N=8 / N=8

Контрольная работа по математике 2012-13 уч. год, N=8.

1) Найти множество	A , если A 4; 24 8	8		;12		32		;16
		; 32 \	3				3		.

Пересечение 4; 24 8; 32 8; 24

8		;12		32		;16		8		;16
Объединение	3				3				3

Разность	8		;16		16 ; 24
	A 8; 24 \	3

Ответ: A 16 ; 24 .

2) Докажите эквивалентность множеств A и B , если A 0; 8 , B 1; 25 .

Если каждому элементу множества A можно по некоторому правилу поставить в соответствие один и только один элемент множества B и, наоборот, каждому элементу множества B можно по некоторому правилу поставить в соответствие один и только один элемент множества A , то говорят, что между элементами множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие. В этом случае множества A и B называют эквивалентными и записывают A B .

Установим, например, линейное соответствие между данными промежутками (соединим точки C 0;1 и D 8; 25 прямой линией).

	x xC									y yC
	x D xC									y D yC
	x 0						y 1
	8	0				25 1
	x			y 1
	8				24
	x		y 1
	1
					3

1

y 1 3x y 3x 1

Если промежуток A 0; 8 изобразим в координатной плоскости на оси абцисс, а промежуток B 1; 25 -

на оси ординат, то между ними будет взаимно однозначное соответствие, описываемое например линейной зависимостью y 3x 1. Следовательно, соответствующие им числовые множества эквивалентны: A B .

3) Найдите:

8x 2 7 x 1

а)

lim

;

x 2 6x

5

x 1

x

x sin

8

б)

lim

.

x 0

sin2 8x

а)

8x 2 7 x 1

x 1 8x 1

0

8x 1

8 1

9

2, 25

lim

lim

lim

x

2

6x 5

0

x 1 x 5

x 5

1 5

4

x 1

x 1

x 1

- неопределённость вида 0

0

устранена разложением числителя и знаменателя алгебраической дроби на

множители с последующим сокращением множителя, обуславливающего неопределённость.

б)

x

sin

8

lim

x

x

x

x 0

x sin

0

1

sin

8x

2

1

1

1

1

8

8

8

lim

lim

2

0

512

x

512

2

512

2

512

x 0

sin

8x

x 0

sin 8x

sin 8x

1

lim

8

8x

x 0

- неопределённость вида 00 устранена применением первого замечательного предела.

4) Найдите производную функцию

y

x 8

x

ln x

cos 8x .

sin x

7

x 8

x

y

ln x cos 8x

7

sin x

8

8

x

sin x x

x

sin x

x

ln x

ln x sin 8x 8x 0

sin 2 x

7

7

8x7

sin x x 8 cos x

1

ln x

x

1

8 sin 8x

x7

8 sin x x cos x

1

ln x

1

8 sin 8x

sin 2 x

7

7

x

sin 2 x

7

7

x7

8 sin x x cos x 1

1 ln x 8 sin 8x

sin 2

x

7

2

	5) Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции y	x 2		.
		8	x

Границами интервалов монотонности являются критические точки функции. Поэтому ищем критические точки. Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Область определения функции: D y R \ 8 .

	x 2				8 x x 2 8 x		2x 8 x x 2 1		16x x 2
				x 2
y
					8 x 2		8 x 2		8	x 2
	8 x

y 0

16x x 2 0 x 16 x 0 x1 0

x2 16

y не существует при x 8 .

Посмотрим на поведение функции в промежутках между критическими точками:

x

; 0

0

0 ; 8

8

8 ; 16

16

16 ;

y

0

+

н.с.

+

0

y

0

н.с.

36

(min)

(max)

(н.с. -

не существует; - интервал убывания; - интервал возрастания)

Функция монотонно убывает на промежутке x ; 0 16 ;

и монотонно возрастает на промежутке x 0; 8 8;16 .

Функция имеет минимум y 0 0

и максимум y 16 32 (точки экстремумов).

6) Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y sin 8x и осью Ox ( 0 x 8 ).

Эскиз фигуры:

3

		8				1		8					1
															8
	S			sin 8x dx					sin 8x d 8x					cos 8x
					8								8
		0						0							0
		1	cos cos 0						1	1 1	1	(кв. ед.)
		8							8		4

7) Вычислите:

а) 8x sin x dx ;

8x dx

б) x 2 1 .

а)

	u 8x
8x sin x dx	du 8dx		uv vdu 8x cos x 8 cos x dx
	dv sin x dx
	v cos x

8x cos x 8 sin x C 8 sin x x cos x C

-применён метод интегрирования по частям.

б)						d x22 1
		8x dx			8		4 ln		x 2 1		C 4 ln x 2 1 C
		2			2
		x 1				x 1

- применён метод подведения под знак дифференциала.

8) Найдите область определения функции

z	8 y
	x 2 y 2 16x 6 y 7

Область определения функции определяется условием x 2 y 2 16x 6 y 7 0

Выделим полные квадраты каждой переменной: x 2 y 2 16x 6 y 7

x 2 2 x 8 8 2 64 y 2 2 y 3 3 2 9 7 0

x 8 2 y 3 2 80

Геометрически область определения функции D z есть вся числовая плоскость, за исключением круга с центром 8; 3 и радиусом r 4 5 8, 9 :

D z x , y | x 8 2 y 3 2 80 .

4

9) Найти z x

и

z y , где

z sin

x

e x y 8 ln x

2 1

3

.

y

x

8 y

Вычисляем первые производные функции двух переменных z x, y :

z

x

3

z x

e x y 8 ln x 2

1

sin

x

y

x 8 y

x

x

1

e x y y 8

1

2x

3

1

cos

y

x

2 1

x 8 y

2

y

1

cos

x

y e x y

16x

3

y

x 2 1

x

9 y

2

y

z

x

3

z y

e x y 8 ln x 2

1

sin

y

y

x 8 y

y

x

x

x y

3

cos

e

x 0

8

y

2

x 8 y

2

y

x

x

e x y

24

cos

x

y

2

x 8 y

2

y

5

10) Найти точки экстремума функции
z				x 2			7 xy 2 xy 1 .
					8
					x			2												2x					x
zx										7 xy				2 xy 1							7 y 2 y 0					7 y 2 y
						8														8				4
																	x
					x			2
zy										7 xy				2 xy 1					0 7 x 2 y x 0 14xy x
						8												y
Находим стационарные точки:
z					0
		x
					0
zy
	x				7 y					2		y		0
		4
		14xy x 0
x					1	0
	y1 0
	x				1	0
	y1 1 7
	x				1	1 7
	y1 1 14
Найдены три стационарные точки P																				0	; 0 , P	0;	1			и P	1	;	1		; проверим их на соответствие
																			1		2		7			3			14
																											7
достаточному условию наличия экстремумов в данных точках.
										x					2				1
													7 y			y
A zxx												4							4
																x
												x
															2
													7 y			y		14 y 1
B zxy												4
																y

Czyy 14xy x y 14x

Вточке P1 0; 0 :

A 14 0

B 1

C 0

		A B				1 4	1		1 0
		B C				1	0

Поскольку 0 , то в данной точке экстремума нет.

6

Вточке P2 0; 1 :

7 A 14 0

B 1
C 0
		A B										1 4	1				1 0
		B			C							1	0
Поскольку 0 , то в данной точке экстремума нет.
В точке P		1			;			1		:
3
		7					14
A 1			4 0
B 0
C 2
		A B										1 4	0			1 0
		B			C							0	2			2
			1				1											A 0							1		1			391
- в точке P3				;								минимум, т.к.						0	. Значение функции в этой точке z							;					.
			7																						7		14			392
						14
																			1		1		391
Ответ: функция имеет локальный минимум z																				;				.
																					14		392
																			7
11) Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y	y		x 8				,					y 1 1 .
	x												7

- это линейное ДУ 1-го порядка y p x y q x . Его решение можно найти методом Бернулли (замена y uv ) или методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Используем для решения метод Бернулли.

Введём замену				y u v , тогда y							:
									u v u v
				1		8
u v u v			x u v x
		1					8			1
u v		x		v	u v x

Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль; т.е. v 1x v 0

dv					1 v
dx					x
dv			dx
v					x
ln			v		ln		x		2
v x

7

Перепишем (1) с учётом (2): u v x 8

u x x 8 dudx x7 du x7 dx

u x 8 C

8

Возвращаясь к замене y u v , получим:

	x 8			x - общее решение ДУ.
	y u v		C
		8

Используя начальные условия y 1 71 , находим константу C :

1 C 1 18 7

C 71 81 561

и

y x 8		1			x	- частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
		7
				8

12) Найдите общее решение дифференциального уравнения y y 56 y 8x .

- линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения yˆ соответствующего

однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения: y yˆ y* .

► Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

y y 56 y 0

Характеристическое уравнение k 2 k 56 0 имеет корни действительные и различные k1 8 , k2 7 .

Следовательно, общее решение однородного уравнения yˆ C1 e 8x C2 e7 x

► В случае, если правая часть ДУ с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное

решение y* неоднородного уравнения может быть найдено более простым способом: методом неопределённых коэффициентов.

8

Правая часть ДУ имеет вид

f x Pn x e x

поэтому частное решение ищем в виде y* x r Qn x e x

где r – число, равное кратности как корня характеристического уравнения, n - порядок многочлена Pn x ,

Qn x - многочлен степени n , записанный с неопределёнными коэффициентами,

т.е.

y* x 0 Ax B e 0 x Ax B

Тогда

y* A

y* 0

Подставив y* , y* , y* в исходное уравнение, получим

0 A 56 Ax B 8x

A 56 Ax 56B 8x

x 56 A A 56B 8x

и вычислим коэффициенты A и B :

56 A 8			A 1 7
	A 56B 0
			B 1 392

Частное решение данного уравнения имеет вид y* 71 x 3921

и, cледовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид y yˆ y* C1 e 8x C2 e7 x 7x 3921

9