Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

 

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

 

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

 

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

 

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

 

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

 

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

 

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и, в другую часть уравнения - только функции от,. Затем в полученномдифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Пример 2 - решить дифференциальное уравнение

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Пример 3 - решить дифференциальное уравнение

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: