Методичка Статистика

6) Коэффициент осцилляции

Ko = 2149,3 100 = 52,24% 4114,33

7) Относительное линейное отклонение

Vd = 420,43 100 =10,22% 4114,33

Проверим правило сложения дисперсий. Для этого нам потребуется использовать данные таблиц 3.3 и 3.5.

Для начала необходимо рассчитать внутригрупповые дисперсии, и составить вспомогательную таблицу для их расчета (табл. 7.2).

Расчет внутригрупповых дисперсий по таблице 3.5 и формуле 7.4.

Таблица 7.2 – Расчет внутригрупповых показателей

	Группы		Количество	Объем	Внутри-
	предприятий по	№			групповая
			предприятий	производства,		(xi − xср)2	∑ (xi − xср)2
	объему	предприятия	в группе	тыс. т (xi )	средняя
	производства				(xср)
	2982-3412	14	2	2982	3161,05	32058,90	64117,81
		6		3340,1		32058,90
	3412-3842	5	2	3631,1	3539,00	8482,41	16964,82
		15		3446,9		8482,41
		4		4037,6		0,38
		7		3973,8		4149,51
	3842-4272	10	6	4251,7	4038,22	45575,13	72503,91
		11		3887,4		22745,67
		12		4043,3		25,84
		13		4035,5		7,38
	4272-4702	3	2	4295,2	4355,45	3630,06	7260,13
		9		4415,7		3630,06
		1		5131,3		41738,49
	4702-5132	2	3	4759,3	4927,00	28123,29	71201,34
		8		4890,4		1339,56
	Итого:		15	61121,3	-	-	232048,00

Для расчета средней из внутригрупповых дисперсий используем значение «итого» из последнего столбика таблицы 7.2, которое имеет формульное выражение ∑σ2i·fi – то есть является числителем формулы 7.12.

σ i2 = 232048,00 =15469,87 15

Для расчета межгрупповой дисперсии построим вспомогательную таблицу 7.3 используем для расчетов общее среднее арифметическое простое значение объема

производства x = 4074,743 тыс т, рассчитанное ранее (табл. 6.1).

Таблица 7.3 – Расчет межгрупповой дисперсии

41

Группы	Количество
предприятий по															2
	предприятий в																2
объему					xi − x				(xi − x)							(xi − x) fi
	группе
производства
2982-3412	2		-913,70						834847,69							1669695,38
3412-3842	2		-535,75						287028,06							574056,13
3842-4272	6		-36,53						1334,68							8008,11
4272-4702	2		280,70						78792,49							157584,98
4702-5132	3		852,25						726330,06							2178990,19
Итого:	15								-							4588334,78
		δ 2 =		4588334,78						= 305888,98
			15

Для проверки правила сложения дисперсий необходимо рассчитать общую дисперсию по невзвешенной формуле 7.4. Для этого построим вспомогательную таблицу 7.4.

Таблица 7.4 – Расчет дисперсии по несгруппированным данным

№	Объем производства,
		x − x			(x − x)2
предприятия	тыс. т (xi)	i			i
1	5131,3	1056,55			1116290,86
2	4759,3	684,55			468604,14
3	4295,2	220,45			48596,73
4	4037,6	-37,15			1380,37
5	3631,1	-443,65			196828,28
6	3340,1	-734,65			539715,52
7	3973,8	-100,95			10191,58
8	4890,4	815,65			665279,48
9	4415,7	340,95			116244,63
10	4251,7	176,95			31310,12
11	3887,4	-187,35			35101,27
12	4043,3	-31,45			989,31
13	4035,5	-39,25			1540,82
14	2982	-1092,75			1194109,85
15	3446,9	-627,85			394199,81
Итого:	61121,3				4820382,78

42

σ 2 = 4820382,78 = 321358,85 15

Проверим правило сложения дисперсий, согласно которому общие дисперсии, рассчитанные по формулам 7.4 и 7.11, должны быть одинаковыми.

σ общ2 = 305888,98 +15469,87 = 321358,21

321358,85=321358,85

Расчет показателей вариации характеризует данную совокупность, как однородную. Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия рассчитанная по несгруппированным данным равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий. Отклонения значения общей дисперсии, рассчитанной по взвешенной формуле от правила сложения дисперсий обусловлено округлениями в промежуточных расчетах и использованием разных значений общих средних величин признака-фактора.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.

Определите по имеющимся данным средний стаж работников предприятия и показатели вариации.

№	Стаж	_	_
работника	работников	| хi – x |	(xi – x)²
	xi
1	1
2	2
3	3
4	4
5	9
6	10
7	12
8	13
9	15
10	5
Итого

Задача 2.

Рассчитайте средний расход сырья на одно изделие и показатели вариации.

Расход		Кол –во	Середина		_	_	_
сырья,		изделий	интервала,	xi fi	|xi – x |	(xi – x)²	(xi – x)²fi
кг		fi	кг xi
80	-100	5
100	- 120	8
120	- 140	7
140	- 160	10
Итого

43

Задача 3

Рассчитайте показатели вариации, характеризующие товарооборот магазинов и сделайте выводы.

Товарообо-		Число
	рот,	магазинов
тыс. руб.
40	– 50	2
50	– 60	4
60	– 70	7
80	– 90	15
90	– 100	20
100 – 110		22
110 – 120		11
120 – 130		6
130 – 140		3
Итого

44

8. Расчет параметров линейного уравнения регрессии

Контрольные вопросы по теоретическому материалу:

8.1 Пример решения и оформления типовой задачи

Задачи для самостоятельного решения:

45

9. Выборочное наблюдение

Контрольные вопросы по теоретическому материалу:

1.Что такое выборочное наблюдение?

2.Что такое ошибка репрезентативности?

3.Какие существуют способы отбора единиц совокупности?

4.Чем отличаются повторный и бесповторный методы отбора?

5.Что такое доверительный интервал для средней величины?

6.Что такое генеральная совокупность?

7.Что такое выборочная совокупность?

8.Как определить предельную ошибку выборки?

9.Как определить коэффициент кратности средней ошибки выборки t?

10.От чего зависит величина коэффициента кратности средней ошибки выборки t?

11.Что такое малая выборка?

12.Какие задачи позволяют решать формулы расчета предельной ошибки выборки?

Генеральная совокупность – это совокупность, из которой производится отбор единиц совокупности.

Выборочная совокупность (выборка) – часть генеральной совокупности, с достаточной степенью точности позволяющая охарактеризовать последнюю основными средними величинами и показателями вариации.

Ошибка выборки – это объективно возникающее различие между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей, определяемая при помощи элементов теории вероятностей. В расчете ошибки выборки выделяют два этапа: расчет средней ошибки выборки и расчет предельной ошибки выборки (табл.8.2).

Ошибка репрезентативности – это расхождение между выборочной характеристикой и характеристикой генеральной совокупности.

Существуют два вида ошибок репрезентативности: систематические и случайные. Средняя (стандартная) ошибка выборки представляет собой такое расхождение между

~

− X ) , которое не превышает ±σ .

средними выборочной и генеральной совокупностей ( X

Предельная ошибка выборки – максимально возможное расхождение выборочной и

~

− X ) − максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

генеральной средних ( X

О величине предельной ошибки можно судить с определенной вероятностью, на

величину которой указывает коэффициент доверия t (табл. 8.1).

Таблица 8. 1 – Значения коэффициента доверия

t

1,0

1,96

2,0

2,58

3,0

F (t) или P

0,683

0,950

0,954

0,990

0,997

Таблица 8.2 – Формулы для расчета ошибок выборки и генеральных характеристик

Показатели

При определении средней

При определении доли

величины

Повторный

Средняя

x

=

S 2

p

=

w(1 − w)

способ отбора

ошибка

n

n

46

Предельная

S

2

w(1 − w)

x = t x = t

p = t p = t

ошибка

n

n

Средняя

S

2

(1 − n )

w(1 − w) (1 − n )

x =

p =

Бесповторный

ошибка

n

N

n

N

способ отбора

Предельная

2

w(1 − w) (1 − n )

x = t x

= t

S

(1 − n )

p = t

ошибка

n

N

n

N

Доверительный интервал

~

~

+

w −

≤ p ≤ w +

x −

x

≤ x ≤ x

x

p

p

Повторный

n =

t 2

S 2

n =

t 2 w(1 − w)

способ отбора

2

2

Численность

x

p

выборки

Бесповторный

n =

t

2

N S

2

n =

t

2

N w(1 − w)

способ отбора

2

N + t 2

S 2

2

N + t 2 w(1 − w)

x

p

где S2 – дисперсия выборочной совокупности; w – выборочная доля;

p – генеральная доля;

n – объем выборочной совокупности; N – объем генеральной совокупности; t – коэффициент доверия

~ – средняя величина выборочной совокупности; x

x – средняя величина генеральной совокупности.

В случаях, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную дисперсию доли w(1–w) =0,25.

9.1 Пример решения и оформления типовой задачи

На основании данных таблицы 3.6, при условии, что представленная совокупность является результатом 15%-ной случайной бесповторной выборки, определить:

-доверительный интервал для средней величины объема производства в генеральной совокупности с вероятностью 0,95;

-доверительный интервал для доли предприятий, чей объем производства превышает средний с вероятностью 0,954.

Для определения доверительного интервала необходимо произвести расчет средней и предельной ошибок выборки при бесповторном отборе (табл. 8.2).

Все необходимые для расчетов значения были определены ранее (табл. 7.4). Тогда средняя ошибка выборки равна:

x = 321358,85 (1 − 0,15) = 134,94 тыс т

15

При вероятности возникновения ошибки равной 0,95 коэффициент доверия составляет t(0,95) = 1,96 . Значит, предельная ошибка выборки примет значение:

x = 1,96 134,94 = 264,49 тыс т

Доверительный интервал для средней величины объема производства в генеральной совокупности составит:

4074,75 − 264,49 ≤ x ≤ 4074,75 + 264,49

3810,26 ≤ x ≤ 4339,24

Таким образом, с вероятностью 0,95, средний объем производства 100 металлургических предприятий будет не меньше 3810,26 тыс т и не превысит 4339,24 тыс т

47

Для построения доверительного интервала для доли предприятий необходимо определить выборочную долю – w. В данном случае это доля предприятий, объем производства которых больше 4074,75 тыс т (больше среднего). По данным таблицы 3.3 таких предприятий 6,

тогда w =6/15 = 0,4.

Произведем расчет средней и предельной ошибок выборки:

p	=	0,4(1 − 0,4)		(1 − 0,15) = 0,116
		15
		p = 2 0,1166 = 0,233
Тогда доверительный интервал для доли составит:
	0,4 − 0,233		≤ p ≤		0,4 + 0,233
		0,168	≤ p ≤		0,633

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий генеральной совокупности чей объем производства будет выше среднего составит не меньше 16,8% и не превысит 63,3%.

Задачи для самостоятельного решения:

48

10. Ряды динамики

Контрольные вопросы по теоретическому материалу:

10.1 Пример решения и оформления типовой задачи

Задачи для самостоятельного решения:

49

11. Экономические индексы

Контрольные вопросы по теоретическому материалу:

11.1 Пример решения и оформления типовой задачи

Задачи для самостоятельного решения:

50