ekzamen

10. Модель экономико-статистическая "...Экономико-статистическая модель - математическое описание процесса или объекта, произведенное в целях их исследования и управления ими: математическая запись решаемой задачи, описывающая зависимости между входными и выходными переменными, носящая вероятностный характер и применяемая в статистике..." Это средство описания стохастических связей и закономерностей, возникающих под воздействием множества причин и следствий в массовых, повторяющихся явлениях. Такие модели предназначены прежде всего для выявления тенденций и закономерностей, которые были в прошлом, чтобы с их помощью оценивать будущее По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на: статистические и динамические. В статистических моделях все зависимости относятся к одному моменту времени.

11. Балансовые экономико – математические модели Одной из важнейших задач экономической политики государства является регулирование производства с целью обеспечения населения выпускаемой продукцией и дальнейшим бескризисным развитием экономики. Такое регулирование может быть осуществлено с помощью так называемых балансовых моделей. В основе их создания лежит балансовый метод, то есть метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Предполагается, что рассматриваемая экономическая система состоит из объектов, каждый из которых производит некоторый продукт, одна часть которого потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта. Под балансовой моделью понимают система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между количеством продукции, производимым отдельными экономическими объектами и совокупной потребностью в этой продукции. Если вместо понятия «продукт» ввести более общее понятие «ресурс», то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования. Важнейшими видами балансовых моделей являются: 1) частичные материальные, трудовые, финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; 2) межотраслевые балансы; 3) матричные технические, промышленные, финансовые планы предприятий и фирм. Балансовый метод и созданные на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Для выявления диспропорций используются балансовые модели, в которых фактические ресурсы сопоставляются не с их фактическим потреблением, а с потребностью в них. Основу информационного обеспечения балансовых моделей составляет таблица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую роль играет таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Различают статические и динамические балансовые модели. Недостатком балансовых моделей является невозможность сравнения отдельных вариантов экономических решений, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы.

12. Оптимизационные экономико – математические модели Оптимальная или оптимизационная модель [optimization model] — экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов (технологических способов) производства, распределения или потребления и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден лучший из них. В отличие от дескриптивной (описательной, балансовой) модели оптимизационная модель содержит наряду с уравнениями, описывающими взаимосвязи между переменными, также критерий для выбора — функционал (или, что то же, целевую функцию). Оптимизационные модели — основной инструмент экономико-математических методов. Обычно они очень сложны, насчитывают сотни и тысячи уравнений и переменных. Но общая структура таких моделей проста. Она состоит из целевой функции, способной принимать значения в пределах области, ограниченной условиями задачи (области допустимых решений), и ограничений, характеризующих эти условия. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь состоит из трех элементов: управляемых переменных, параметров (или также переменных), которые не поддаются управлению, например, зависящих от внешней среды, и формы зависимости между ними (формы функции). Если обозначить критерий оптимальности — U (в частном случае, например, — полезность), управляемые переменные — xi  и параметры — yi, то получим общий вид оптимизационной модели: 1) U = f (xi, yj) → max или min, т.е. отыскивается максимум или минимум функции f (x, y) в зависимости от того, какой показательвыбран в качестве критерия; 2) xi = A,  xi > A или xi < A    — это означает, что управляемые переменные xi могут изменяться лишь в заданных пределах: быть равными, или больше, или меньше величин, определяемых ограничениями модели. О.м. — основа для решения оптимальных или оптимизационных задач.

13. Стандартная задача линейного программирования Линейное программирование – раздел математического программирования, состоящий в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции; Задачами линейного программирования называются оптимизационные задачи, в которых ограничения, представленные в виде равенств или неравенств, и целевая функция линейна. Разработка модели ЛП включает следующие основные этапы: определение переменных задачи, представление её ограничений в виде линейных уравнений или неравенств, задание линейной целевой функции, подлежащей минимизации или максимизации. Задача ЛП в стандартной форме с  m ограничениями и n  переменными имеет следующий вид: максимизировать или минимизировать  при ограничениях: . Задачи ЛП в стандартной форме можно записать в компактных матричных обозначениях следующим образом: максимизировать или минимизировать  при ограничениях  где A - матрица размерности mxn,  x - вектор-столбец  размерности nxl, b- вектор-столбец  размерности mxl, а c - вектор-строка размерности .1xn. Обычно  A назначается матрицей коэффициентов,  x - вектором переменных,  b - вектором ресурсов, c - вектором оценок задачи ЛП. При решении задачи ЛП симплекс-методом требуется, чтобы задача была представлена в стандартной форме. Однако не все практические задачи ее имеют, поэтому для удовлетворения требования алгоритма необходимо следующее. 1. При помощи введения дополнительных остаточных или избыточных переменных преобразовать неравенства в равенства. 2. Для получения неотрицательных переменных задачи неограниченные по знаку переменные заменить разностью двух неотрицательных. При решении задач ЛП используются следующие основные понятия. Допустимым решением являются неотрицательные значения переменных, для которых выполняются ограничения, а допустимой областью - совокупность допустимых решений. Оптимальным решением называются такие допустимые значения переменных, при которых ЦФ экстремальна, т.е. имеет оптимальное значение. В ряде случаев, ЦФ имеет одно оптимальное значение при нескольких комбинаций значений переменных, следовательно, задача обладает неединственностью оптимума. Когда в задаче ЛП нет конечного оптимума, то в этом случае существует неограниченный оптимум.

14. Графический метод решения задач линейного программирования Графический метод решения задачи линейного программирования основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно. Описание метода Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, то есть ограничения содержат две переменные. Найти минимальное значение функции при ограничениях вида и Допустим, что система (2) при условии (3) совместна. Каждое из неравенств из систем (2) и (3) определяет полуплоскость с граничными прямыми: . Линейная функция (1) при фиксированных значениях  является уравнением прямой линии: . Пример графического решения задачи линейного программирования с 6 условиями. Построим многоугольник решений системы ограничений (2) и график линейной функции (1) при . Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию: Найти точку многоугольника решений, в которой прямая  опорная и функция  при этом достигает минимума. Значения  уменьшаются в направлении вектора , поэтому прямую  передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора . Если многоугольник решений ограничен (см. рисунок), то прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках  и ), причём минимальное значение принимает в точке . Координаты точки  находим, решая систему уравнений прямых  и . Если же многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая. Случай 1. Прямая , передвигаясь в направлении вектора  или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольникрешений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу. Случай 2. Прямая, передвигаясь, всё же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу, ограниченной снизу и неограниченной сверху, либо ограниченной как снизу, так и сверху.

15. Транспортная задача. Критерий оптимальности, постановка задачи Транспортная задача является представителем класса задач линейного программирования и поэтому обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения. Транспортная задача является одной из наиболее распространенных специальных задач линейного программирования. Частные постановки задачи рассмотрены рядом специалистов по транспорту, например О. Н. Толстым. Первая строгая постановка транспортной задачи принадлежит Ф. Хичкоку, поэтому в зарубежной литературе ее называют проблемой Хичкока. Первый точный метод решения Т-задачи разработан Л. В. Канторовичем и М. К. Гавуриным. Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение. Методом потенциалов для каждой строки и каждого столбца рассчитывается потенциал по след. Формуле vj –ui=cij для занятых клеток. Потенциалы рассчитываются однозначно, для простоты вычисления принимаем величину u1=0. Проверим задачу на оптимальность. Должно выполняться след. Условие для всех клеток vj-ui>/=cij задача решена. Из тех клеток, где условие не выполняется выбираем ту где большая разница между правой и левой частью неравенства и строим цикл перерасчёта для каждой свободной клетки цикл строится единственным образом. Цикл перерасчёта представляет собой геометрическую фигуру, где все углы прямые и все остальные вершины, кроме выбранной нами занятыми клетками. Цикл может иметь след. Форму: В выбранной вершине ставим знак +, затем поочерёдно чередуем +, - Из вершин с отрицательным знаком выбираем значение наименьшее по модулю и проводим перерасчёт, там где – ту величину вычитаем, там где + ту величину прибавляем. F(x)=nm+n1m1+n2m2+…..= Доказано, что за конечное число пересчётов может быть найдено оптимальный вариант решения задачи.

16. Метод потенциалов             Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90 , Знаком " + " отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком "- " - те вершины, в которых перевозки уменьшаются. Перемещение какого-то количества единиц груза по циклу означает увеличение перевозок на это количество единиц в положительных вершинах и уменьшение перевозок на это же количество единиц в отрицательных вершинах. При этом, если перевозки остаются неотрицательными, план остается допустимым. Стоимость плана при этом может меняться.             Ценой цикла называется увеличение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по этому циклу. Очевидно, цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, при этом стоимости в положительных вершинах берутся со знаком " +", а стоимости в отрицательных вершинах берутся со знаком " - ".             Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.             Для нахождения циклов с отрицательной ценой вводится система платежей   и определяются величины     называемые "псевдостоимостями" перевозок единицы груза из пункта i в пункт j.  При этом цена цикла пересчета для каждой свободной клетки равна        если платежи               для всех базисных клеток (i, j) 9.9 Вычислительная схема метода потенциалов  [1, 3]             Шаг 1. Строим опорный план (методом северо-западного угла) с n+m-1   базисными клетками.             Шаг 2. Определяем платежи для всех базисных клеток. Один из платежей (например 1 ) полагаем равньм нулю.  Шаг 3. Считаем псевдостоимости   для всех свободных клеток. Если    для всех клеток, то план оптимален. Вычисляем значение целевой функции L на этом плане и исследования прекращаем.                           Шаг 4. Если есть свободная клетка, для которой     то улучшаем план, перебрасывая перевозки по циклу этой свободной клетки.  Шаг 5. Возвращаемся к шагу 2 для пересчета платежей нового опорного плана.

17. Метод нахождения опорного плана транспортной задачи. Методы решения транспортной задачи сводятся к простым операциям с транспортной таблицей, которая имеет вид:          Базисными клетками транспортной таблицы являются клетки с отличными от нуля положительными перевозками, остальные клетки -  свободные. Базисные клетки образуют опорный план транспортной задачи, если выполняются два условия:  1) сумма перевозок в каждой строке равна запасу  в данной строке;  2) сумма перевозок в каждом столбце равна соответствующему столбцу спросу     Опорный план транспортной задачи содержит не более n+m-1 отличных от нуля перевозок      Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок    меньше и n+m-1, опорный план - невырожден, если число ненулевых перевозок равно n+m-1. Рассмотрим способы построения опорного плана в невырожденном и вырожденном случаях.

18. Задача об использовании ресурсов (оптимального планирования производства) Будем рассматривать статическую задачу планирования, в которой параметры остаются неизменными на всем плановом периоде. Пусть конечный продукт как часть валового продукта состоит из видов продукции (номенклатура продукции). Целью увеличения объема конечного продукта, а следовательно, и валового продукта выберем максимизацию дохода (выручки) от реализации этой продукции. Если - доход (выручка, цена) от реализации единицы продукции -ого вида (). Тогда, если планируется выпустить единиц продукции -ого вида, то суммарный доход по всем видам продукции будет выражаться величиной: . Отсюда целевая функция примет вид: . Объем выпускаемой продукции зависит от используемых ресурсов и основных производственных фондов (ОПФ). Поэтому, если для производства используются видов ресурсов и их затраты для выпуска единицы продукции определяются ОПФ, то можно ввести следующие обозначения: - имеющийся запас (резерв) -ого вида ресурсов; - количества единиц, или объем -ого вида ресурсов, затрачиваемой, или расходуемый на выпуск одной единицы -ого вида продукции. Тогда объем выпускаемой продукции зависит от следующих ограничений: , . Доход от реализации выпускаемой продукции зависит от спроса на нее. Обозначим объем спроса не продукцию -ого вида через число единиц продукции этого вида . Тогда ограничения по спросу примут вид: , . Следует оговориться, что данные о спросе на продукцию прогнозируются или определяются полученными заказами. Если спрос превышает предложение, то соответствующие ограничения могут отсутствовать. Наконец, введем стандартные ограничения на неотрицательность переменных, имеющие ясный прикладной смысл: , . Таким образом, задача об использовании ресурсов сформулирована полностью и имеет общий вид: при ограничениях , ; , ; , . Эта задача относится к задачам линейного программирования и решается универсальным симплекс-методом. Оптимальное решение задачи позволяет провести анализ его на чувствительность к изменениям исходных условий, т.е. выявить недефицитные ограничения, что может позволить уменьшить запас имеющихся ресурсов, а следовательно, снизить расходы на их приобретение и хранение. Однако некоторые непредвиденные изменения исходных данных такой статической задачи в ходе планового периода могут привести к тому, что полученное оптимальное решение - оптимальный план окажется нереализуемым и потребуется его корректировка.

19. Постановка задачи. Имеется n видов продуктов питания. Известна стоимость единицы каждого продукта Сi. Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, который должен содержатьm видов полезных элементов (белки, жиры, углеводы и т.п.), причем количество каждого элемента в рационе должно быть не менее Bj. Для каждой единицы i-го продукта известно содержание j-го вида элемента - bij . Требуется так составить пищевой рацион, чтобы обеспечить заданные условия при минимальной стоимости рациона. Модель. Пусть xi – количество продуктов i-го вида. Тогда модель задачи имеет следующий вид: Эта задача ЛП с размерностью 3хN, решается универсальными методами ЛП, например, симплекс-методом.

20.Основные теории массового обслуживания.  Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди. Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах. Главная особенность задач данного класса – явная зависимость результатов анализ и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит и времени их исполнения). Предмет теории массового обслуживания – это установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала обслуживания, числом каналов и эффективностью обслуживания. В качестве характеристик СМО рассматриваются: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена; закон распределения длины очереди и другие. Добавим, что заявки (требования) поступают в СМО случайным образом (в случайные моменты времени), с точками сгущения и разрежения. Время обслуживания каждого требования также является случайным, после чего канал обслуживания освобождается и готов к выполнению следующего требования. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает некоторой пропускной способностью. Пропускная способность СМО может быть абсолютной(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) и относительной(среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных). 3.1 Модели систем массового обслуживания. Каждую СМО может характеризовать выражением: ( a / b / c ) : ( d / e / f ), где a - распределение входного потока заявок; b - распределение выходного потока заявок; c – конфигурация обслуживающего механизма; d – дисциплина очереди; e – блок ожидания; f – емкость источника. Теперь рассмотрим подробнее каждую характеристику.Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l. Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m. Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать: 1. один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец); 2. один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов(столовая, поликлиника, конвейер); 3. несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал). Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной. Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие: 1. ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип; 2. ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься); 3. СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных. 4. ПР – обслуживание с приоритетом. Длина очереди может быть неограничена – тогда говорят о системе с чистым ожиданием; равна нулю – тогда говорят о системе с отказами; ограничена по длине (система смешанного типа). Примером СМО с чистым ожиданием можно считать погрузочно-разгрузочное депо. В основном же ограничение на длину очереди накладывает размер места для размещения очереди (например, автостоянки или помещения). Блок ожидания – «вместимость» системы – общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Таким образом, е=с+d. Емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т.е. ее можно считать неограниченной. Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент