Мальханов - Общая Физика

°F					°C					100°C
					36,6°C					212°F
96°F					тело чело-				:100
					века
: 96					-17,8°C
0°F					лед+соль					0°C 32°F
					с нашатырем

5∆t°F = 9∆t°C

t°F = 1,8 t°C + 32°F

°C	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	10	15	20	25	30	35
°F	-22	-13	-4	5	14	23	32	50	59	68	77	86	95

§ 3 Давление

Давление механически определяется как отношение величины силы к величине площадки, на которую действует эта сила.

P = dF/dS

Dr F

dS Вообще говоря, в данном случае приходится часто говорить о средней силе, хотя ее довольно трудно точно определить.

Используем выражение, связывающее силу и потенциальную энергию. Отметим, что изменение потенциальной энергии ∆U эквивалентно, а точнее говоря равно с противоположным знаком работе, а с силой связано через градиент, тогда

F = -∂U/∂r P = F/S = (-∂U/∂r)/S = - (∂U/∂V)S.

150

Произошло такое изменение формы тела, при котором S осталось постоянной. Изменение формы тела можно представить как перестановку отдельных его частей.

1 атм = 760 мм. рт. ст. = 1,05 105 Па.

§ 4. Первый закон термодинамики

Рассмотрим первый закон термодинамики как полный дифференциал энергии. Используем то обстоятельство, что внутренняя энергия есть функция энтропии и объема в общем случае U (S,V), тогда ее полный дифференциал равен

dU = (∂U/∂S)dS + (∂U/∂V)dV, где

(∂U/∂S)V = T, (∂U/∂V)S = - P

dU = TdS - PdV

dU - Внутренняя энергия системы, центр масс которой покоится TdS = δQ - Теплота

PdV - Механическая работа (за счет изменения объема).

Определим теплоту как

δQ = TdS dS = δQ/T, S = k lnρ TdS = kT d lnρ

Обычно пишут

δQ = dU + δA, либо в конечных приращениях Q = ∆U + A. (*)

Заметим, что соответствующее элементарному процессу приращение какой-либо физической величины f → ∆f можно рассматривать как бесконечно малое приращение в пределе только в том случае, если ∑ ∆f ( или ∫ df ), соответствующие переходу из одного состояния (1) в другое

(2) не зависит от пути (иначе говоря - способа), по которыму совершается этот переход ( как это происходит при механическом перемещении в случае консервативных сил). Это значит, что не всегда верно

151

2
∫ df = f2 - f1,	2	2
1
а в нашем случае ∫ dQ ≠ Q2 - Q1		∫ dA ≠ A2 - A1, а вот для
	1	1

внутренней энергии это верно всегда

2

∫ dU = U2 - U1. 1

В этом случае говорят, что U является функцией состояния, тогда как теплота Q и работа A не являются функциями состояния. Следовательно dU является полным дифференциалом, а δQ и δA - нет, и этот факт обозначают на письме как это сделано здесь круглыми буквами дельта. Мы, однако, понимая сказанное, будем писать, иногда с оговорками, и, всегда подразумевая данный факт: dQ и dA.

Сформулируем первый закон термодинамики (*).

Теплота, сообщаемая системе расходуется на приращение внутренней энергии этой системы и совершение системой работы над внешними телами.

§ 5 Макроскопические параметры состояния газа. Процессы

Имеем термодинамические параметры газа (вообще говоря, их можно отнести и к твердым телам и к жидкостям)

Объем	Масса	Энтропия Давление Теплота			Работа
V	m	S	P	Q	A
Внутренняя	Плотность		Концентрация	Температура Хим. сос-
энергия					тав и др.
U	ρ		n	T

В опыте, то есть физическом или ином эксперименте, (и в обыденной жизни) мы имеем дело с объемом газа, состоящим из громадного числа частиц: атомов, молекул, ионов, электронов,... квазичастиц: дырок, вакансий, экситонов, поляронов, более сложных образований, но также

152

микроскопических, размеры которых << всего объема газа. Когда некоторым прибором измеряют величину того или иного параметра, то эта величина суть результат усреднения от действия всех частиц, составляющих тело.

Если число столкновений одной молекулы с остальными может составлять 1010 ст/с, то число столкновений между всеми молекулами при тех же условиях составляет 1020ст/с.

Пример: измерение давления

P	При быстродействии осциллографа 0,1нс =
	10-10с он будет регистрировать 10-101020 =
	1010 столкновений одновременно, поэтому и
	можно говорить, что наши приборы измеряют
	усредненные значения параметров.
	Замечание.
1 c	t Замечательные свойства осциллографов по-
	зволяют наблюдать формы сигналов. В нем

создается так называемая развертка по времени: линейно нарастающее с заданной скоростью напряжение позволяет переместить лучик на экране с одного края на другой. По вертикали при этом подается напряжение исследуемой формы пропорциональное величине данного параметра.

U

= U

t t

Любая физическая величина преобразуется в эквивалентное ей электрическое напряжение и далее ее можно измерять преобразовывать и т.д..

Состояние и процесс.

Предположим, что мы наблюдаем за некоторым набором параметров. Если параметры не меняются, то можно говорить о равновесном состоянии. Если некоторые из них меняются, то говорят что идет процесс (процесс изменения этих параметров). Процесс идет до тех пор, пока система не перейдет в новое равновесное состояние

153

P1		V1	T1...	Во время
				процесса
				меняются все
P2		V2	T2 ...	параметры или
				хотя бы один

из них.

Практически можно говорить о квази равновесных состояниях вместо равновесных, которые являются удобной идеализацией. Если один параметр меняется быстрее другого, к примеру, в 10 раз, то можно говорить о квази равновесии или о равновесии в отношение медленно меряющегося параметра в сравнении с другим. Например, вода в чайнике нагревается, а ее объем в процессе нагрева условно остается постоянным.

§ 6 Расчет работы и внутренней энергии в термодинамике

Fср

6.1 Работа

∆h

∆S

δA = Fср∆h, P = Fср/∆S

δA = P∆S∆h = P∆V. Пусть

δA dA dA = PdV

2

A = ∫ PdV 1

6.2 Внутренняя энергия

Рассчитаем среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну частицу и на одну координату. Используем каноническое распределение Гиббса.

154

< εi > = [∫ exp(-βεi) εi dpi]/ [∫ exp(-βεi) dpi].

-∂[exp(-βεi)]∂β = εi exp(-βεi), εi = pi2/2m, β = 1/kT, i-я координата.

∞∞

<εi > ={ -∂[∫ exp(-βεi) dpi]/∂β}/[∫ exp(-βεi) dpi] =

-∞

-∞

∞

=-∂ln[∫exp(-βpi2/2m) dpi]/∂β = - ∂[ln(2mπ/β)1/2]/∂β = -∞

=1/2β = kT/2.

∞

В расчете использован интеграл вида ∫exp(-x2) dx = √π

-∞

<εi > = kT/2 i =1

<εi > = i kT/2 - формула для произвольного числа степеней свободы частицы (например, молекулы).

Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы:

на каждую степень свободы частицы, то есть на каждую координату или ось вращения, к примеру, приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия равная ε =kT/2.

Найдем внутреннюю энергию произвольного количества вещества

εi = i kT/2 |·NA UM = i RT/2 (UM=εiNA, R=kNA) | ·ν U=iνRT/2

i = 3 Z

i = 3 + 3 = 6

i = 3 +2 = 5

Y

i = 3 + 2 + 2 = 7

X

155

Точке может соответствовать три поступательных степени свободы по числу трех декартовых координат (He, H+, ...).

Для двухатомных молекул в модели жесткой нерастяжимой связи между ними прибавляется еще две оси вращения - вдоль линии их соединяющей и перпендикулярно ее середине (N2, H2, O2,...).

Для трех- и более молекул реализуются все три взаимно перпендикулярные оси вращения (CO2, H2O, ...).

В модели упругой (не жесткой) связи, кроме указанных степеней свободы, прибавляются еще колебательные степени свободы.

§ 7 Теплоемкость

7.1 Расчет теплоемкости при постоянном объеме и давлении. Закон Майера

Теплоемкостью тела, C, называется отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного этим телом к соответствующему приращению его температуры.

C = δQ/dT.

Часто пишут, и мы будем придерживаться записи C = dQ/dT

C = (dU + PdV)/dT = (dU/dT) + PdV/dT.

Используем тот факт, что и внутренняя энергия представляется полным дифференциалом U (V,T) запишем

dU = (∂U/∂T)V dT + (∂U/∂V)T dV

C = (∂U/∂T)V + (∂U/∂V)T (dV/dT) + PdV/dT = (второе слагаемое равно

нулю при T = cst) = (∂U/∂T)V + PdV/dT.

1. V = cst dV/dT = 0

CV = (∂U/∂T)V = ∂(νi RT/2)/∂T = νi R/2, ν = 1 CV = (i/2)R . 2. P = cst

156

CP = CV + PdV/dT.

Используем уравнение Менделеева - Клапейрона

PV = νRT PdV = νRdT dV/dT = νR/P

CP = CV +νR = ν(i/2) R+ νR = [(i + 2)/2] νR.

ν = 1 CPµ = CVµ + R.

Полученное выражение называют уравнением Майера (Майер Юлиус Роберт

1814-1878).

Для различных процессов можно рассчитать теплоту, внутреннюю энергию и работу.

1.T = cst – изотермический dU = 0 δQ = δA.

2.P = cst - изобарический

δQ = dU + δA

3. V = cst - изохорический

δA = 0 δQ = dU

4.Q = cst (δQ = 0) - адиабатический

dU = - δA

5. C = cst - политропический

δQ/dT = cst.

7.2 Виды теплоемкости

Полная теплоемкость, C , [Дж/K]

C = dQ/dT

157

теплота, которую необходимо передать телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус.

Удельная теплоемкость, Cуд , [Дж/K кг]

Cуд = dQ/m dT

теплоемкость, приведенная к единичной массе.

Молярная теплоемкость, Cµ, [Дж/K моль]

C µ = dQ/νdT

теплоемкость, приведенная к одному молю.

§ 8 Уравнение Пуассона для адиабатического процесса

dQ = dU + dA, dQ = 0 dU = νCV dT, ν = 1 dU = CV dT,

dA = PdV

CV dT + PdV = 0 |· R CV R dT + RP dV = 0, но

из PV = RT PdV + V dP = R dT (исключим температуру)

CV (PdV + V dP) + R PdV = 0, R=CP - CV

CV PdV + CV V dP + (CP - CV ) PdV = 0 |: CV , (γ = Cp/CV = cst)

PdV + V dP + (γ - 1)PdV=0, γPdV + V dP = 0.

γdV/V + dP/P = 0 | ∫

γ lnV + lnP = cst ln (Vγ P) = cst P Vγ = cst, P1V1γ = P2V2γ = ... .

158

§ 9 Политропический процесс

C = cst, C = dQ/dT dQ = C dT. dQ = dU + dA, ν = 1

C dT = CV dT + PdV | ·R

CR dT - CV R dT = RP dV, (C - CV )R dT = RP dV,

PV = RT, R dT = PdV + V dP(исключим температуру)

(C - CV)(PdV + V dP) = R PdV (C - CV) PdV = (R+CV - C) PdV (используем уравнение Майера) CP = R+CV

(C - CV) VdP = (Cp - C) PdV	| : PV
(C - CV)dP/P = (CP - C)dV/V	| ∫
(C - CV)lnP = (CP - C)lnV + cst	| : (C - CV)

[(C- CP)/(C - CV)]lnV + lnP = cst, nlnV + lnP = cst, P V n = cst, n = (C- CP)/(C - CV).

§ 10 Применение первого начала термодинамики к тепловым процессам

Первоначально термодинамика возникла как наука о превращении теплоты в работу. При этом не было надобности в исследовании микроскопической картины явлений, а исследователи опирались на так называемые основные начала термодинамики, полученные опытным путем. Мы, нендолго, будем действовать в рамках этих представлений по-своему довольно плодотворных.

Рассмотрим некий объем газа, способный совершить работу (или над которым совершается работа внешними силами, что в известном смысле все равно и одинаково с точностью до знака). Построим для такой системы несколько диаграмм в координатах

P-V, подразумевая, что эти замкнутые циклы многократно повторяются. Нам необходимо, чтобы за один полный цикл совершалась положительная работа.

159