Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. - Вычислительные методы линейной алгебры

Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

6

Глава I. Основные сведения из линейной алгебры

7

§ 1. Матрицы

7

§ 2. Матрицы специального вида

33

§ 3. Аксиомы линейного пространства

41

§ 4. Базис и координаты

45

§ 5. Подпространства

50

§ 6. Линейные операторы

58

§ 7. Каноническая форма Жордана

71

§ 8. Строение инвариантных подпространств

85

§ 9. Ортогональность векторов и подпространств

87

§ 10. Линейные операторы в унитарном пространстве и эвклидовом

94

пространстве

§ 11. Самосопряженный оператор

99

§ 12. Квадратичные формы

111

§ 13. Понятие предела в линейной алгебре

117

§ 14. Градиент функционала

134

Глава II. Точные методы решения систем линейных уравнений

137

§ 15. Обусловленность матриц

138

§ 16. Метод Гаусса

147

§ 17. Вычисление определителей

157

§ 18. Компактные схемы для решения неоднородной линейной системы

160

§ 19. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители

162

§ 20. Метод квадратных корней

165

§ 21. Обращение матрицы

168

§ 22. Задача исключения

172

§ 23. Исправление элементов обратной матрицы

182

§ 24, Обращение матрицы при помощи разбиения на клетки

184

§ 25. Метод окаймления

187

§ 26. Эскалаторный метод

192

§ 27. Метод Перселла

195

§ 28. Метод пополнения для обращения матрицы

198

Глава III. Итерационные методы решения Систем линейных

204

уравнений

§ 29. Принципы построения итерационных процессов

204

§ 30. Метод последовательных приближений

207

§ 31. Подготовка системы линейных уравнений к виду, удобному для

214

применения метода последовательных приближений. Метод простой

итерации

§ 32. Одношаговый циклический процесс

220

§ 33. Метод П. А. Некрасова

226

§ 34. Методы полной релаксации

230

§ 35. Неполная релаксация

232

§ 36. Исследование итерационных методов для систем с

237

квазитрехдиагональными матрицами

§ 37. Теорема сходимости

244

§ 38. Управление релаксацией

248

§ 39. Релаксация по длине вектора невязки

253

§ 40. Групповая релаксация

254

Глава IV. Полная проблема собственных значений

257

§ 41. Устойчивость проблемы собственных значений

259

§ 42. Метод А. Н. Крылова

263

§ 43. Определение собственных векторов по методу А. Н. Крылова

271

§ 44. Метод Хессенберга

273

§ 45. Метод Самуэльсона

280

§ 46. Метод А. М. Данилевского

285

§ 47. Метод Леверье и видоизменение Д. К. Фаддеева

295

§ 48. Эскалаторный метод

300

§ 49. Метод интерполяции

308

§ 50. Метод ортогонализации последовательных итераций

314

§ 51. Преобразование симметричной матрицы к трехдиагональному виду

317

посредством вращений

§ 52. Уточнение полной проблемы собственных значений

324

Глава V. Частичная проблема собственных значений

328

§ 53. Определение наибольшего по модулю собственного значения

329

матрицы при помощи последовательных итераций

§ 54. Ускорение сходимости степенного метода

346

§ 55. Модификации степенного метода

352

§ 56. Применение степенного метода к отысканию нескольких собственных

355

значений

§ 57. Ступенчатый степенной метод

358

§ 58. Метод λ-разности

367

§ 59. Метод исчерпывания

370

§ 60. Метод понижения

375

§ 61. Координатная релаксация

378

§ 62. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему

386

собственного вектора

Глава VI. Метод минимальных итераций и другие методы, основанные

392

на идее ортогонализации

§ 63. Метод минимальных итераций

392

§ 64. Биортогональный алгорифм

404

§ 65. Метод A-минимальных итераций

416

§ 66. A-биортогональный алгорифм

425

§ 67. Двучленные формулы метода минимальных итераций и

427

биортогонального алгорифма

§ 68. Методы сопряженных направлений и их общие свойства

433

§ 69. Некоторые методы сопряженных направлений

437

Глава VII. Градиентные итерационные методы

455

§ 70. Метод наискорейшего спуска для решения линейных систем

456

§ 71. Градиентный метод с минимальными невязками

465

§ 72. Градиентные методы с неполной релаксацией

466

§ 73. s-шаговые градиентные методы наискорейшего спуска

472

§ 74. Определение алгебраически наибольшего собственного значения

480

симметричной матрицы и принадлежащего ему собственного вектора

градиентными методами

§ 75. Решение частичной проблемы собственных значений с помощью

494

полиномов Ланцоша

§ 76. s-шаговый метод наискорейшего спуска

498

Глава VIII. Итерационные методы для решения полной проблемы

508

собственных значений

§ 77. Алгорифм деления и вычитания

508

§ 78. Треугольный степенной метод

524

§ 79. LR-алгорифм

530

§ 80. ΛP-алгорифм

533

§ 81. Итерационные процессы, основанные на применении вращений

536

§ 82. Решение полной проблемы собственных значений при помощи

547

спектрального анализа последовательных итераций

Глава IX. Универсальные алгорифмы

553

§ 83. Общая идея подавления компонент

554

§ 84. Прием Л. А. Люстерника для ускорения сходимости метода

557

последовательных приближений при решении системы линейных

уравнений

§ 85. Подавление компонент при помощи полиномов низших степеней

559

§ 86. Различные формы проведения универсальных алгорифмов

563

§ 87. Универсальный алгорифм, наилучший в смысле первого критерия

567

§ 88. Универсальный алгорифм, наилучший в смысле второго критерия

570

§ 89. Прием А. А. Абрамова для ускорения сходимости метода

572

последовательных приближений при решении систем линейных

уравнений

§ 90. BT-процессы

574

§ 91. Общие трехчленные итерационные процессы

577

§ 92. Универсальный алгорифм Ланцоша

582

§ 93. Универсальные алгорифмы, наилучшие в среднем

586

§ 94. Метод подавления компонент в комплексной области

589

§ 95. Применение конформного отображения к решению линейных систем

591

§ 96. Примеры s-универсальных алгорифмов

599

§ 97.

Метод конформного отображения в применении к неподготовленной

603

системе

§ 98.

Применение идеи подавления компонент к решению частичной

609

проблемы собственных значений

§ 99.

Применение конформного отображения к решению частичной

610

проблемы собственных значений

Заключение

612

Дополнение

615

Литература

617

Дополнительная литература

654