rgr4 / РГР4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

Методические указания и задания к расчетно-графической работе по курсу “Сопротивление материалов” для студентов 2-го курса всех строительных

специальностей очной формы обучения

Краснодар

2006

Составители: д-р. физ.-мат. наук, проф. Н. Н. Фролов, канд. физ.-мат. наук, доц. С. Ю. Молдаванов, канд. физ.- мат. наук, доц. С.Б. Лозовой.

УДК 539.3

Расчет балок на прочность и жесткость. Методические указания и задания к расчетно-графической работе по курсу «Сопротивление материалов» для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения / Кубан. гос. технол. ун-т; сост.: Н. Н. Фролов, С. Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой. Краснодар, 2006. 20 с.

Предлагаемые методические указания содержат примеры решения типовых задач, входящих в состав расчетно-графической работы по курсу «Сопротивление материалов», посвященной рассмотрению расчетов балок на прочность и жесткость. Предназначены для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения.

Ил. 16. Табл. 2.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета

Рецензенты: доц. кафедры строительных конструкций и гидротехнических сооружений КубГТУ С.И. Дизенко;

доц. кафедры сопротивления материалов и строительной механики КубГТУ В. В. Попов.

2

1. РАСЧЕТ ДЕРЕВЯННОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ

Строим эпюры внутренних силовых факторов в заданной консольной

балке. Используя ранее построенные эпюры поперечных сил Qy и изгибаю-

щих моментов

M x , определяем величину и направление опорных реакций

балки: M А = 7,5 кНм; VА =5 кН.

Исходя из построенных

II

I III

у

эпюр Qy

и M x , определяем

М=20 кНм

q=3 кН/м

МA=7,5кНм

z

положение

опасных

сечений

трех типов:

6

5

4

3

2

1

0

− сечение первого типа соот-

F=10 кН

А

VA=5кН

ветствует точке, где возни-

1 м

2 м

3 м

кает максимальный по мо-

10

дулю изгибающий момент.

В этом сечении действуют

4

максимальные нормальные

Эп.Qy

напряжения;

− сечение второго типа соот-

3,333 м

(кН)

ветствует точке, где возни-

5

кает максимальная по мо-

6

3,333

7,5

дулю

поперечная

сила. В

этом сечении будут дейст-

Эп. Мх

вуют

максимальные

каса-

(кНм)

тельные напряжения;

8,5

− сечение третьего типа соот-

14

ветствует точке, где возни-

кают

значительные

изги-

Эп. v 103

бающие моменты и соот-

2,972

(м)

ветствующие им

попереч-

13,153

ные силы. В этом сечении

11,153

13,806

14,458

строят

эпюры распределе-

14,958

ния главных напряжений по

Рис. 1.1. Эпюры в заданной балке

его высоте. В рассматри-

ваемом

примере

опасные

сечения

первого и третьего типов находятся в точке,

расположенной на

бесконечно малом расстоянии левее сосредоточенного момента М = 20

кНм. Опасное сечение второго типа находится в точке, расположенной на

бесконечно малом расстоянии правее сосредоточенной силы F =10 кНм.

Запишем условие прочности при изгибе по максимальным нормальным

напряжениям:

3

σmax = M max ≤ R =10МПа,

Wx

где R =10 МПа – расчетное сопротивление дерева;

Wx – момент сопротивление круглого сечения балки, Wx = πd 3 . 32

Тогда требуемый диаметр круглого поперечного сечения равен:

dnec ≥ 3	32 M max	= 3	32 14 103	= 0,243 м.
	π R		3,14 10 106

Округляем полученную величину диаметра в большую сторону до целых сантиметров и принимаем d = 25см. Момент инерции принятого поперечного сечения равен:

J x = J y =	πd 4		3,14 254	4		−4	4
		=		=19165,04 см = 1,9165	10		м .
	64		64

Выполняем расчет балки на жесткость, для чего необходимо построить эпюру прогибов балки. При построении эпюры прогибов будем использовать уравнение метода начальных параметров:

																3				6	2			6	4			6	2			6
EJ x v(i ) = EJ x v(0 )							6	+ EJ xθ(0 )z(i )						6	+	VA z(i )				−	M A z(i )			−	qz(i )			+	M (z(i ) −3)			+
							0							0		6					2				24				2
																				0				0				0				3
+	F (z(i ) −5)3			6	+	q(z(i ) −5)4					6	.
	6			5				24			5

При использовании записанного уравнения следует помнить, что в выбранной системе координат положительные изгибающие моменты создают положительные вертикальные перемещения.

Начальные параметры v(0) и θ(0) определяем из условия закрепления

балки. В точке А расположено защемление, препятствующее вертикальным и угловым перемещениям балки. Следовательно, начальные параметры рассматриваемой задачи v(0 ) = 0 и θ(0 ) = 0 .

Жесткость при изгибе подобранного круглого поперечного сечения балки равна EJ x =1 1010 1,9165 10−4 =1916,5 кНм2. Используя найденные

значения начальных параметров, определяем ординаты эпюры прогибов в расчетных сечениях:

−сечение 1: z(1) =1,5 м; EJ x v(1) = 5 16,53 − 7,521,52 − 3 241,54 = −5,695 кНм2;

v(1) = −19165,695,5 = −2,972 10−3 м;

−сечение 2: x(2 ) = 3м; EJ x v(2 ) = 5 633 − 7,52 32 − 32434 = −21,375 кНм2;

4

v(2 ) =	−21,375					= −11,153 10−3 м;
1916,5
− сечение 3: x(3)											= 4 м;
EJ x v(3) =		5 43								7,5 42									3 44										20 (4 −3)2												2
						−										−										+										= −28,667 кНм ;
		6									2									24												2
v(3) = −28,667						= −14,958 10−3 м;
1916,5
− сечение 4: x(4 )									=5м;																			20 (5 −3)2
EJ x v(4 ) =		5 53				−				7,5 52						−		3 54							+											= −27,708кНм2;
		6									2																	2
																				24
v(4 ) = −27,708						= −14,458 10−3 м;
1916,5
− сечение 5: x(5)									=5,5м;																							20 (5,5 −3)2								10 (5,5 −5)3				3 (5,5 −5)4
EJ x v(5) =		5 5,53							−				7,5 5,52							−		3 5,54									+								+				+			=
		6																																2
											2													24															6						24
= −26,458 кНм2;
v(5) = − 26,458							= −13,806 10−3 м;
1916,5
− сечение 6: x(6)									= 6 м;																					20 (6 −3)2								10 (6 −5)3				3 (6 −5)4
EJ x v(6 ) =			5 63					−				7,5 62					−				3 64							+									+				+				=
											2									24
		6																														2							6				24
= −25,208 кНм2;											v(6 ) = v(В)										=		−25,208										−13,153 10−3 м.
																								1916,5																	[f ]≥ vmax . Как следует
	Проверка жесткости балки. Условие жесткости:

из эпюры прогибов балки, максимальное вертикальное перемещение равно vmax =1,446 см. Для деревянных конструкций величина допускаемого прогиба

определяется из следующего условия:
f			=	1	,
				300
l

здесь l − вылет консоли балки.

Следовательно, величина допускаемого прогиба балки равна

[f ]= 300l = 3006,0 = 2 10−2 м = 2 см.

Условие жесткости балки vmax =1,446 см < [f ]=2 см выполняется. Та-

ким образом, принятые размеры поперечного сечения удовлетворяют условиям прочности и жесткости.

5

2. РАСЧЕТ СТАЛЬНОЙ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ

Определяем величину опорных реакций заданной балки:

∑mA = 0 VB = −10 +4 42 / 2 −10 2 −20 1−20 = −4,5кН; 4

∑mB = 0; VA = 20 +4 42 / 2 −10 2 +20 5 −10 = 30,5 кН; 4

Проверка:

∑y = 0 ; VA −VB − F1 + F2 −q 4 = 0 ; 30,5 −4,5 −20 +10 −4 4 = 0, следователь-

но, опорные реакции найдены верно.

Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x . Исходя из построенных эпюр,

определяем положение опасных сечений трех типов:

−сечение первого типа соответствует точке, где возникает максимальный по модулю изгибающий момент. В этом сечении действуют максимальные нормальные напряжения;

−сечение второго типа соответствует точке, где возникает максимальная по модулю поперечная сила. В этом сечении будут действуют максимальные касательные напряжения;

−сечение третьего типа соответствует точке, где возникают значительные изгибающие моменты и соответствующие им поперечные силы. В этом сечении строят эпюры распределения главных напря-

жений по его высоте.

В рассматриваемом примере сечения всех трех типов находятся в точке, расположенной на бесконечно малом расстоянии левее опоры А. Величина внутренних усилий в этих сечениях равна: Мх = −20 кНм и Qy = −20 кН.

Условие прочности при изгибе по максимальным нормальным напряжениям:

σmax = Mmax ≤ R =160МПа.

Wx

Вычисляем требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:

M x ,max

20 103

−6

3

=125

3

Wnec

=

=

=125 10

м

см .

R

106

160

Определяем размеры поперечных сечений заданных типов:

− круглое поперечное сечение:

Wx =

πd 3

dnec

≥

32W

nec

32 125

=10,84 см, принимаем d =109 мм

32

3

π

= 3

3,14

πd

2

3,14 10,9

2

2

A =

4

=

= 93,27 см ;

4

6

	I	II	III
F1=20кН			М1=10кНм			q=4кН/м		М2=20кНм
0	1		2	3	4	5	6			8	z
	A				F2=10кН			B	7
			VA=30,5кН			VB=4,5кН
	1 м		2 м			2 м		1 м
y	10,5				12,5
					2,5			4,5		Эп. Qy
								0,0		0,0	(кН)
20,0			20,0
			20,0
			10,0
0,0										Эп. Mх
					3,0						(кН)
							20,0			20,0
										11,89
								4,97
θ0			0,0				0,0			Эп. v
0	0,68										(мм)
v			1,58
2,33
	Точка перегиба				3,88	4,49
Рис. 2.1. Эпюры внутренних силовых факторов и перемещений заданной
					стальной балки

7

− квадратное поперечное сечение:

Wx = а63 anec ≥ 3 6Wnec = 3 6 125 = 9,09 см, принимаем a = 91мм

A = а2 = 9,12 = 82,81см2;

− прямоугольное поперечное сечение с соотношением сторон h / b = 2 / 1:

W

bh2

4b3

b ≥ 3

6W

6 125

= 5,72

см,

принимаем

b =58мм

x

=

=

nec

= 3

6

6

nec

4

4

h= 2 58 =116 мм; A = ah = 5,8 11,6 = 67,28см2;

−прямоугольное поперечное сечение с соотношением сторон h / b =3 / 1:

bh2

9b3

6W

6

125

W

x

=

=

b ≥ 3

nec

= 3

= 4,37 см,

принимаем

b = 44 мм

6

6

nec

9

9

h= 3 44 =132 мм; A = ah = 4,4 13,2 = 58,08см2;

−сечение, составленное из двух швеллеров, сложенных полками:

Wx шв ≥

Wnec

=

125 = 62,5 см3

, по сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8240-89)

2

2

W

= 70,2 см3

А

= 31,2

см2. Общая площадь

принимаем швеллер №14 с

и

шв

шв

составного сечения А= 31,2 2 = 62,4 см2.

− двутавровое сечение:W

x

≥W

=125 см3

,

по сортаменту прокатной стали

nec

с W

=143

см3, А = 23,4 см2,

(ГОСТ 8239-89) принимаем двутавр №18

х

х

Sx =81,4 см3,

J x =1290 см4, h =180мм, b =90 мм, d =5,1мм и t =8,1 мм.

Сравнивая площади подобранных сечений приходим к выводу, что наиболее рациональным по расходу материала является двутавровое сечения, которое обладает минимальной площадью. Указанное сечение принимаем для дальнейших расчетов.

Используя формулу Журавского, проверяем подобранное двутавровое сечение по максимальным касательным напряжениям:

τ

max

=

Qmax Sхотс,max

=

20 103 81,4 10−6

= 24,75

МПа< R

s

=100

МПа, следова-

J

x

b

1290 10−8

5,1 10−3

x

тельно, условие прочности сечения по максимальным касательным напряжениям выполняется.

Строим эпюры распределения нормальных, касательных и главных напряжений по высоте сечения по формулам:

M x y(i )

; τ(i ) =

Q Sx

(i )

;

σ(i )

1

2

2

σ(i ) =

σ1,3(i ) =

±

σ(i ) +4τ(i ).

J

x

J

x

b

2

2

(i )

Построения ведем для опасного сечения третьего типа, для которого Мх = −20 кНм и Qy = −20 кН. Напряжения вычисляем в точках 1-7 двутавро-

вого сечения (рис. 2).

8

Точка 1: y(1)

= −

h

= −

18

= −9 см; σ

(1) =

(−20) 103

(−9) 10−2

2

2

1290

10−8

=139,53МПа;

Sхотс(1) = 0 ; τ(1)

= 0 ; σ1,3(1)

= 139,53 ±

1

139,532 + 4 02

= 69,765 ±69,765 МПа;

σ1(1) =139,53 МПа;

2

2

σ3(1) = 0 МПа.

Точка 2: y(2)

h

−t

18

= −

= −

2

−0,81 = −8,19 см;

2

(−

20) 103 (−8,19) 10−2

σ(2) =

=126,98 МПа;

1290 10−8

h

t

18

0,81

отс

отс

отс

3

Sх(2) = А(2)

ус(3)

= b t

2

−

= 9 0,81

−

2

= 62,66

см .

2

2

Рассматриваем сечение со стороны полки: b(′2) = b = 90 мм;

τ(′2) =

(−20) 103 62,66 10−6

= −1,08 МПа;

1290 10−8 9 10−2

σ1′,3(2) = 1262,98 ± 12 126,982 +4 1,082 = 63,49 ±63,50 МПа;

σ1′(2) =126,99 МПа; σ3′(2) = −0,01МПа.

Рассматриваем сечение со стороны стенки: b(′′2) = d = 5,1мм;

τ(′′2) = (−20) 103 862,66 103−6 = −19,05МПа; 1290 10− 5,1 10−

σ1′′,3(2) = 1262,98 ± 12 126,982 + 4 19,052 = 63,49 ±66,29 МПа;

σ1′′(2) =129,78 МПа; σ3′′(2) = −2,80МПа.

Точка 3: y(3) = −

h

= −

18

= −4,5 см; σ(3)

=

(−20) 103 (−4,5) 10−2

= 69,77 МПа;

4

4

1290 10−8

y

(3)

−t

Sотс

= Аотс уотс

= Sотс

+(y

(3)

−t) d h

−

−t

=

х(3)

(3)

с(3)

х(2)

2

2

= 62,66	+(4,5	18		−	4,5 −0,81		= 74,46	3
		−0,81) 0,51	2		2	−0,81		см .

b(3) = d = 5,1мм; τ(3) = (−20) 103 74,46 10−6 = −22,64 МПа; 1290 10−8 5,1 10−2

σ1,3(3) = 692,77 ± 12 69,772 +4 22,742 = 34,89 ± 41,59 МПа;

σ1(3) = 76,48 МПа; σ3(3) = −6,70 МПа.

Точка 4: y(4) = 0 см; σ(4) = 0 МПа; Sхотс(4) = Sxотс,max =81,4 см3. b(4) = d = 5,1мм;

9

τ(4) = (−20) 103 81,4 10−6 = −24,75 МПа; 1290 10−8 5,1 10−2

σ1,3(4) = 02 ± 12 02 + 4 24,752 = 0 ± 24,75 МПа;

σ1(4) = 24,75 МПа; σ3(4) = −24,75МПа.

Точка 7: y(7) =

h

=

18

= 9 см; σ(7) =

(−20) 103 9 10−2

= −139,53МПа;

2

2

1290 10−8

139,53 ±

Sхотс(7) = 0; τ(7) = 0; σ1,3(7) = −

1 139,532

+ 4 02

= −69,765 ±69,765 МПа;

2

2

σ1(7) = 0 МПа;σ3(7) = −139,53МПа.

Точка 6: y(6) = h

−t =

18

−0,81 =8,19 см;

2

2

σ(6) =

(−20) 103

8,19 10−2

= −126,98 МПа;

1290

10−8

h

t

18

0,81

отс

отс

отс

3

Sх(6) = А(6)

ус

(6)

= b t

−

= 9

0,81

−

= 62,66 см .

2

2

2

2

Рассматриваем сечение со стороны полки: b(′6) = b = 90 мм;

τ(′6) =

(−20) 103

62,66 10−6

= −1,08 МПа;

1290

10−8 9 10−

2

σ1′,3(6) = −1262,98 ± 12 126,982 + 4 1,082 = −63,49 ±63,50 МПа;

σ1′(6) = 0,01МПа: σ3′(6) = −126,99 МПа.

Рассматриваем сечение со стороны стенки: b(′′6) = d = 5,1мм;

τ(′′6) = (−20) 103 862,66 103−6 = −19,05 МПа; 1290 10− 5,1 10−

σ1′′,3(5) = −1262,98 ± 12 126,982 +4 19,052 = −63,49 ±66,29 МПа;

σ1′′(6) = 2,80 МПа; σ3′′(6) = −129,78МПа.

Точка 5: y(5) =

h

=

18

=

4,5 см; σ(5) =

(−

20) 103 4,5 10−2

4

4

1290 10−8

= −69,77 МПа;

y

(5)

−t

Sотс

= Аотс уотс

= Sотс

+(y

(5)

−t) d h

−

−t

=

х(5)

(5)

с(5)

х

(6)

2

2

= 62,66	+(4,5	18		−	4,5 −0,81		= 74,46	3
		−0,81) 0,51	2		2	−0,81		см .

10