Inform

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
БЛОК ОСНОВНЫХ ЗАДАНИЙ ......................................................		43
ЗАДАНИЕ 1. ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ .........		43
ЗАДАНИЕ 2. СВЕРТКА ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ ..........................................		45
ЗАДАНИЕ 3. ДВОИЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ ......................................		46
ЗАДАНИЕ 4.	АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ .............................	47
БЛОК ВАРИАТИВНЫХ ЗАДАНИЙ ...................................................		51
ЗАДАНИЕ 1.	ДОКАЗАТЬ УТВЕРЖДЕНИЯ ...........................................	51
ЗАДАНИЕ 2.	РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ...................................................	51
ЗАДАНИЕ 3.	ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ .......	51

ВПРОЦЕССЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ФОРМИРУЮТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ:

1.Переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую.

2.Выполнять свертку и двоичное кодирование чисел.

3.Выполнять арифметические действия в различных системах счисления.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Правило перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

2.Правило перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую.

3.Правила десятично-двоичного, восьмерично-двоичного, шестнадцате- рично-двоичного кодирования чисел.

4.Правило свертки двоичных чисел в восьмеричный и шестнадцатеричный формат.

5.Правила выполнения основных арифметических действий в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления.

6.Как связаны основание системы счисления и длина числа в этой системе?

7.Есть ли разница между переводом и кодированием чисел?

8.Для каких чисел выполняется равенство Х10 = У2?

9.Сколько двоичных цифр требуется для кодирования одной восьмеричной цифры?

10.При вычитании заем из ближайшего разряда составил 16. В какой системе счисления выполнялось вычитание?

41

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Система счисления – это способ изображения чисел с помощью конечного множества символов.

Взависимости от способа изображения чисел системы счисления (c/c) делятся на позиционные и непозиционные.

Впозиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1.

Система счисления	Основание	Цифры
Двоичная	2	0 1
Восьмеричная	8	0 1 2 3 4 5 6 7
Десятичная	10	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Шестнадцатеричная	16	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Число, равное основанию системы счисления, записывается только в двух позициях данной системы.

Система счисления	Число	Запись числа
Двоичная	2	102
Восьмеричная	8	108
Десятичная	10	1010
Шестнадцатеричная	16	1016

Разряд (позиция) – место для цифры в числе. Разрядность – количество цифр в числе.

Разряды нумеруются справа налево. Каждому разряду соответствует степень основания.

Разрядная		. . .	4	3	2	1	0	Разложение		по	степеням
сетка								основания
Число в 10 с/с					5	7	5	= 5*102 + 7*101 + 5*100 = 57510
Число в 2 с/с			1	0	0	1	1	= 1*24	+ 1*21	+ 1*20 = 1910
Число в 8 с/с						3	7	= 3*81	+ 7*80	= 3110
Для системы счисления с основанием Р максимальная цифра в одном
разряде равна Р-1.

Основание с/с (Р)	Максимальная цифра (Р-1)
2	1
8	7
10	9
16	15 = F

42

Максимальное целое число, которое может быть представлено в k разрядах: Nmax = Pk - 1

Система		Nmax		Разряды (K = 4)
счисления (Р)			3		2	1	0
10	104	-1 = 999910	9		9	9	9
2	24 – 1 = 1510		1		1	1	1
8	84 -1 = 409610		7		7	7	7
16	164	– 1 = 6553510	F		F	F	F

Любая позиционная система счисления дает более компактную запись числа по сравнению с двоичной, например 2516 = 3710 = 458 = 1001012.

Чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

Внимание! Во всех заданиях данной лабораторной работы варианты с 1 по 15 соответствуют порядковым номерам в списке группы. Начиная с 16 номера в списке, вариант выбирается по формуле: порядковый номер в списке минус 15.

БЛОК ОСНОВНЫХ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЕ 1. ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Во всех заданиях вместо символа х в записи числа подставить свой порядковый номер в списке группы. Например, запись числа 2х и порядковый номер в списке 17 дают число 217.

Переводы, связанные с восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления, выполняются непосредственно без промежуточного перевода в двоичную систему.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. Перевести число 2х10 в двоичную систему счисления.

2. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
10000	10001	10010	10100	11000
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
11100	11010	11001	10110	10101
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
10011	11110	10111	11011	11101

3. Проверить ответ на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1. Перевести число 2х10 в восьмеричную систему счисления.

43

2. Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
11	12	13	14	15
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
21	31	41	51	61
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
23	34	45	56	67

3. Проверить ответ на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

1. Перевести число 2х10 в шестнадцатеричную систему счисления.

2. Перевести число из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
А1	В2	С3	D4	E5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
2A	3B	4C	5D	6E
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
2F	F4	FF	15	99

3. Проверить ответ на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную основан на представлении числа в форме:

Ap = an-1*pn-1 + an-2*pn-2 + … + a0*p0 + a-1*p-1 + a-m*p-m,

где А – само число, p – основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления, n – количество разрядов целой части числа, m – количество разрядов дробной части числа.

Правило перевода целого числа из системы с основанием p в

систему с основанием d. Делить число и получаемые частные на основание системы d до тех пор, пока очередное частное не станет меньше d.

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную

10112 = 1110 2 — основание двоичной системы счисления

- 10	5 2
	4 2 2

12 1 1

0

44

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную

1568 = 11010 8 — основание восьмеричной системы счисления

- 104 13 8

8 1

5

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную

6Е16 = 11010 16 — основание шестнадцатеричной системы счисления

96 6

14 (число 14 соответствует шестнадцатеричной цифре Е)

ЗАДАНИЕ 2. СВЕРТКА ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить свертку целого числа из двоичной системы счисления в восьмеричную по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1110000	1110001	1110010	1110100	1111000
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
1111100	1111010	1111001	1110110	1110101
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1110011	1111110	1110111	1111011	1111101

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить свертку целого числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
111000011	111000111	111001011	111010011	111100011
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
111110011	111101011	111100111	111011011	111010111
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
111001111	111111011	111011111	111101111	111110111

ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить свертку дробного числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
0,111000011	0,111000111	0,111001011	0,111010011	0,111100011
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
0,111110011	0,111101011	0,111100111	0,111011011	0,111010111
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
0,111001111	0,111111011	0,111011111	0,111101111	0,111110111
		45

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Свертка представляет собой более компактный способ записи числа. Реализуется заменой группы двоичных цифр на цифру-эквивалент из другой системы счисления.

Ввосьмеричной системе счисления каждая цифра соответствует трем двоичным разрядам (8 = 23) – триаде.

Вшестнадцатеричной системе счисления каждая цифра соответствует четырем двоичным разрядам (16 = 24) – тетраде.

Для целой части числа разбивка на триады и тетрады выполняется справа налево, для дробной части — слева направо.

ЗАДАНИЕ 3. ДВОИЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить двоичное кодирование восьмеричного числа по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
11	12	13	14	15
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
21	31	41	51	61
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
23	34	45	56	67

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить двоичное кодирование шестнадцатеричного числа по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
А1	В2	С3	D4	E5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
2A	3B	4C	5D	6E
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
2F	F4	FF	158	907

ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить двоичное кодирование десятичного числа по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
10	32	43	54	65
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
20	71	81	91	42
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
30	84	58	69	87

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Двоичное кодирование представляет процедуру, обратную свертке. Каждая цифра в исходной системе счисления заменяется двоичным эквивалентом. Количества разрядов в двоичном коде должно быть достаточно

46

для представления всех цифр исходного числа. Для восьмеричной системы счисления используются 3 разряда, для десятичной и шестнадцатеричной – 4.

ЗАДАНИЕ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить сложение чисел в двоичной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
101 + 11	101 + 101	100 + 110	100 + 10	110 + 11
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
110 + 10	111 + 10	111 + 11	101 + 1	111 + 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
100 + 100	111 + 101	110 + 110	11 + 11	10 + 10

2. Выполнить сложение чисел в восьмеричной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
11 + 7	12 + 7	13 + 7	14 + 7	15 + 7
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
22 + 6	23 + 5	24 + 4	25 + 3	26 + 2
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
77 + 1	77 + 2	77 + 3	77 + 4	77 + 5

3. Выполнить сложение чисел в шестнадцатеричной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
А1 + 9	В2 + 8	С3 + 7	D4 + 6	E5 + 5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
2A + 1	3B + 1	4C + 1	5D + 1	6E + 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
2F + А	F4 + А	FF + А	15 + А	99 + А

4. Проверить ответы на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить вычитание чисел в двоичной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1101 - 11	1101 - 10	1100 – 11	1100 - 10	1110 - 1001
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
1110 - 11	1110 - 10	1011 - 100	1010 - 1	1110 - 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1100 - 10	1110 - 101	1010 + 110	1010 - 11	1011 - 10

2. Выполнить вычитание чисел в восьмеричной системе счисления по варианту.

47

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
11 - 7	12 - 7	13 - 7	14 - 7	15 - 7
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
22 - 6	23 - 5	23 - 4	22 - 3	21 - 2
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
76 - 7	75 - 6	71 - 3	72 - 4	70 - 5

3. Выполнить вычитание чисел в шестнадцатеричной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
А1 - 9	В2 - 8	С3 - 7	D4 - 6	E5 - 5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
2A - 1	3B - 1	4C - 1	5D - 1	6E - 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
2F - А	F4 - А	FF - А	15 - А	99 - А

4. Проверить ответы на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ

1. Выполнить умножение чисел в двоичной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
101 * 11	101 * 101	100 * 110	100 * 10	110 * 11
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
110 * 10	111 * 10	111 * 11	101 * 1	111 * 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
100 * 100	111 * 101	110 * 110	11 * 11	10 * 10

2. Выполнить умножение чисел в восьмеричной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
11 * 7	12 * 7	13 * 7	14 * 7	15 * 7
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
22 * 6	23 * 5	24 * 4	25 * 3	26 * 2
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
77 * 1	77 * 2	77 * 3	77 * 4	77 * 5

3. Выполнить умножение чисел в шестнадцатеричной системе счисления по варианту.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
А1 * 9	В2 * 8	С3 * 7	D4 * 6	E5 * 5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
2A * 1	3B * 1	4C * 1	5D * 1	6E * 1
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
2F * А	F4 * А	FF * А	15 * А	99 * А

4. Проверить ответы на инженерном калькуляторе (Пуск, Программы,

Стандартные, Калькулятор).

48

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления

1 + 0 = 1	1 - 1 = 0		1 * 0 = 0
0 + 1 = 1	1 - 0 = 1		0 * 1 = 0
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0		0 * 0 = 0
1 + 1 = 2, но так как в 2	0 - 1 = 11		1 * 1 = 1
с/с нет такой цифры, то делим	Где 1 – единица заема
результат на основание с/с, то	из разряда слева.
есть 2/2 и получаем 10.
Где 1 – единица	Например, 1000 - 1
переноса в разряд слева.	Во	втором и	третьем
	разрядах имеем 1 единицу
	заема, а в четвертом
	разряде – основание с/с, то
	есть	2, из	которого
	вычитается 1

0112 - 1 = 0111 = 111

Правила выполнения арифметических действий в восьмеричной системе счисления

7 + 0 = 7		7 - 7 = 0		7 * 0 = 0
0 + 7 = 7		7 - 0 = 7		0 * 7 = 0
0 + 0 = 0		0 - 0 = 0		0 * 0 = 0
7 + 1 = 8, но так как в 8		0 - 7 = 71		1 * 7 = 7
с/с нет цифры 8, то делим		Где 7 – заем из разряда
результат на основание с/с, то		слева.
есть 8/8 и получаем 10.
Где	1 – единица
переноса в	соседний слева	Например, 1000 - 7
разряд.		Во	втором	и третьем
		разрядах имеем 7 единиц
		заема, а в четвертом
		разряде – основание с/с, то
		есть	8, из	которого
		вычитается 7
		0778 - 7 = 0771 = 771

49

Правила выполнения арифметических действий в шестнадцатеричной системе счисления

	F + 0 = F				F - F = 0	F * 0 = 0
	0 + F = F				F - 0 = F	0 * F = 0
	0 + 0 = 0				0 - 0 = 0	0 * 0 = 0
	F + 1 = 16, но так как в				0 - F = F1	1 * F = F
16 с/с нет цифры 16, то делим					Где F – заем из разряда
результат на основание с/с, то					слева.
есть 16/16 и получаем 10.
	Где		1	– единица	Например, 1000 - F
переноса		в	соседний слева		Во втором и третьем
разряд.					разрядах имеем F единиц
					заема, а в четвертом
					разряде – основание с/с, то
					есть 16, из которого
					вычитается F
					0FF16 - F = 0FF1 = FF1
	Умножение и деление в двоичной системе счисления
11100101, 01 = 229, 2510					40510 = 1100 1010 1 | 10011 = 1910
×	101, 1 = 5, 510				− 1001 1	10101 = 2110
					частное
1110010101
+	1110010101				11001
1110010101					− 10011
10011101100, 111 = 1260, 87510					11001
					− 10011
					110 = 610 остаток
			Умножение и деление в восьмеричной системе счисления
		345, 28		= 229, 2510	40510 = 6258 238 = 1910
	×		5, 48 = 5, 510		–	258 = 2110
					468
		162508
	+	217228			1458
					−
		2354, 78 = 1260, 875 10			1378
					68

50