Математика / Задачи для детей от 5 до 15 лет

47. Перестановка (x1, x2, ..., xn) чисел {1, 2, ..., n} назы-

вается змеей (длины n), если x1 < x2 > x3 < x4...

П р и м е р. n =2,		только 1	< 2,				число =1,
n =	3,	2	< 3 > 1 ,				число =2,
		1	< 3	> 2		3
n =	4,	1	< 4	> 2 <
		1	< 3	> 2	<	4	число =5.
		2	< 3	> 1	<	4 ,

2 < 4 > 1 < 3

3 < 4 > 1 < 2

Найти число змей длины 10.

48. Обозначим через sn число змей длины n:

s1 =1, s2 =1, s3 =2, s4 =5, s5 =16, s6 =61.

Доказать, что ряд Тейлора тангенса есть

tg x =1	x1	+2	x3	+16	x5	+... =	∞
							Xk
1!		3!		5!
							=1

x2k−1 s2k−1 (2k −1)! .

49. Вычислить сумму ряда
1 +1	x2	+5	x4	+61	x6	+... =	∞	s2k	x2k	.
2!		4!		6!			Xk		(2k)!
							=0

50.Доказать при s > 1 тождество

∞∞

			1			1
Yp					=	Xn
			− ps				ns
=2	1		1			=1

(произведение по всем простым числам p, сумма по всем натуральным числам n).

51. Вычислить сумму ряда

					∞
1 +	1	+	1	+... =		1
					Xn
4		9
					n2
					=1

(доказать, что она равна π2/6, т. е. примерно 3/2).

11

52. Найти вероятность несократимо-

сти дроби p/q (она	определяется так:
в круге p2 +q2 6R2	считается число N

векторов с целыми p и q без общего делителя, большего 1, и затем вероятность несократимости – это предел отношения N (R)/M(R), где M(R) –число всех целых точек в круге (M πR2).

53. Для последовательности чисел Фибоначчи an задачи 43 найти предел отношения an+1/an при стремлении n к

M(5) =81, N (5) =44,

N/M =44/81

B P C

бесконечности:
	an+1	=2,	3		,	5		,	8		,	13		,	34	.
			2			3			5			8			21
	an															√
																			+1
																		5
																					A		Q	D
О т в е т: «золотое сечение»,																				≈
																		2

≈ 1,618. [Это соотношение сторон открытки, остающейся себе подобной при отрезании квадрата, стороной которого является

меньшая сторона открытки BCAB = CDPC .] Как связаны с золотым

сечением правильный пятиугольник и пятиугольная звезда? 54. Вычислить бесконечную цепную дробь

1 +

1

=a0 +

1

1

1

2 +

a1 +

1

1

1 +

a2 +

1

a3

+...

2

+

1 +

1

a2k =1

(найти предел дробей

2 +...

a2k+1 =2

a0 +

1

при n → ∞).

a1

+

1

a2

+

...

1

+

an

55. Найти многочлены

y =cos 3(arccos x),

y =cos 4(arccos x),

y =cos n(arccos x),

где |x| 61.

12

56.Вычислить сумму k-х степеней всех n корней степени n из 1 (комплексных).

57.Нарисовать на плоскости (x, y) кривые, заданные параметрически

{x =cos 2t, y =sin 3t},		{x =t3 − 3t, y =t4 − 2t2}.
58.	Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа)
	2]π sin100 x dx.
	0
59.	Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа)
	10
	]	xx dx.
	1

60. Найти площадь треугольника с углами (α, β, γ) на сфере радиуса 1, стороны которого – окружности больших

кругов (сечения сферы плоскостями, прохо-
дящими через ее центр).			α
О т в е т: S =α +β +γ − π	(например,		β
для треугольника с тремя прямыми углами		γ
S =π/2 –одна восьмая полной площади всей
сферы).
61. Окружность радиуса r катится внутри
круга по окружности радиуса 1	(без сколь-		1
жения). Нарисовать всю траекторию одной из

точек катящейся окружности (эта траектория называется гипоциклоидой) при r =1/3, при

r =1/4, при r =1/n, при r =1/2.

62. В классе из n учеников оценить вероятность наличия двух учеников с одинаковыми днями рождения. Велика она или мала?

О т в е т: (очень) велика, если учеников (сильно) больше n0, (очень) мала, если (сильно) меньше n0, а вот чему равно это n0 (когда p ≈ 1/2) надо найти.

13

63. Закон Снелла (Снеллиуса) гово-		y
рит, что угол α луча света с нормалью		α
к слоям слоистой среды удовлетворяет
уравнению n(y) sin α =const, где n(y) –
«показатель преломления» слоя на высоте (величина n обрат-
на величине скорости света в среде, считая скорость в пустоте
за 1; в воде n =4/3).
Нарисовать ход лучей в среде «воздух над пустыней», где
показатель n(y) имеет максимум на некоторой высоте:
y
n(y)
(решение этой задачи объясняет явление миража в пустыне
тем, кто понимает, как ход лучей, идущих от предметов, связан
с изображениями).
64. Вписать в остроугольный тре-		B
угольник ABC треугольник KLM мини-
мального периметра (с вершинами K на		K
AB, L на BC, M на CA).
У к а з а н и е: Для неостроугольных
треугольников ответ получается непо-			L
хожий на красивый ответ для остро-
угольных.	A	M	C
65. Вычислить среднее значение функции		1/r (где r2 =
=x2 +y2 +z2, r – расстояние от начала координат) по сфере
радиуса R с центром в точке (X, Y , Z).
У к а з а н и е: Задача связана с законом всемирного тя-
готения Ньютона и с законом Кулона теории электричества.
В двумерном варианте задачи функцию нужно заменить на
ln r, а сферу – на окружность.
66. Из того, что 210 =1024 ≈ 103 следует, что log10 2 ≈ 0,3.
Оценить, насколько они отличаются, и вычислить log10 2 с
тремя десятичными знаками после запятой.
67. Найти с той же точностью	log10 4, log10 8, log10 5,
log10 50, log10 32, log10 128, log10 125, log10 64.
14

68.Зная, что 72 ≈ 50, найти приближенно log10 7.

69.Зная log10 64 и log10 7, найти log10 9, log10 3, log10 27, log10 6, log10 12.

70. Зная ln(1 +x) ≈ x (ln – это loge), найти log10 e и ln 10 из соотношения1

log10 a = lnln10a

и из ранее вычисленных log10 a (например, для a =128/125, 1024/1000 и т. п.).

[Решения задач 65–69 доставляют за полчаса вычисленную таблицу четырехзначных логарифмов любых чисел, используя произведение найденных уже чисел как опорные пункты и формулу

ln(1 +x) ≈ x − x2 + x3 − x4 +...

2 3 4

для поправок.] hНьютон составил так таблицу 40-значных логарифмов!i

71. Составим последовательность степеней двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ... У первых двенадцати чисел десятичная запись начинается с 1 у четырех, а с 7 ни у одного.

Доказать, что в пределе n → ∞ первая цифра чисел 2m, 0 6m 6n, будет в среднем встречаться с определенной часто-

той:	p1	≈ 30%, p2 ≈ 18%, ..., p9	≈ 4%.

72. Проверить, как ведут себя первые цифры степеней тройки, 1, 3, 9, 2, 8, 2, 7, ... Доказать, что и здесь в пределе получаются определенные частоты, причем такие же, как для степеней двойки. Найти точную формулу для p1, ..., p9.

У к а з а н и е: Первая цифра числа x определяется дробной долей числа log10 x, поэтому нужно рассмотреть последовательность дробных долей чисел mα, где α =log10 2.

Доказать, что эти дробные доли распределены на отрезке от 0 до 1 равномерно: среди дробных долей чисел mα,

1Число Эйлера

e =2,71828... определяется как

предел

последовательности

1

n

→∞

1

1

1

n

1!

2! ln(1 +x)

1

+

при n

и равно также сумме ряда 1 +

+

+

+

... Его можно

3!

также определить приведенной формулой для ln(1 +x): lim

=1.

x

x→0

15

0 6m < n, в подинтервал A попадет из этих n дробных долей количество kn (A) такое, что при n → ∞, lim(kn (A)/n) = (длина подинтервала A).

73. Пусть g : M → M –гладкое отображение ограниченной области M на себя, которое взаимно однозначно и сохраняет площади (объемы в многомерном случае) областей.

Доказать, что в любой окрестности U любой точки из M и для любого N найдется точка x такая, что gT x тоже лежит в U при некотором целом T > N («теорема возвращения»).

74. Пусть	M – поверхность тора (с координатами α
(mod 2π), β	(mod 2π), g (α, β) = (α +1, β +√
		2) (mod 2π).

Доказать, что последовательность точек {gT (x)}, T =1, 2, ..., всюду плотно заполняет тор.

75. В обозначениях задачи 74 пусть

g (α, β) = (2α +β, α +β) (mod 2π).

Доказать, что имеется всюду плотное на торе подмножество периодических точек x (таких, что gT (x) x =x для некоторого целого T > 0).

76.В обозначениях задачи 74 доказать, что для почти всех точек x тора последовательность точек {gT (x)}, T =1, 2, ..., всюду плотно заполняет тор (точки x без этого свойства образуют множество меры нуль).

77.В задачах 74 и 76 доказать, что последовательность

{gT (x)}, T =1, 2, ..., распределяется на торе равномерно: если в область A из n точек с T =1, 2, ..., n попало kn (A), то

lim	kn (A)	=	mes A
	n
n→∞		mes M

(например, для измеримой по Жордану области A меры mes A).

П р и м е ч а н и е к з а д а ч е 13. Я пытался пояснить этой задачей разницу между подходами к делу математиков и физиков в заказанной мне журналом «Успехи физических наук» статье к 2000 юбилею Рождества. Мой успех оказался далеко превосходящим задуманный мною план: редакторы, в отличие от дошкольников, на опыте с которыми я основывал свои планы, решить задачу не смогли, поэтому изменили условие, чтобы подогнать его под указанный мной ответ 4 мм, так: вместо «от первой страницы первого тома до последней второго» набрали «от последней страницы первого тома до первой страницы второго».

Эта правдивая история настолько неправдоподобна, что я помещаю ее здесь: доказательством является опубликованный журналом редакторский вариант.