Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

Тесты математические для электронного экзамена

61

ТМ1.4 Если два тела движутся навстречу друг другу с относительной скоростью vотн = 100 км/ч и скорость одного из них v1 = 64 км/ч,

то скорость v2 второго тела
1) 5 м/с	2) 10 м/с	3) 36 м/с	4) 164 м/с	5) 164 к/ч

ТМ1.5 Плоское заднее стекло автомобиля наклонено под углом α = 60° к горизонту. Капли дождя падают вертикально относительно Земли и перестают попадать на стекло, если скорость автомобиля превышает vа = 25 м/с. Скорость капель vк относительно Земли

1) 12,5 м/с 2) 14,5 м/с 3) 21,7 м/с 4) 25,0 м/с 5) 43,3 м/с ТМ1.6 На боковом стекле неподвижного троллейбуса капли дождя

оставляют следы, наклоненные под углом α = 30° к вертикали. При движении троллейбуса со скоростью vт = 9,6 м/с следы капель стано-

вятся	вертикальными. Скорость vк капель относительно Земли
1) 4,8	м/с	2) 8,4 м/с 3) 9,6 м/с	4) 16,6 м/с	5) 19,2 м/с

ТМ1.7 В каком направлении движется тело, на которое действуют три равные силы по 40 Н каждая, лежащие в одной плоскости и

направленные под углом α = 120° друг к другу?
1) вверх	2)	вниз	3) тело неподвижно
4) вправо	5)	влево
ТМ1.8 Если на тело действуют силы FG1 и FG2 (F1 = F2 = 20 Н), угол
между ними α = 120°, то модуль результирующей силы, действую-
щей на тело,
1) 20 Н	2)	30 Н	3) 40 Н	4) 50 Н	5) 60 Н G
ТМ1.9 Если на тело действуют две равные по модулю силы F1 и
FG2 , угол между ними α = 20°, а результирующая сила, действующая
на тело, 39,4 Н, то модуль силы FG2
1) 20 Н	2)	30 Н	3) 40 Н	4) 50 Н	5) 60 Н

ТМ1.10 Если тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 10 м/с по окружности, то модуль изменения импульса тела при прохождении шестой части окружности

1) 0	кг · м	2) 10	кг · м	3) 14	кг · м	4) 20	кг · м	5) 30	кг · м
	с		с		с		с		с

ТМ1.11 Если тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 10 м/с по окружности, то изменение модуля импульса тела при прохождении шестой части окружности равно

1) 0	кг · м	2) 10	кг · м	3) 14	кг · м	4) 20	кг · м	5) 30	кг · м
	с		с		с		с		с

62	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
	ТМ1.12 Если тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 10 м/с

по окружности, то модуль изменения скорости тела при прохожде-

нии половины окружности равен
1) 0 м/с	2) 5 м/с	3) 10 м/с		4) 15 м/с	5) 20 м/с
ТМ1.13 Если тело массой m = 1			кг движется со скоростью v = 10 м/с

по окружности, то модуль изменения скорости тела при прохожде-

нии окружности равен
1) 0 м/с	2) 5 м/с	3) 10 м/с	4) 15 м/с	5) 20 м/с

Векторное произведение

ТМ1.14 Прямой проводник с током помещен в одно-
родное магнитное поле перпендикулярно линиям магнит-
ной индукции В (см. рисунок). Как направлена сила Ампе-
ра, действующая на проводник, если ток течет вверх?
1) вверх	2) вправо	3) вниз	4) влево
5) по направлению вектора В
ТМ1.15 Прямой проводник с током помещен в одно-
родное магнитное поле перпендикулярно линиям магнит-
ной индукции В (см. рисунок). Как направлена сила Ампе-
ра, действующая на проводник, если ток течет вниз?
1) вверх	2) вправо	3) вниз	4) влево

5) по направлению вектора В

ТМ1.16 Линейный проводник длиной l = 60 см при силе тока в нем I = 3 А находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Если проводник расположен по направлению линий индукции магнитного поля, то на него действует сила Ампера, модуль

которой равен
1)	0,18 Н	2)	18,00 Н	3)	2 Н	4)	0,30 Н	5) 0 Н
	ТМ1.17 Сила Ампера, действующая на
проводник с током, расположенный в маг-
нитном поле, как показано на рисунке, име-
ет направление
1)	1	2)	2	3)	3	4)	4
5) равна нулю

ТМ1.18 Ток по проводнику идет с запада на восток. Сила, с которой магнитное поле Земли (вектор индукции направлен вверх от Земли) действует на проводник, направлена

Тесты математические для электронного экзамена

63

1) вертикально вниз к Земле 2) вертикально вверх от Земли

3) на юг 4) на север 5) на запад

ТМ1.19 Укажите направление момента импульса секундной стрелки относительно точки закрепления стрелки (стрелка движется).

Дифференциальное исчисление

ТМ2.1 Если тело движется со скоростью, определяемой уравнением v (t) = 3t 2, м/с, то ускорение тела к концу второй секунды равно 1) 4 м/с2 2) 8 м/с2 3) 10 м/с2 4) 12 м/с2 5) 16 м/с2

ТМ2.2 Если зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид S (t) = 6 – 5t + t 2 + 0,3t 3, м, то после начала движения ускоре-

ние тела будет составлять 20 м/с2 через
1) 8 с	2) 9 с	3) 10 с	4) 11 с	5) 12 с

ТМ2.3 Если уравнение движения тела имеет вид S (t ) = А – Вt + + Сt 2 + Dt 3, где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2, D = 1 м/с3, то в интервале времени от t1 = 1 с до t2 = 4 с средняя скорость тела составляла 1) 20 м/с 2) 22 м/с 3) 24 м/с 4) 26 м/с 5) 28 м/с

ТМ2.4 Если зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S (t ) = А — Вt + Сt 2 + Dt 3, где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2, D = 1 м/с3, то в интервале времени от t1 = 1 с до t2 = 4 с

среднее ускорение тела равно
1) 18 м/с2	2) 19 м/с2 3) 20 м/с2	4) 21 м/с2	5) 22 м/с2

ТМ2.5 Если зависимости координаты от времени при движении двух материальных точек имеют вид х1 (t ) = A1t + В1t 2 + С1t 3 и х2 (t ) = = А2t + В2t 2 + С2t 3, где В1 = 4 м/с2, С1 = −3 м/с3, В2 = −2 м/с2, С2 = 1 м/с3, то ускорения этих точек будут равны в момент времени 1) 0,1 с 2) 0,2 с 3) 0,3 с 4) 0,4 с 5) 0,5 с

ТМ2.6 Если зависимость пройденного телом пути S от времени имеет вид S (t ) = А — Вt 2 + Ct 3, где А = 2 м, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3, то

скорость тела через 2 с после начала движения
1) 31 м/с	2) 32 м/с	3) 33 м/с	4) 34 м/с	5) 36 м/с

ТМ2.7 Если зависимость пройденного телом пути S от времени дается уравнением S = А – Вt 2 + Ct 3, где А = 2 м, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3,

то ускорение тела через 2 с после начала движения
1) 41 м/с2	2) 42 м/с2 3) 43 м/с2	4) 44 м/с2	5) 45 м/с2

64 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

ТМ2.8 Если радиус-вектор материальной точки изменяется со вре-
менем по закону rG(t ) = 4t iG + 5 Gj – 7t 3 kG	, м, то модуль вектора уско-
рения точки в момент времени t = 5 c равен
1) 200 м/с2 2) 205 м/с2 3) 210 м/с2	4) 215 м/с2 5) 220 м/с2

ТМ2.9 Если радиусG -Gвектор материальной точки зависит от времени как rG(t ) = t 3 i + 3t j, м, то в момент времени t = 1 c модуль век-

тора скорости равен
1) 6,0 м/с	2) 6,1 м/с 3) 6,3 м/с	4) 6,5 м/с	5) 6,7 м/с

ТМ2.10 Зависимость радиус-вектора материальной точки от вре-
мени имеет вид rG(t ) = t 3 iG		+ 3t 2 Gj, м. Определить для момента време-
ни t = 1 c модуль вектора ускорения.
1) 8,5 м/с2	2) 8,4 м/с2	3) 8,3 м/с2	4) 8,2 м/с2	5) 8,1 м/с2

ТМ2.11 Если радиус-вектор материальнойG точки изменяется со временем по закону rG(t) = 4t 2 iG + 3t Gj + 2 k , м, то модуль вектора ско-

рости в момент времени t = 2 c равен
1) 16,1 м/с	2) 16,3 м/с	3) 16,5 м/с	4) 16,7 м/с	5) 16,9 м/с
ТМ2.12 Если радиус-вектор тела изменяется по закону rG(t ) =
= αt 2 iG + β cos(πt ) Gj, где α = 2 м/с2, β = 2 м, то модуль вектора скоро-
сти тела в момент времени t = 2 с равен
1) 5 м/с	2) 6 м/с	3) 7 м/с	4) 8 м/с	5) 9 м/с

ТМ2.13 Если уравнения движения материальных точек имеют вид x1 (t ) = A1 + B1t + C1t 2 и x2 (t) = A2 + B2t + C2t 2, где В1 = –2 м/с, В2 = 5 м/с, С1= 2 м/с2 и С2= –4 м/с2, то ускорения в момент времени, когда скорости тел равны, составляют 1) 2 и 4 м/с2 2) 4 и 6 м/с2 3) 6 и 8 м/с2 4) 8 и 12 м/с2 5) 4 и 8 м/с2

ТМ2.14 Точка вращается согласно уравнению ϕ(t ) = 6t 2 + 7t – 12, рад. Угловая скорость ω тела в момент времени t = 2 с равна (угловой скоростью ω называется первая производная угла поворота ϕ по времени t )

1) 27 рад/с 2) 28 рад/с 3) 29 рад/с 4) 30 рад/с 5) 31 рад/с ТМ2.15 Паучок бегает согласно уравнению ϕ(t ) = cost – sint, рад.

Его угловое ускорение ε через секунду от начала движения равна (угловым ускорением ε называется вторая производная угла поворота ϕ

по времени t )
1) 0,10 рад/с2	2) 0,15 рад/с2	3) 0,20 рад/с2	4) 0,25 рад/с2
5) 0,30 рад/с2

5) 4 рад/с2

4) 6 рад/с2

Тесты математические для электронного экзамена

65

ТМ2.16 Если точка движется по окружности согласно уравнению ϕ(t ) = 2,667t 3 – 1 – lnt, рад, то ее угловое ускорение ε в момент остановки.

1) 12 рад/с2 2) 10 рад/с2 3) 8 рад/с2

Интегральное исчисление

ТМ3.1 Если тело движется со скоростью, определяемой уравнением V (t ) = 3t 2, м/с, то между второй и четвертой секундами движе-

ния тело прошло путь
1) 52 м	2) 53 м	3) 54 м	4) 55 м	5) 56 м

ТМ3.2 УскорениеG G материальнойG G точки изменяется со временем по закону a (t ) = t i + t 2 j – 5 k . Если в момент времени t = 0 скорость точки v (0) = 0 и радиус-вектор r (0) = 0, то компоненты век-

тора скорости
1) {t 2/2, t 3/3, –5t }		2) {t 2, t 3, –5t }	3) {t, t 2, –5}
4){0, 0, –5}	5){1, 1, 0}

ТМ3.3 УскорениеG материальнойG точки изменяется со временем по закону aG(t ) = αt 2 i + βt 2 j , где α = 3 м/с4, β = 3 м/с2. На каком рас-

стоянии от начала координат она находится в момент времени t = 1 с,

если при t = 0 v (0) = 0		и r (0) = 0?
1) 0,1 м	2) 0,25 м	3) 0,35 м	4) 0,45 м	5) 0,6 м

ТМ3.4 Если колесо радиусом R = 10 м вращается согласно уравнению ω(t ) = 6t – sint, рад/с, то угол поворота ϕ колеса за время t = 2

секунды после начала движения.
1) 9 рад	2) 11 рад	3) 13 рад	4) 15 рад	5) 17 рад

ТМ3.5 Если диск радиусом R = 1 см вращается согласно уравнению ε(t ) = 3 + 8t – 13sint, рад/с2, то нормальное ускорение an диска для момента времени t = 1 с

1) 1,5 м/с2 2) 2,0 м/с2 3) 2,5 м/с2 4) 3,0 м/с2 5) 3,5 м/с2 ТМ3.6 Если шар радиусом R = 50 см вращается согласно уравне-

нию ω(t ) = –5t + lnt, рад/с, то угол поворота ϕ шара за время t = 4 се-

кунды после начала движения
1) 29,5 рад 2) 31 рад	3) 33,5 рад 4) 36 рад	5) 38,5 рад

ТМ3.7 Если тело радиусом R = 1 см вращается согласно уравнению ε(t ) = 9t – 13cost, рад/с2, то нормальное ускорение an тела в момент времени t = 10 с

1) 1,5 м/с2 2) 2,0 м/с2 3) 2,5 м/с2 4) 3,0 м/с2 5) 3,5 м/с2

66 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

ТМ3.8 Если цилиндр радиусом R = 1 м вращается согласно уравнению ω(t ) = 2t – sint, рад/с, то угол поворота ϕ колеса за 2 секунды

от начала движения.
1) 9 рад	2) 11 рад	3) 13 рад	4) 15 рад	5) 17 рад

ТМ3.9 Если маховик радиусом R = 1 м вращается согласно уравнению ε(t ) = 4t + 3cost, рад/с2, то нормальное ускорение an маховика в момент времени t = 7 с

1) 1,5 м/с2 2) 2,0 м/с2 3) 2,5 м/с2 4) 3,0 м/с2 5) 3,5 м/с2 ТМ3.10 Если вал радиусом R = 10 м вращается согласно уравне-

нию ω(t ) = 6t + cost, рад/с, то угол поворота ϕ вала через 3 секунды

после начала движения
1) 9 рад	2) 11 рад	3) 13 рад	4) 15 рад	5) 17 рад
ТМ3.11 Если диск радиусом R = 1 см вращается согласно уравне-

нию ε(t ) = 3 + 8t — 13sint, рад/с2, то нормальное ускорение an диска для момента времени t = 3 с равно

1) 1,5 м/с2 2) 2,0 м/с2 3) 2,5 м/с2 4) 3,0 м/с2 5) 3,5 м/с2

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Сложение и вычитание векторов, длина вектора

М1.1

Найти модуль напряженности Е поля двух точечных зарядов q1 = 1 нКл и q2 = 2 q1 в точке, равноотстоящей от зарядов. Расстояние между зарядами, а также между каждым зарядом и точкой L = 1 м.

М1.2
Вектор ускорения тела меняется со временем по закону aG(t ) = 6t iG +
+ 4 Gj − 2 kG	, м/с2, где t — время; iG,		Gj, kG — орты координатных осей.
Найти зависимость модуля ускорения от времени а (t ).
М1.3
Вектор скорости тела меняется со временем по закону vG (t ) = 6 iG +
+ 4 Gj − t 3 kG, м/с, где t — время; iG,			Gj, kG — орты координатных осей.
Найти зависимость модуля скорости от времени v (t ).
М1.4
Вектор скорости тела меняется со временем по закону vG (t ) = 5 iG +
G	G	G	G	G
+ 6 j − 12t 2 k		, м/с, где t — время; i ,	j	, k — орты координатных осей.

Найти модуль скорости в момент времени t = 4 с.

Задачи для контрольных работ

67

М1.5 G G G

Найти угол α между силой F = 4i + 7tj + 2tk, Н, действующей на

тело, и осью OY в момент времени t = 2 с.
М1.6	G	G	G	G
Найти угол α между импульсом p = 8i − 6tj				+ 3tk, действующим на
тело, и осью OZ в момент времени t = 3 с.
М1.7
Найти модуль силы FG = 4tiG+ 3cos tjG, Н, действующей на тело, в
момент времени t = 1 с.
М1.8	G	G	G	G
Найти модуль импульса тела p =		4i +	7tj + 2tk в начальный мо-

мент времени.

Скалярное и векторное произведение векторов

М1.9

Длины векторов а = 3 м и b =G 4 м, угол между ними α = 90°. Найти скалярное произведение aG b векторов.

М1.10

Длины векторов а = 2 м иG b = 1 м, векторы параллельны. Найти скалярное произведение aG b векторов.

М1.11

Длины векторов а = 2 м и b = 5 м, векторыGпротивоположно направлены. Найти скалярное произведение aG b векторов.

М1.12

Длины векторов а = 2 м и b =G 1 м, угол между ними α = 60°. Найти скалярное произведение aG b векторов.

М1.13

Длины векторов а = 3 м и b = 4 м, уголGмежду ними α = 90°. Найти модуль векторного произведения [aG, b ].

М1.14

Длины векторов а = 2 м и b = 1 м, векторыG параллельны. Найти модуль их векторного произведения [aG, b ].

М1.15

Длины векторов а = 2 м и b = 5 м, векторы противоположноG направлены. Найти модуль векторного произведения [aG, b ].

68	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

М1.16

Длины двух векторов 3 м, уголG между ними α = 60°. Найти модуль векторного произведения [aG, b ].

М1.17			1 = {3, 2, 1}, aG
Найти длины векторов aG					2 = {2, –3, 0} и их скаляр-
	G	G
ное произведение a		b .
М1.18				1 = {–2, 1, 2} и aG
Найти угол α между векторами aG						2 = {–2, –2, 1}.
М1.19	= 2 Н. Длина вектора перемещения S = 2 м. СилаKFK
Модуль силы FK
действует под углом α = 60° к перемещению. Найти работу А силы F .
М1.20
Модуль вектора силы FK			= 10 Н. Длина вектора перемещения
S = 6 м. Сила FK действует под углом α = 90° к перемещению. Най-
ти работу А силы FK .
М1.21
Модуль вектора силы FK			= 5 Н. Длина вектора перемещения
S = 4 м. Сила FK действует под углом α = 180° к перемещению. Най-
ти работу А силы FK .
М1.22
Модуль вектора силы FK			= 30 Н. Длина вектора перемещения
S = 10 м. Сила FK	действует вдоль направления перемещения тела.
Найти работу А силы FK .

М1.23

Человек тянет сани, прикладывая силу F = 1000 Н под углом α= 30° к горизонту. Под действием этой силы сани перемещаютсяG горизонтально со скоростью v = 5 м/с. Найти мощность P силы F .

М1.24

Автомобиль развил силу тяги F = 5000G Н и движется со скоростью v = 40 м/с. Найти мощность P силы F .

М1.25

Кабина лифта массой m = 5000 кг равномерно поднялась на высоту h = 30 м. Найти работу силы тяги AF электромотора и силы тяжести Amg на этом перемещении. Найти работу, совершаемую этими силами при аналогичном перемещении кабины вниз.

Задачи для контрольных работ

69

М1.26

Автомобиль пытается въехать на гору с уклоном α= 5°, но равномерно съезжает вниз со скоростью v = 2 м/с. Найти мощность P силы тяги, если масса автомобиля m = 1000 кг, коэффициент трения μ = 0,01.

М1.27
Найти поток Ф вектора магнитной индукции BG	однородного

поля Земли величиной В = 10–5 Тл, пронизывающий рамку радиусом R = 1 см,G если: а) плоскость рамки совпадает с направлением силовыхG линий B ; б) плоскость рамки перпендикулярна силовым линиям B .

Дифференциальное исчисление

М2.1

Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по за-

G G G

кону r (t ) = 4t 3Gi + lnt j + 4t 3 k, м. Найти зависимость скорости точки от времени v (t).

М2.2

Скорость материальнойG точки меняется со временем по закону rG (t ) = 2t 2 iG + t Gj + t 3 k , м. Найти зависимость модуля скорости от времени v (t).

М2.3

Радиус-вектор материальнойG точки меняется со временем по закону rG (t ) = 4t 3 iG + lnt Gj + 4 t 3 k , м. Найти зависимость модуля ускорения от времени a (t ).

М2.4

Радиус-вектор материальной точки зависит от времени как rG (t ) =G4t iG + Gj + t 2 k, м. Найти зависимость ускорения точки от времени a (t ).

М2.5 G

Радиус-векторG тела меняется со временем по закону rG (t) = 4t3 i + + lnt Gj + 5t k, м. Найти значение скорости тела v в момент времени t = 2 с от начала движения.

М2.6 G

Радиус-векторG тела меняется со временем по закону rG (t ) = –3t i + + sint Gj + 4t 3 k , м. Найти ускорение тела в момент времени t = 7 с от начала движения.

70	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

М2.7

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению q (t ) = 0,02 sin2πt, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени

t= 1/6 с.

М2.8

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению

q(t ) = 0,02 cos2πt, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени t = 2 с.

М2.9

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению

q(t ) = –7 sinπt, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени t = 20 с.

М2.10

Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со време-

нем по закону Ф(t) = 4sin π2 , Вб. Найти эдс индукции, возникающую

в рамке в момент времени t = 8 с.

М2.11

Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со време-

нем по закону Ф(t) = 8 sin π, Вб. Найти максимальную эдс индукции, возникающую в рамке. 4

Интегральное исчисление

М3.1

Известно, что скоростьG тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью vG0, без учетаG сопротивленияG воздуха,G меняется со временем по закону v (t ) = v0 + g t, где t − время, g − ускорение свободного падения. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через время t0 от момента броска?

М3.2

При гармонических колебаниях точки зависимость ее скорости

		2π	2πt		+ ϕ
	от времени имеет вид v (t ) =		cos			0 (t − время, T − период
		T		T

колебаний, ϕ0 − начальная фаза). Найти положение точки в момент времени t2, если известно, что в момент времени t1 она находилась в точке с координатой x = x1.