Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

rgr3 / РГР3 задание

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
15.05.2015
Размер:
426.41 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Методические указания к расчетно-графической работе № 3 по курсу “Сопротивление материалов” для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения

КРАСНОДАР Издательство КубГТУ

2007

Составители: канд. техн. наук, доц. В.Г. Алексеев, д-р. физ.-мат. наук, доц. Н.Н. Фролов, канд. физ.-мат. наук, доц. С.Ю. Молдаванов, канд. физ.-мат. наук, ст. преп. С.Б. Лозовой, ст. преп. В.П. Демченко.

УДК 539.3

Расчет стержней на прочность при осевом растяжении или сжатии. Методические указания к расчетно-графической работе №3 по курсу “Сопротивление материалов” для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения / Кубан. гос. технол. ун-т ; сост. : В. Г. Алексеев, Н. Н. Фролов, С. Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой, В.П. Демченко. Краснодар, 2001. с.

Предлагаемые методические указания содержат решение типовых задач, входящих в состав расчетно-графической работы (РГР) № 3 по курсу “Сопротивление материалов” для студентов строительных специальностей.

Предназначены для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения.

Ил. 39. Табл. 7.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета

Рецензенты: доц. кафедры строительных конструкций КубГТУ Х. С. Хунагов; доц. кафедры сопротивления материалов и строитель-

ной механики КубГТУ В. В. Попов.

2

ВВЕДЕНИЕ

Если на стержень действуют внешние нагрузки, равнодействующая которых находится на оси стержня, то стержень продольно деформируется. Такой вид простого сопротивления стержня называется осевым растяжением или сжатием. В поперечных сечениях стержня, работающего в условиях одноосного растяжения или сжатия, возникают только продольные силы.

При расчетах на осевое растяжение или сжатие встречаются как статически определимые, так и статически неопределимые задачи. В статически неопределимых системах число неизвестных, подлежащих определению, превышает число уравнений статики, которые могут быть использованы для этой цели. Разница между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число «лишних» неизвестных, или степень статической неопределимости системы. Для раскрытия статической неопределимости систему уравнений статики дополняют уравнениями, описывающими способность реальных тел сопротивляться деформированию.

В данных методических указаниях рассмотрены основные виды расчета простейших стержневых систем, работающих в условиях одноосного растяжения или сжатия:

-проектировочный расчет на прочность и вычисление перемещений для статически определимой стержневой системы;

-проектировочный расчет на прочность статически неопределимого стержня, нагруженного заданной внешней нагрузкой;

-проектировочный расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы, находящейся под воздействием заданной нагрузки с учетом заданного изменения температуры стержней и неточности их изготовления;

-расчет на прочность стержневой системы по методу разрушающих нагрузок.

3

Часть 1. Расчет на прочность статически определимого ступенчатого стержня по допускаемым напряжениям

Исходные данные для расчета:

m = 1,8 k = 1,5 n = 1,1 l = 0,6 м

F = 200 kH

Стержень медный

ЕСu = 1,1 105 МПа

[σ]Сu =75 МПа

Решение:

Рисунок 1.

а) Рассматриваемый стержень состоит из 6 участков, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения. Проводя произвольные сечения в пределах каждого участка стержня и рассматривая его нижнюю часть (отбрасывая часть с заделкой), находим продольные силы на каждом участке стержня, одновременно строя эпюру продольных сил N (рисунок 1). По эпюре N можно, определить продольную силу в заделке, которая равна -160 кН.

б) Для определении опасного сечения находим нормальные напряжения на каждом участке стержня: σ = NA .

4

σ1 = N1 =0;

A1

σ2 = NA2 = 300A ;

2

σ3 = N3 = 300 = 300 = 200 ;

A3 kA 1,5A A

σ4 = 40A ;

σ5 = 54,55A ;

σ6 = 145,A 45 .

Из условий прочности для опасного (второго) участка при растяжениисжатии:

σmax = σ2 = 300A [σ]Cu = 75 МПа, отсюда

А= 300 = 300 103 Н = 4 103 м2 = 40см2 . 75 75 106 Па

Далее можно определить площадь поперечного сечения каждого участка стержня.

в) Построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях участков равны:

σ1 = 0;

σ2 = 300A = 3004 10103 3 = −75 106 = −75МПа;

σ3 = 2004 10103 3 = −50МПа;

σ4 =10МПа;

σ5 =13,64МПа;

σ6 = −36,36МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рисунок 1).

г) Построение эпюры перемещений поперечных сечений вдоль оси. Для построения эпюры относительных перемещений используем закон

Гука для абсолютных удлинений. l = EANl =σ El .

5

Эпюру перемещений следует строить, начиная от заделки, перемещение сечения в которой равно нулю. Удлинения участков соответственно равны:

l1 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

=σ

 

l

2

=

75 106 Па 0,3м

= −0,000205м = −0,205мм;

2

2

 

 

 

1,1 105 106

Па

 

 

 

E

 

 

l

 

=

50 106

0,45

= −0,205мм;

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1,1 105

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l4 = 0,041мм; l5 = 0,067мм; l6 = −0,178мм;

Ординаты эпюры перемещений границ участков будут:

у6

=

l6

= −0,178мм;

у5

=

l6

+

l5 = −0,178 +0,067 = −0,111мм;

у4

=

l6 +

l5 + l4 = −0,070мм;

у3

= 6

li = −0,275мм;

 

 

3

 

 

у2 = −0,480мм; у1 = −0,480мм.

По полученным перемещениям сечений строим эпюру перемещений (рисунок 1).

Часть 2. Расчет статически неопределимого ступенчатого стержня

Исходные данные для расчета все те же. К статически определимому стержню подводим вторую опору (заделку). Стержень становится однажды статически неопределим (рисунок 2).

Так как задача статически неопределима, то для определения опорных реакций необходимо рассмотреть три стороны задачи: статическую, геометрическую, физическую.

а) Статическая сторона задачи:

Из уравнения статического равновесия стержня АВ Σy =0 (рисунок 2) имеем:

-VA + 220 – 360 + 300 – VB = 0;

VA + VB = 160.

б) Геометрическая сторона задачи:

Воспользуемся условием совместности деформаций, выражающее

6

Рисунок 2.

то, что расстояние между точками А и В не изменяется, т.е. lAB =0;

lAB = l1 +l2 +l3 +l4 +l5 +l6 = 0 .

в) Физическая сторона задачи:

По закону Гука: l = EANl . Определим вначале продольные силы:

N1 =VB ;

N2 =VB 300;

N3 =VB 300;

N4 =VB 300 +360 =VB +60; N5 =VB +60;

N6 =VB 160.

l

=

N1l1

=

VB 0,3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

EA1

 

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

=

 

 

N2l2

 

=

 

(VB 300) 0,3

;

 

EA2

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

=

 

N3l3

 

=

(VB 300) 0,45

;

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

EA3

 

 

 

 

E 1,5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l4

=

 

 

(VB +60) 0,45

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 1,5A

 

 

l

=

 

(VB +60) 0,54

;

 

 

 

5

 

 

 

E 1,1A

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

=

(VB 160) 0,54

.

 

 

6

 

 

 

 

 

E 1,1A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя все в уравнение совместности деформаций, получим:

7

VB 0,3

+

(VB 300) 0,3

+

(VB 300) 0, 45

+

(VB +60) 0,45

+

(VB +60) 0,54

+

(VB 160) 0,54

= 0

EA

 

EA

 

E 1,5A

 

E 1,5A

 

E 1,1A

 

E 1,1A

 

7,27 VB = 703,64

VB = 96,79 кН, тогда VА = 160 - VB = 63,21 кН.

Т.к. обе реакции получились положительные, то их направление соответствует принятому.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис. 2). д) Для определении опасного сечения находим нормальные напряже-

ния на каждом участке стержня: σ =

 

N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

A

 

 

 

 

σ1 =

 

 

 

=

96,79

;

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

σ2

=

 

N2

=

 

 

203, 21;

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

σ3

=

 

N3

 

=

 

 

N3

 

=

135,47

;

 

A3

1,5A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

σ4 =104,53A ;

σ5 = 142,54A ;

σ6 = 57,A46 .

 

σ

max

 

 

=

 

σ

2

 

=

203, 21

[σ]

= 75 МПа, отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Cu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=

300

=

203,21 103 Н

= 2,71 10

3

м

2

= 27,1см

2

 

 

75

 

 

75 106

Па

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) Построение эпюры нормальных напряжений σi (рисунок 2):

σ1

=

96,79

= 96,79 103

= 35,72 106

Па = 35,72МПа;

 

 

 

A

2,71 103

 

 

σ2

=

 

203,21 103

= −75МПа;

 

 

2,71 103

 

 

 

 

 

 

 

σ3 = −50МПа;

σ4 =38,57МПа;

σ5 =52,6МПа;

σ6 = −21,2МПа.

ж) Построение эпюры относительных перемещений:

8

l =σ

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

l

 

35,72 106 Па 0,3м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

=σ

 

 

=

= 9,74

10

5

м = 0,097мм;

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 E

1,1

105 106 Па

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

=σ

 

 

l

=

75

106 Па 0,3м

= −0,205мм;

 

 

 

 

 

2

1,1 105 106 Па

 

 

 

 

E

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

l3 = −0,205мм; l4 = 0,158мм; l5 = 0,258мм; l6 = −0,104мм;

Ординаты эпюры перемещений границ участков будут:

у6 =

l6

= −0,104мм;

у5

=

l6

+

l5 = −0,104 +0,258 = 0,154мм;

у4

=

l6 +

l5 + l4 = 0,312мм;

 

 

6

 

 

у3

= li = 0,107мм;

 

 

3

 

 

у2

= −0,098мм;

у1 = −0,001мм 0.

Таким образом, полное удлинение ступенчатого стержня, равное алгебраической сумме удлинений всех участков оказалось равным нулю, что свидетельствует о достаточной точности приведенного выше расчета. По полученным значениям уi строим эпюру перемещений (рисунок 2).

ВЫВОДЫ: Сравнивая эпюры продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений сечений рассмотренных статически определимого (рисунок 1) и статически не определимого (рисунок 2) стержней, можно сделать следующие заключения:

1)Произошло изменение продольных сил и напряжений на многих участках стержня. Участок 1, не работавший в статически определимом стержне, стал работать на растяжение в статически неопределимом стержне.

2)Напряжения в поперечных сечениях всех участков статически неопределимого стержня оказались меньше чем в статически определимом, следовательно его несущая способность выше несущей способности последнего. Уменьшилась площадь поперечного сечения участков статически неопределимого стержня, следовательно, применение такой конструкции экономически выгодно с точки зрения расхода материала.

3)В соответствии с изменениями напряжений изменился характер деформаций участков стержня и осевых перемещений его поперечных сечений.

9

Часть 3. Расчет плоской, статически неопределимой стержневой системы

Исходные данные:

h = 4 м,

а = 3 м,

F = 200 кН,

А12 = 2,

Стержни алюминиевые,

ЕAl = 0,69 105 МПа,

[σ]Al =55 МПа,

α' = 2,5 105 1°C ,

t =80°C ,

δ1 = 0,15cм.

3.1 Определение усилий в стержнях 1 и 2.

Для выявления усилий, возникающих в элементах заданной системы под действием только силы F, вырежем жесткий стержень АВС с прилегающими к нему деформируемыми стержнями 1 и 2 (рисунок 3).

Рисунок 3.

Стержень АВС находится в равновесии под действием плоской системы сил VA, HA, N1(P), N2(P), P, где N1(P), N2(P) – усилия в стержнях 1 и 2 , передающиеся стержню АВС.

Таким образом, задача является однажды статически неопределимой, так как число неизвестных усилий равно четырем VA, HA, N1(P), N2(P), а число возможных уравнений статического равновесия равно трем. Для раскрытия статической неопределимости системы рассмотрим три стороны задачи.

а) Статическая сторона задачи:

Из уравнений статического равновесия стержня АВС следует (рисунок

3):

10