4 Погрешности измерений

4.1 Истинные и действительные значения физических величин. Погрешность измерения. Причины возникновения погрешностей измерений

При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений.

Истинные значения физических величин - это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств измерений и являются той абсолютной истиной, к которой стремятся при измерениях.

Напротив, результаты измерений являются продуктами познания. Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные в результате измерений, они зависят от метода измерений, от средств измерений и других факторов.

Погрешностью измерения называется разница между результатом измерения х и истинным значением Q измеряемой величины:

Δ= x – Q (4.1)

Но поскольку истинное значение Q измеряемой величины неизвестно, то для определения погрешности измерения в формулу (4.1) вместо истинного значения подставляют так называемое действительное значение.

Под действительным значением измеряемой величины понимается ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Причинами возникновения погрешностей являются: несовершенство методов измерений, средств измерений и органов чувств наблюдателя. В отдельную группу следует объединить причины, связанные с влиянием условий проведения измерений. Последние проявляются двояко. С одной стороны, все физические величины, играющие какую-либо роль при проведении измерений, в той или иной степени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних условий изменяются истинные значения измеряемых величин. С другой стороны, условия проведения измерений влияют и на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешностей измерений.

4.2 Классификация погрешностей измерений в зависимости от характера их изменения

Описанные причины возникновения погрешностей являются совокупностью большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность измерения. Их можно объединить в две основные группы.

К первой группе можно отнести факторы, проявляющиеся нерегулярно и неожиданно исчезающие или проявляющиеся с интенсивностью, которую трудно предвидеть. К ним относятся, например, малые флуктуации влияющих величин (температуры, давления окружающей среды и т.п.). Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, возникающая под действием факторов этой группы, определяет случайную погрешность измерения.

Таким образом, случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

При создании средств измерений и организации процесса измерения в целом интенсивность проявления факторов, определяющих случайную погрешность измерения, удается свести к общему уровню, так что все они влияют более или менее одинаково на формирование случайной погрешности. Однако некоторые из них, например, внезапное падение напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом измерительного эксперимента. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются грубыми. К ним тесно примыкают промахи - погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов.

Ко второй группе можно отнести факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента, например, плавные изменения влияющих величин. Составляющая суммарной погрешности изме­рения, возникающая под действием факторов этой группы, определяет система­тическую погрешность измерения.

Таким образом, систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

В процессе измерения описанные составляющие погрешности проявляются одновременно, и суммарную погрешность можно представить в виде суммы

, (4.2)

где - случайная,a Δ_s - систематическая погрешности.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей обработкой опытных данных. Поэтому большое значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т.е. времени A (t). Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:

Δ₁ = Δ(t₁), Δ₂ = Δ(t₂),..., Δ _n = Δ(t_n).

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t_i. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале. В серии экспериментов, состоящих из ряда многократных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии при тех же значениях величин, характеризующих факторы второй группы, неизбежно получаем новую реализацию, отличающуюся от первой. Реализации отличаются друг от друга из-за влияния факторов первой группы, а факторы второй группы, одинаково проявляющиеся при получении каждой реализации, придают им некоторые общие черты (рисунок 4.1).

Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени t_i, на­зывается сечением случайной функции Δ(t). В каждом сечении можно найти среднее значение погрешности Δ_s(t_i), относительно которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом точки Δ_s(t_i) провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени. Нетрудно заметить, что средние значения Δ_s(tj) определяются действием факторов второй группы и представляют собой систематическую погрешность измерения в момент времени t_i, а отклонения Δ_j(t_j) от среднего значения в сечении t_i, соответствующие j-й реализации, дают значение случайной погрешности. Таким образом, имеет место равенство

(4.3)

Рисунок 4.1

Предположим, что Δ_s(t_i) = 0, т.е. систематические погрешности тем или иным способом исключены из результатов наблюдений, и будем рассматривать только случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении. Предположим, что случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении не дает нам никакой дополнительной информации о значении, принимаемом этой реализацией в любом сечении, и что все теоретико-вероятностные особенности случайных погрешностей, являющихся значениями одной реализации во всех сечениях, совпадают между собой. Тогда случайную погрешность можно рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных наблюдений одной и той же физической величины – как результаты независимых наблюдений над ней.

В таких условиях случайная погрешность измерений определяется как разность между исправленным результатом измерения Х_И (результатом, не содержащем систематическую погрешность) и истинным значением Q измеряемой величины:

Δ = X_И–Q 4.4)

причем исправленным будет результат измерений, из которого будут исключены систематические погрешности.

Подобные данные получают обычно при поверке средств измерений путем измерения заранее известных величин. При проведении же измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому неясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при обработке результатов наблюдений методы математической статистики, имеющие дело именно со случайными величинами.

4.3 Классификация погрешностей измерений в зависимости от причин их возникновения

В зависимости от причин возникновения различают следующие группы погрешностей: методические, инструментальные, внешние и субъективные.

Во многих методах измерений можно обнаружить методическую погрешность, являющуюся следствием тех или иных допущений и упрощений, применения эмпирических формул и функциональных зависимостей. В некоторых случаях влияние таких допущений оказывается незначительным, т.е. намного меньше, чем допускаемые погрешности измерений; в других случаях оно превышает эти погрешности.

Примером методических погрешностей являются погрешности метода измерений электрического сопротивления при помощи амперметра и вольтметра (рисунок 4.2). Если сопротивление R_x определять по формуле закона Ома R_x =U_v/I_a, где U_v - падение напряжения, измеренное вольтметром V; I_а - сила тока, измеренная амперметром А, то в обоих случаях будут допущены методические погрешности измерений.

На рисунке 4.2,а сила тока I_а, измеренная амперметром, будет больше силы тока в сопротивлении R_x на значение силы тока I_v в вольтметре, включаемом параллельно сопротивлению. Сопротивление R_x, вычисленное с помощью приведенной формулы, окажется меньше действительного. На рисунке 4.2,6 напряжение, измеренное вольтметром V, окажется больше падения напряжения U_r в сопротивлении R_x на значение U_a (падение напряжения на сопротивлении амперметра А). Сопротивление, вычисленное по формуле закона Ома, окажется больше сопротивления R_x на значение R_a (сопротивление амперметра). Поправки в обоих случаях можно легко вычислить, если знать сопротивление вольтметра и амперметра. Поправки можно не вносить в том случае, если они значительно меньше допускаемой погрешности измерения сопротивления R_x, например, если в первом случае сопротивление вольтметра значительно б

б)

ольшеR_x, а во втором случае R_a значительно меньше R_x.

а)

Рисунок 4.2

Другим примером появления методической погрешности является измерение объема тел, форма которых принимается геометрически правильной, путем измерения размеров в одном или в недостаточном числе мест, например, измерение объема помещения путем измерения длины, ширины и высоты только в трех направлениях. Для точного определения объема следовало бы определить длину и ширину помещения по каждой стене, вверху и внизу, измерить высоту по углам и в середине и, наконец, углы между стенами. Этот пример иллюстрирует возможность появления существенной методической погрешности при не­обоснованном упрощении метода.

Как правило, методическая погрешность является систематической погрешностью.

Инструментальная погрешность — это составляющая погрешности из-за несовершенства средств измерений. Классическим примером такой погрешно­сти является погрешность измерительного прибора, вызванная неточной гра­дуировкой его шкалы. Очень важно четко разграничивать погрешности измере­ний и инструментальные погрешности. Несовершенство средств измерений яв­ляется лишь одним из источников погрешности измерения и определяет только одну из ее составляющих − инструментальную погрешность. В свою очередь инструментальная погрешность является суммарной, составляющие которой − погрешности функциональных узлов − могут быть как систематическими, так и случайными.

Внешняя погрешность — составляющая погрешности измерения, вызывае­мая отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области (например, влияние температуры, внешних электрических и магнитных полей, механических воздействий и т.п.). Как правило, внешние погрешности определяются дополнительными погрешностями применяемых средств измерений и являются систематическими. Однако при нестабильности влияющих величин они могут стать случайными.

Субъективная (личная) погрешность обусловлена индивидуальными особенностями экспериментатора и может быть как систематической, так и случайной. При применении современных цифровых средств измерений субъективной погрешностью можно пренебречь. Однако при отсчете показаний стрелочных приборов такие погрешности могут быть и значительными из-за неправильного отсчета десятых долей деления шкалы, асимметрии, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками, и т.п. Например, погрешности, которые делает экспериментатор при оценивании десятых долей деления шкалы прибора, могут достигать 0,1 деления. Эти погрешности проявляются в том, что для разных десятых долей деления разным экспериментаторам свойственны различные частоты оценок, причем каждый экспериментатор сохраняет присущее ему распределение в течение длительного времени. Так, один экспериментатор чаще, чем следует, относит показания к линиям, обра­зующим края деления, и к значению 0,5 деления. Другой - к значениям 0,4 и 0,6 деления. Третий предпочитает значения 0,2 и 0,8 деления и т.д. В целом, имея в виду случайного экспериментатора, распределение погрешностей отсчитывания десятых долей деления можно считать равномерным с границами ±0,1 деления.

4.4 Формы представления погрешности измерения. Точность измерений

Погрешность измерения может быть представлена в форме абсолютной погрешности, выражаемой в единицах измеряемой величины и определяемой по формуле (4.1), или относительной погрешности, определяемой как отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

δ = Δ/Q. (4.5)

В случае выражения случайной погрешности в процентах, отношение Δ/Q умножается на 100 %. Кроме того, в формуле (4.5) допускается вместо истинного значения Q использовать результат измерения х.

Широко применяется также понятие точность измерений − характеристика, отражающая близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Другими словами, высокая точность соответствует малым погрешностям измерений. Поэтому количественно точность измерений можно оценить величиной, обратной модулю относительной погрешности

ε = 1/|δ|. (4.6)