Методы принятия решений - лекции, расчёты и ЛР / Лабораторная работа 1

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

1

Построение и исследование моделей однокритериальных задач принятия решений в условиях определенности

Цель работы – получение практических навыков построения и анализа устойчивости линейных оптимизационных моделей в среде Microsoft Excel с использованием надстройки «Поиск решения»

(“Solver”).

Варианты задач

Для каждого варианта необходимо построить линейную оптимизационную модель и выполнить все пункты задания, используя надстройку «Поиск решения» и отчет об устойчивости.

1. Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует двухстадийной сборки. Время, необходимое для сборки

	каждой стадии, приведено в табл.
	Оборудование на каждой ста-	Модель	Время сборки, мин.
			Стадия 1	Стадия 2
	дии работает 7 часов 30 мин. в день.
	Требуется найти такой план произ-	Модель A	2,5	2,0
		Модель B	1,8	1,6
	водства на ближайшие 5 рабочих
		Модель C	2,0	2,2
	дней, при котором суммарная при-

быль за данный период максимальна. Модель A обеспечивает прибыль 82,5 руб. за шт., модель B – 70 руб. за шт., модель C – 78 руб. за шт. Предполагается, что фирма может продать все, что она произведет. Также известно, что на ближайшую неделю имеется предоплаченный заказ на 60 устройств – по 20 устройств каждого типа.

Задания

1)Найти оптимальный производственный план.

2)Все ли модели устройств выгодно производить? Если имеется убыточная модель, то что следует изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

3)Пусть имеется возможность установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? На сколько увеличится прибыль в этом случае? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

2

4) Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность вместо 2-х установить 5 ч. сверхурочно?

2. Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. денежных единиц (д.е.) в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег также предполагается положить на срочный вклад в банк.

	Тип вложения	Риск	Предполагаемый
			ежегодный доход, %
	Акции A	Высокий	15%
	Акции B	Средний	12%
	Акции C	Низкий	9%
	Облигации долгосрочные		11%
	Облигации краткосрочные		8%
	Срочный вклад		6%

Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализованные личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

–все 500 тыс. д.е. должны быть инвестированы;

–не менее 100 тыс. д.е. должны быть на срочном банковском вкладе;

–не менее 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

–в облигации следует инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;

–в бумаги с доходностью менее 10% должно быть вложено не более 125 тыс. д.е.

Задания

1)Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?

2)Если инвестор внесет дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Какова зависимость величины изменения ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инве-

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

3

стированных средств? В какие ценные бумаги следует вкладывать дополнительные средства, чтобы ограничения не нарушались? Ответы обосновать.

3)Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более, чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода чувствительны к этим оценкам?

4)Дать интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из ограничений. Какие требования инвестора к составу портфеля являются сдерживающими, т.е. приводят к уменьшению возможной величины годового дохода? Наоборот, есть ли среди ограничений такие, которые все равно будут выполняться, даже если их исключить из модели? Ответы обосновать.

Указания

•Требование инвестировать всю сумму должно быть записано

ввиде ограничения-равенства.

•Для ответов на вопросы 2,3 и 4 использовать данные отчета об устойчивости.

•Общая интерпретация теневой цены всегда связана с изменением значения целевой функции при изменении значения правой части ограничения на единицу.

3. Предприятие производит фруктовые соки и продает их упакованными в пакеты емкостью 1 л. Список продукции и цена реализации за один пакет приведены в табл.

Сок «Яблоко-апельсин» содержит 70% яблочного и 30% апельсинового сока, «Яб- локо-персик» - 60% яблочного и 40% персикового сока, «Фруктовая смесь» – 50% яблочного, 20% апельсинового и 30% персикового сока.

	Напиток	Цена пакета,
		руб.
	Сок яблочный	40
	Сок апельсиновый	42
	Сок персиковый	37
	Сок «Яблоко-апельсин»	40
	Сок «Яблоко-персик»	39
	Сок «Фруктовая смесь»	44

В настоящий момент на складе предприятия имеются концентраты для приготовления 2800 л яблочного сока, 1900 л апельсинового сока и 2500 л персикового сока. Себестоимость приготовления 1 л яблочного сока составляет 20 руб., апельсинового – 23 руб., персикового – 18 руб.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

4

Предприятие имеет заказ на 600 пакетов яблочного сока, 300 пакетов сока «Яблоко-апельсин» и 1000 пакетов сока «Фруктовая смесь». Заказ должен быть выполнен в текущую поставку. Кроме того, из опыта известно, что ни один из видов продукции не следует производить в количестве более чем 2 тыс. пакетов.

Задания

1)Найти план производства, обеспечивающий наибольшую при-

быль.

2)Для найденного оптимального плана получить отчет об устойчивости. Объяснить, что означают нормированные стоимости соков яблочного, «Яблоко-апельсин» и «Фруктовая смесь». Сколько пакетов яблочного сока и сока «Яблоко-апельсин» следовало бы произвести, если бы заказ на эти две позиции отсутствовал?

3)Пусть имеется возможность закупить концентрат для получения дополнительных 200 литров одного из соков. Концентрат какого сока (яблочного, апельсинового или персикового) следует предпочесть? Какую величину дополнительной прибыли можно будет получить по сравнению с первоначальным планом? Для ответа на данные вопросы использовать отчет об устойчивости.

4.Частный инвестор предполагает вложить 100 тыс. денежных единиц (д.е.). Возможные типы вложения перечислены в табл.

		Ожидаемый	Минимально	Потенциально
	Тип вложения		гарантированный	возможный
		доход, %	доход, %	доход, %
	Акции A	15%	– 50%	100%
	(высокий риск)
	Акции B	9%	3%	12%
	(низкий риск)
	Инвестиционный	7%	6%	9%
	фонд
	Государственные	8%	8%	8%
	облигации

Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализованные личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

– все 100 тыс. д.е. должны быть инвестированы;

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

5

–не менее 50 тыс. д.е. должны быть вложены в бумаги, потенциально возможный доход которых превышает 9%;

–в государственные облигации должно быть инвестировано не более 30 тыс. д.е.;

–в акциях должно быть не более 50 тыс. д.е.;

– минимальный гарантированный доход должен составлять не менее 4%.

Задания

1)Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий ожидаемый доход. Какова величина этого дохода?

2)Как изменится оптимальная величина ожидаемого дохода, если инвестор согласится уменьшить нижнюю границу минимального гарантированного дохода до нуля?

3)Как изменится оптимальная величина ожидаемого дохода, если будет инвестировано дополнительно 20 тыс. д.е., при условии, что остальные ограничения останутся неизменными?

4)Что означает полученное значение нормированной стоимости для двухгодичных облигаций?

Указания

•Требование инвестировать всю сумму должно быть записано

ввиде ограничения-равенства.

•Для ответов на вопросы 2,3 и 4 использовать данные отчета об устойчивости.

•Общая интерпретация теневой цены всегда связана с изменением значения целевой функции при изменении значения правой части ограничения на единицу.

5.Компания производит три вида корма для собак: Regular, Extra и Puppy Delite, используя три ингредиента: А, В и C.

Regular содержит поровну всех ингредиентов и дает прибыль 20 руб. за килограмм. Extra содержит 50% ингредиента А и по 25% ингредиентов В и C и дает прибыль 18 руб./кг. Puppy Delite содержит 10% ингредиента B и 90% ингредиента C и дает прибыль 25 руб./кг. Запасы ингредиентов на неделю: A – 1900 кг, B – 1100 кг, C – 1000 кг.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

6

Задания

1)Найти производственный план, максимизирующий прибыль.

2)Все ли виды корма выгодно производить? Если имеется убыточный вид корма, то что следует изменить, чтобы его производство стало выгодным? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

3)Пусть имеется возможность дополнительно приобрести 80 кг одного из ингредиентов. Какой именно (A, B или C) следует предпочесть? На сколько увеличится прибыль в этом случае? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

4)Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность докупить не 80, а 150 кг ингредиента?

6. Корпорация планирует запустить производство нового изделия на трех своих предприятиях, в настоящее время обладающих избыточными производственными мощностями. Предполагается выпускать четыре различных модификации изделия: RC-11, RC-18, RC-20 и RC-22. Ожидаемая прибыль на одно изделие составляет 220, 310, 375 и 480 денежных единиц (д.е.) соответственно.

Каждая модель требует различные площади для хранения на складе до момента отгрузки в конце месяца: 1; 1,4; 1,6 и 2,2 м2. Затраты рабочего времени на выпуск на трех предприятиях, а также свободные складские площади приведены в табл. (знак «–» означает, что возможность выпуска модели RC-20 на предприятии 3 отсутствует).

	Затраты времени на производство одного				Площадь
		изделия, ч.			свободных
	RC-11	RC-18	RC-20	RC-22	складов, м2
Предприятие 1	0,38	0,4	0,41	0,5	1100
Предприятие 2	0,32	0,35	0,38	0,42	1000
Предприятие 3	0,64	0,7	–	0,9	900

Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели составляют 470, 700, 650 и 300 штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 24 рабочих днях в месяц.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

7

Задания

1)Сколько изделий каждой модификации должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наибольшую прибыль?

2)Способна ли корпорация полностью удовлетворить потребности рынка?

3)Что является более выгодным: увеличить складские площади предприятия 2 на 90 м2 или же увеличить время ежедневной работы предприятия 3 на 3 часа? Для ответа использовать данные отчета об устойчивости.

4)Пусть имеется возможность увеличить складские площади предприятия 2 на 100 м2. Приведет ли это к большей сбалансированности ресурсов данного предприятия? Можно ли ответить на этот вопрос, используя только отчет об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения)?

7. Лесопильное предприятие заготавливает оцилиндровывает и сушит 20-футовые бревна, которые в дальнейшем используются для строительства бревенчатых домов. Поступил новый заказ, для которого требуются 275 шт. 8-футовых, 100 шт. 10-футовых и 250 шт. 12-футовых бревен. На складе имеется 315 шт. 20-футовых бревен.

Задания

1)Найти вариант распила бревен так, чтобы выполнить заказ и минимизировать суммарную длину отходов.

2)Получить отчет об устойчивости и дать интерпретацию теневых цен.

3)Какие коррективы следует внести в постановку задачи (изменить параметры заказа либо запас бревен на лесопилке), чтобы обратить отходы в ноль? Пользуясь только данными отчета об устойчивости, предложить не менее трех вариантов решения данной задачи?

4)Что произойдет, если запас 20-футовых бревен сделать меньше нижнего предела устойчивости?

Указание. Для каждого из 20-футовых бревен возможны 4 различных способа раскроя, при этом каждый способ дает свою величину отходов.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

8

8. Хозяйство имеет 1000 га пахотной земли, на которых традиционно выращивает кукурузу, горох, рожь и пшеницу. При этом площадь земель, пригодных для выращивания ржи и пшеницы, составляет не более 700 га.

В предстоящем сезоне прогнозируются следующие урожаи выращиваемых культур: кукурузы – 12 ц/га, гороха – 19 ц/га, ржи – 14 ц/га и пшеницы – 20 ц/га. В соответствии с этим ожидаемые средние закупочные цены на зерновом рынке составят 3,5; 5,2; 3 и 3,2 тыс. руб. за тонну зерна соответственно. Можно считать, что издержки по выращиванию и уборке этих культур от погодных условий практически не зависят и составляют соответственно 2,6; 3,3; 2 и 2,3 тыс. руб. на тонну зерна. При этом хозяйство не может израсходовать на выращивание и уборку урожая более 4 млн. руб.

Максимальное количество зерна, которое можно разместить на рынке, составляет 200 тонн для кукурузы, 400 тонн для гороха, 500 тонн для ржи и 1200 тонн для пшеницы. Хозяйство имеет контракты на поставку 120 тонн кукурузы и 200 тонн пшеницы, которые безусловно должны быть выполнены.

Задания

1)Какая площадь должна быть отведена под каждую культуру, если стоит задача максимизации прибыли? Решить задачу при условии, что все 1000 га земли должны быть засеяны.

2)Получить отчет об устойчивости и дать интерпретацию всем ненулевым теневым ценам. Что означает отрицательная теневая цена ограничения, связанного с необходимостью использовать весь участок земли целиком? Какое ограничение на объемы продаж зерна в наибольшей степени сдерживают возможность увеличения максимальной прибыли?

3)Решить задачу без учета требования о необходимости засеять целиком весь участок. Как изменились оптимальное решение и максимальное значение прибыли? Какое ограничение на объемы продаж зерна перешло в разряд сдерживающих рост прибыли?

9. Руководство мебельной фабрики рассматривает возможность введения на одном из своих предприятий сверхурочной работы и хочет оптимизировать использование этого дополнительного времени. Предприятие выпускает пять различных изделий: стулья, столы, бюро, книжные шкафы, и передвижные столики.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1

9

Соответствующая прибыль за одно изделие – 16; 30; 40; 42; 32 денежные единицы (д.е.). Продукция требует одних и тех же основных операций: обрезка, шлифовка и сборка. Время, затрачиваемое на эти операции для различных изделий, приведено в табл.

Время на операцию, мин.	Обрезка	Шлифовка	Сборка
Стул	8	12	4
Стол	6	10	3
Бюро	9	13	5
Книжный шкаф	8	12	4
Передвижной столик	14	8	6

Имеется 320 мин. для обрезки, 400 мин. для отделки, и 270 мин. для сборки в планируемое сверхурочное время. Также имеется предварительный заказ на 10 стульев, 4 бюро и 10 книжных шкафов, который должен быть выполнен в обязательном порядке.

Задания

1)Найти план производства, максимизирующий прибыль, и величину максимальной прибыли.

2)Выгодно ли производить все изделия? Если имеются изделия, которые не выгодно производить, что следует изменить, чтобы они вошли в оптимальный план? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

3)Пусть имеется возможность установить 50 сверхурочных минут, но для только одной из основных операций. На какую операцию следует выделить это время? Как изменится в этом случае прибыль? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

4)Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность выделить не 50, а 100 мин. сверхурочно?

10.Цех производит 7 различных видов деталей: A, B, C1, C2, D, E6, F, имея в распоряжении следующий парк из 6 видов универсаль-

ных станков: WWZ – 1 шт., BSD – 2 шт., SDU – 2 шт., ARM – 1 шт., SHG – 1 шт., USI – 2 шт. Время, требуемое для обработки одной детали каждого вида на каждом станке (в часах), вклад в прибыль от производства одной детали каждого вида и рыночный спрос на каждый вид деталей в месяц, приведены в табл.

Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1										10
Деталь		Время обработки на станках, ч.							Прибыль,	Потреб-
	WWZ		BSD	SDU	ARM	SHG	USI		д.е.	ность, шт.
										(не более)
A	0,112		0,24	0,33	0,05	0	0,15		5	300
B	0,102		0,15	0,29	0,06	0,226	0		4	600
C1	0,105		0,25	0,36	0,06	0,146	0		5	500
C2	0,087		0,18	0,36	0,04	0,19	0,14		4	400
D	0,088		0,2	0,29	0,06	0,244	0		7	220
E6	0,116		0,23	0,29	0,06	0,234	0,15		5	50
F	0,071		0,15	0	0,04	0,184	0,15		2	300

Цех работает 12 часов в день. В месяце 26 рабочих дней. Поскольку сбыт изделий A и F тесно связан, желательно

выпускать их в равных количествах.

Задания

1)Найти план производства, максимизирующий месячную прибыль, и величину максимальной прибыли.

2)Производство каких видов деталей лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха? Ответ обосновать. Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.

3)Какие машинные ресурсы цеха следует увеличивать, чтобы добиться максимального увеличения прибыли при заданных потребностях рынка? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости.