M-031 / M-031, N=8

Контрольная работа M-031, часть 2, N=8. Тема: аналитическая геометрия.

	1) На оси Oz			A 1;1; 8 ,
		найти точку C , для которой вектор AB	ортогонален вектору BC , где
	B 2; 1;1 .

Точка C расположена на оси Oz , поэтому её координаты C 0; 0; zC . Условием ортогональности векторов

является равенство нулю их скалярного произведения, поэтому:
			2 1 ; 1 1 ; 1 8 0 2 ; 0 1 ; zC 1 1; 2; 7 2;1; z C 1
AB BC
1 2 2 1 7 zC 1 2 2 7 zC 7 3 7 zC 0
Откуда получаем
zC	3 .
и		7
			3
C	0	; 0;
			7
Ответ: C		0; 0; 3		.
			7

2) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p 8a 3b

и q 15a b , где

a

3 ,

b

2 и угол между векторами a и b равен 60 .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах p

и q , можно вычислить как модуль их векторного

произведения:

S

p q

Вычисляем векторное произведение векторов:

p q 8a 3b 15a b 120a a 8a b 45b a 3b b

120 a a 8 a b 45 a b 3 b b 120 0 37 a b 3 0 37 a b

-т.к. a a 0 , b b 0 , a b b a .

Следовательно, площадь параллелограмма
S 37 a b 37		a				b		sin 60 37 3 2	3	111 3 (кв. ед.)
									2
Ответ: Sпар. 111 3 кв. ед.

1

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 1; 8 , перпендикулярной отрезку AB , где

A 8;1 , B 2;7 .

Обозначим искомую прямую a . Общее уравнение прямой имеет вид Ax By C 0 , где коэффициенты A и B можно рассматривать как координаты нормали прямой.

Используем в качестве нормали прямой a вектор AB 2 8 ; 7 1 10;6 и запишем уравнение

прямой как

10x 6 y C 0 .

Свободный член C найдём, располагая координатами точки M0 1; 8 :

10 1 6 8 C 0

C 58

и окончательно

10x 6 y 58 0 - общее уравнение прямой a .

4) Составить уравнение плоскости, содержащей прямую

x 1 y 1 z 2 8 1 9

ипараллельной прямой

xy 2 z

9 2 8 .

Обозначим первую данную прямую a , вторую данную прямую b , искомую плоскость . Заметим, что

прямые a и b неколлинеарны (не параллельны и не совпадают). Нормальный вектор плоскости найдём
как векторное произведение направляющих векторов прямых a и b :
i	j	k	i 8 18 j 64 81 k 16 9
n s a sb 8	1	9
9	2	8

10i 17 j 7k 10;17 ;7

Прямая a проходит, в частности, через точку A 1; 1; 2 . Таким образом, уравнение плоскости - уравнение плоскости, проходящей через точку A и имеющей нормальный вектор n 10;17 ;7 :

10 x 1 17 y 1 7 z 2 0

10x 10 17 y 17 7 z 14 0

10x 17 y 7 z 13 0

10x 17 y 7 z 13 0 - общее уравнение плоскости .

2

Тема: линейная алгебра.

									1										3			1		0
									0		B 5				9 ,					8		8		4
5) Вычислите AB 3C , где							A			,				3				C							.
									8											1		0		9
									1											5		1		1
	1								1 5		1 3			1 9				5				3	9
		0		5 3					0 5		0 3			0 9					0			0	0
A B							9
		8							8 5		8 3			8 9					40		24 72
		1							1 5		1 3			1 9					5		3			9
			5 3				9			3 1			0			5 3						9			9 3 0
				0 0			0				8 8		4					0 0				0			24 24 12
AB 3C									3
				40	24		72				1	0	9				40		24			72			3 0 27
				5	3		9				5 1		1				5		3			9			15 3 3
				5 9			3 3			9 0			4					0	9
			0 24			0 24			0 12					24			24		12
			40 3			24 0			72 27					37				24	45
			5 15			3 3			9 3					20			6		6

Вычисление в Mathcad 16:

6) Решите систему линейных уравнений

16x y 98x y 8

а) по формуле Крамера; б) матричным способом.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде

A X B ,

a11		a12		16		1
где основная матрица системы A a		a			8	1
	21	22

x

вектор неизвестных X y

9

вектор правых частей системы B 8

3

а)

Решим неоднородную систему A X B по формулам Крамера. Вычисляем главный определитель:

		A				16	1		16 1 8 1 8 0 .
						8	1

Определители i , полученные из определителя основной матрицы заменой i -го столбца столбиком свободных членов:

x		9	1		1,	y		16	9		56
		8	1					8	8

Находим решение по формулам Крамера:

x		x	1	,	y	y		56	7
			8					8

Выполним проверку найденного решения подстановкой в исходное уравнение:

	16 1 7 9
			8			- верно
	8	1		7		8
		8
Ответ:	x		1		,	y 7 .
			8

б)

Матричный способ. Решение ищем в виде X A 1 B , где

обратная матрица A 1													A*			;
													A
	A* - союзная (присоединённая) матрица;
	A				- определитель матрицы A .
Вычислим определитель матрицы A :
			A					16	1	16 1 8 1 8							0
								8	1

Союзная (присоединённая) матрица - это транспонированная матрица алгебраических дополнений Ai j

элементов ai j

матрицы A :

A

A

T

A

A

A*

11

A

12

A

11

A

21

A

21

12

22

22

Вычисляем алгебраические дополнения матрицы A :

A11 1 1 1

a 22

1

A12 1 1 2

a 21

8

A21 1 2 1

a12

1

A22 1 2 2

a11

16

4

Запишем союзную (присоединённую) матрицу:

A11				A21							1	1
A*
		A12		A22							8	16
и вычислим обратную матрицу
	*					1				1	1
A 1		A
		det A			8					8	16
Находим решение:									1		1		9				1 9 1 8					1		1 8
X A 1 B					1										1					1
										8	16						8 9 16 8					56			7
					8										8					8
													8
Ответ: X	x			1 8
					7				.
	y

Решение системы в Mathcad 16:

7) Найдите общее решение системы линейных уравнений

x1 2x2 x3 8x4 8x1 3x2 2x3 8x4 12x1 x2 x4 6

4x1 2x2 x3 x4 1

Определение. Равенства, выражающие базисные переменные через свободные, называются общим решением системы.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы r A r A .

Теорема.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных r A n , то система имеет единственное решение (система определённая).

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных r A n , то система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённая).

► Исследуем совместность системы, опираясь на теорему Кронекера-Капелли. Найдём ранги основной и расширенной матрицы системы. Чтобы не выполнять двойной работы, преобразуем сразу расширенную матрицу системы к упрощенному виду (методом Гаусса):

	1		2	1	8	8			1		2	1	8	8			5		0	1	8 22
		1	3	2	8	1				0	5	3	16	9				0	5	3	16 9
		2	1 0		1	6				0	5	2	17	22				0	0	1	1	13
		4	2	1	1	1				0	10 5		33	31				0	0	1	1	13

5

5 0			1 8		22		5 0			0	7	9
	0	5 3		16	9			0	5 0		19	48
	0	0	1	1	13			0	0	1 1		13

Из последней матрицы видим, что ранги основной и расширенной системы равны r A r A 3 ,

следовательно, система совместна. Так как число неизвестных n 4 , то r A n , и значит система уравнений неопределённа, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

► Решение системы.

Полученную ранее упрощенную матрицу системы запишем в виде системы:

5x1 7 x4 9

5x2 19x4 48

x3 x4 13

Пусть свободная переменная x4 ; выразив главные (базисные) переменные x1 , x 2 и x3 через свободную переменную, получим общее решение системы:

x1 1, 8 1, 4x4x2 9,6 3, 8x4

x3 13 x4

Система имеет бесконечно много решений.

Решение системы в Mathcad 16:

Тема: теория вероятностей.

8) В урне имеется 8 белых и 15 черных шаров. Из урны извлекают 3 шара одновременно.

а) Какова вероятность того, что среди извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных ?

б) Найдите закон распределения случайной величины X , где X - число белых шаров среди извлечённых.

Обозначим события:

Ai - среди вынутых из урны наугад трёх шаров обнаружено i белых шаров;

A- извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных.

►Для начала найдём закон распределения случайной величины X .

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 3 шара из 23, т.е. n C 233 - числу сочетаний из 23 элементов по 3.

6

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, например, для случая обнаружения двух белых шаров среди трёх извлечённых из урны (среди трёх шаров 2 белых и 1 чёрный) определим, используя

правило произведения в комбинаторике: m C 82 C151 - из находящихся в урне 8-ми белых шаров необходимо выбрать 2 шара, при этом из 15-ти чёрных шаров необходимо выбрать 1.

По формуле классического определения вероятности:

	P A2					m		C 82 C151											8!			15!				3! 23 3 !
						n												2! 8 2 !				1! 15 1 !
									C 233																		23!
		8!			15!				3! 20!								7 8 15					2 3		4	15			1			4 15		60	0, 237
		2! 6!			1! 14!															21 22 23							11	23		11 23			253
									23!										2					1
	Вероятность обнаружения 0 белых шаров среди трёх вынутых из урны
	P A0					C	80 C		153					65					0, 257
							C 233						253
	вероятность обнаружения 1-го белого шара среди трёх вынутых из урны
	P A1				C 81 C152								120						0, 474
							C 233						253
	вероятность обнаружения 2-х белых шаров среди трёх вынутых из урны
	P A2					C	82 C		151					60					0, 237
							C 233						253
	вероятность обнаружения 3-х белых шаров среди трёх вынутых из урны
	P A3					C	83 C		150					8					0, 032
							C 233						253

Заметим, что события A0 , A1 , A2 , A3 составляют полную группу событий:

25365 120253 25360 2538 1

► Запишем закон распределения случайной величины X - числа белых шаров среди трёх извлечённых случайным образом из урны (закон распределения дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называется рядом распределения):

xi	0	1	2	3
pi	65/253	120/253	60/253	8/253

► Какова вероятность того, что среди извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных ? События Ai несовместны, поэтому к их вероятностям применима теорема сложения вероятностей:

P A P A2 P A3 25360 2538 25368 0, 269

7

9) Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить их строя независимо друг от друга с вероятностями 0.8, 0.9, 0.5 соответственно. Стало известно, что из строя вышел один станок. Какова вероятность, что это был первый станок ?

Обозначим событие:

A - станок выходит из строя.

Сформулируем гипотезы:

H1 - из строя вышел 1-й станок, P H1 13 ; H2 - из строя вышел 2-й станок, P H2 13 ; H3 - из строя вышел 3-й станок, P H3 13 .

Условные вероятности:

P A / H1 0, 8 ;

P A / H2 0, 9 ;

P A / H3 0, 5 .

По формуле полной вероятности

3	1		1		1		11
P A P A / Hi P Hi 0, 8		0, 9		0, 5
i 1	3		3		3		15

- вероятность того, что станок выйдет из строя.

Искомую вероятность найдём по формуле Байеса (переоценка вероятности события H1 ):

		P H1 P A / H1		1	0, 8			4
P H1	/ A			3						0, 364
		P A			11			11
					15

-вероятность того, что вышедший из строя станок - это первый станок.

Ответ: P H1 / A 114 0, 364 .

10) Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
	0, 42x 0, 08			если x 0; 2
f x				если x 0; 2
	0
Найдите:
а) функцию распределения F X ;
б) математическое ожидание M X ;						3
в) вероятность того, что в результате испытания X							; 3
						примет значение из интервала		;
						2
г) вероятность того, что в трёх испытаниях X ровно два раза принимает значение, принадлежащее
	1;	1
интервалу			.
		2

f x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция распределения) случайной величины X ; f x F x .

F x - функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция

x
распределения) случайной величины X ; F x	f x dx .

8

																														x
► Для вычисления интегральной функции распределения используем формулу F x																															f x dx .
Если x 0 , то
F x				x
			0 dx 0 .
Если 0 x 2 , то																							x
F x				0	0 dx	x	0, 42x	0, 08 dx 0								2												0, 08x .
												0, 42x				0, 08x							0, 21x 2
													2
						0																0
Если x 2 , то
				0		2
F x			0 dx				0, 42x 0, 08 dx 0 dx 0 1 0 1 .
						0				2
Итак, интегральная функция распределения:
				0				при	x 0
F x					0, 21x 2 0, 08x			при	0 x 2
					1			при	x 2
► Математическое ожидание
							0			2
M X					x f	x dx x 0 dx x 0, 21x 2										0, 08x dx x 0 dx
										0													2
2										4	0, 08x		3			2		0, 21	2				4		2		3					4
0, 21x 3 0, 08x 2 dx								0, 21x															0, 08					0		79 1			1, 053
0									4			3				0		4						3					75			75
																									3	; 3
► Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала																									2			:
	3	X				3		2									3						0, 42x 2							2	0
P	2				3	f x dx			0, 42x 0, 08 dx 0 dx														2	0, 08x
						1,5		1,5									2													1,5

0, 21 2 2 0, 08 2 0, 21 1, 5 2 0, 08 1, 5

0, 21 4 2, 25 0, 08 2 1, 5 0, 21 1,75 0, 08 0, 5 0, 4075

или, через функцию распределения:

3	X 3				F 3 F 1, 5 1 0, 21 1, 5 2 0, 08 1, 5 0, 4075
P
2
► Вероятность того, что в трёх испытаниях X ровно два раза принимает значение, принадлежащее
		1
интервалу 1;			.
		2
Обозначим событие:								1
A - в трёх испытаниях X							1;
						ровно два раза принимает значение, принадлежащее интервалу		.
								2

9

	1;	1
Вероятность того, что случайная величина в одном испытании примет значение из интервала		2	:

	1	X	1		F 0, 5 F 1 0, 21 0, 5 2	0, 08 0, 5 0 0, 0925
P			2

Условия задачи соответствуют схеме Бернулли, и вычисления производим по формуле Бернулли

Pm n C mn p n q m n

Искомая вероятность

P A P3 2 C 32 p 2 q 3 2 3 0, 0925 2 1 0, 0925 1

		37	2				37			1490841
	3				1						0, 02329
		400					400			64000000

Ответ: P A 0, 02329 .

10