещественную и мнимую частотные характеристики разомкнутой системы Rep.c.(w) и Imp.c(w). Они рассчитываются через частотные характеристики объекта и регулятора по правилу последовательного соединения звеньев (вывести формулы подробно).

Следует напомнить, что вещественная частотная характеристика замкнутой системы по каналу управления определяет переходный процесс в замкнутой системе по каналу управления, т.е. переходный процесс, возникающий при единичном ступенчатом изменении задающего воздействия Хзад(t) = 1(t). Система должна воспроизвести новое задание, значит ее выходная величина должна стремиться к 1. Учитывая известное из ТАУ соотношения, что Reз.с.() = Хвыхз.с.(0) = 0, а также Reз.с.(0) = Хвыхз.с.()=1 делаем вывод, что график вещественной характеристики должен начинаться из 1 (при w=0) и стремиться к 0 (при w=). Примерный вид графика Reз.с(w) показан на рис. 1

Рис.1. Пример возможного вида вещественной частотной характеристики замкнутой системы по каналу управления.

Далее приступают к построению переходного процесса методом трапеций. Суть метода детально изложена в специальной литературе [1-6]. Поэтому лишь кратко напомним основные этапы работы:

1. Проводят кусочно-линейную аппроксимацию графика Reз.с.(w) и на аппроксимирующих отрезках прямых строят геометрические фигуры-трапеции и треугольники, прилегающие к оси ординат (рис.2.7)

.

Рис. 2. Построение геометрических фигур в методе трапеций.

2. Трапеции и треугольники вычерчивают в отдельной системе координат, присваивая им знак “+” или “-” с тем, чтобы суммарная площадь геометрических фигур примерно равнялась площади, ограниченной графиком Reз.с.(w) и осями координат (см. рис. 3).

При этом выделяют отдельные трапеции так, чтобы:

- основанием трапеций являлась ось частот;

- левая боковая сторона трапеций (высота) примыкала к оси ординат;

- при сложении ординат отдельных трапеций в точках сопряжения должна получиться исходная ломаная линия.

Для примера на рисунке 2 получили 6 геометрических фигур (5 трапеций и 1 треугольник ):

1,2,3 – положительные трапеции;

4,5, 6 – отрицательные.

Рис.3. Построение трапеций в новой системе координат с учётом присвоенного знака.

3. Для каждой трапеции определяют

а) высоту с учетом знака Re(0), (т.е. значение при w=0)

б) частоту равномерного пропускания w_р (частоту в точках сопряжения аппроксимирующих отрезков прямых)

в) частоту среза w_ср (предельную частоту для данной трапеции)

г) рассчитывают отношение

w_р

= ---------- (3)

w_ср

Для примера, изображенного на рис.3, получилась следующая таблица параметров трапеций:

Таблица 1. Характеристики трапеций, полученных в результате аппроксимации

Номер трапеции	1	2	3	4	5	6
Re(0)	0,27	0,20	1,58	0,70	0,21	0,15
wр	0	0,030	0,038	0,054	0,073	0,094
wср	0,012	0,038	0,048	0,073	0,094	0,146
	0	0,78	0,80	0,75	0,77	0,64

4. По величине для каждой трапеции из таблиц h-функций [6-10] выписывают составляющую переходного процесса в функции безразмерного табличного времени, т. е. получают таблицу данных.

Например, для трапеции № 1:

tтабл	hтабл

5. Поскольку в таблице h-функций табличные переходные процессы рассчитаны для так называемых единичных трапеций, т.е. для трапеций с высотой Re(0) = 1, далее производят пересчет табличных данных с учетом параметров реальных трапеций по следующим формулам

t_табл

t = -------- (4)

w_ср

X_вых = h_табл Re(0) (5)

В результате получают новые таблицы для каждой трапеции

Например, для трапеции № 1:

tтабл	hтабл	t	Xвых

По данным этих таблиц (а всего их будет столько, сколько получилось трапеций) строят составляющие переходного процесса.

Рис.4. Составляющие переходного процесса для отдельных трапеций.

На рисунке 4 для наглядности показаны в отдельных системах координат переходные процессы, которые получились для различных трапеций. Далее их надо суммировать, причем суммировать графически. Значит необходимо эти составляющие переходного процесса, соответствующие разным трапециям, вычерчивать в одной системе координат. Лучше это делать сразу и покрупнее, чтобы легче затем их складывать.

Итак, суммируя графически эти составляющие, находят искомый переходный процесс по каналу управления (Рис. 5).

Рис.5. Искомый (суммарный) переходный процесс в замкнутой системе по каналу управления.

Далее по графику переходного процесса определяют прямые показатели качества. Для примера на рисунке 5 переходный процесс в замкнутой системе по каналу задание - выход имеет колебательный характер со степенью колебательности m=0,221 и запаздыванием =10. После окончания переходного процесса выходная величина выходит на установившееся значение Х_уст=1.