UMK_Avdeyko

Несмотря на то, что общеупотребительными являются действующие значения переменных величин, нельзя забывать о том, что амплитуды этих величин превышают действующие значения в 2 . Например, если конденсатор рассчитан на напряжение 300 В, то его нельзя включать в сеть переменного тока с напряжением 220 В, так как его амплитудное значение равно 311 В, что превышает допустимое значения для конденсатора.

Другой пример. Магнитную индукцию в стальном сердечнике удобно рассчитывать не по действующему, а по амплитудному значению. Если амплитуда индукции будет соответствовать участку насыщения кривой B = f(H), то резко возрастает величина тока в катушке, создающей магнитное поле, и искажается форма кривой тока. В конечном счете это приводит к перегреву катушки, хотя действующее значение магнитной индукции соответствует небольшому действующему значению тока на линейной части характеристики B = f(H) до участка насыщения. Подробней об этом – в п. 3.11.

3.2. Векторное изображение синусоидальных величин

Синусоидальную величину можно представить в алгебраической форме, например, e = Em sin(ωt + ψ) , графически – с помощью временной

диаграммы (см. рис. 3.1, в), но можно изобразить и в виде вектора, длина которого равна амплитуде или действующему значению синусоидальной величины. Обычно с помощью векторов на одном рисунке изображают несколько синусоидальных величин, относящихся к одной электрической схеме и образующих векторную диаграмму (ВД). Первый вектор направлен на плоскости произвольно, а остальные строятся с учетом фазных сдвигов между векторами.

Например, в цепи последовательного соединения двух приемников известны напряжения u1 = U1msin(ωt + ψ1) и u2 = U2msin(ωt + ψ2) (рис. 3.2, а).

ϕ

ϕ1

Рис 3.2. Цепь последовательного соединения двух приемников (а), ее векторная диаграмма (б)

41

Построим векторную диаграмму (ВД) для действующих значений синусоидальных величин. Первый вектор U1 направляем произвольно (горизонтально). Чтобы показать второй вектор, определим его фазу относительно первого. Фазный сдвиг U2 относительно U1 φ = (ωt + ψ2) – (ωt + ψ1) =

= ψ2 – ψ1.

Если угол φ положительный, то его откладывают от опорного вектора U1 в положительную сторону, т.е. против часовой стрелки. При этом вектор U2 опережает U1 на φ. Если угол φ отрицательный, то его откладывают от опорного вектора U1 в отрицательную сторону, т.е. по часовой стрелке.

Векторные диаграммы удобны при сложении или вычитании синусоидальных величин. Если бы фазы этих синусоид были одинаковы (ψ2 = ψ1 = ψ), то общее напряжение (амплитудное или действующее) было бы равно арифметической сумме этих напряжений:

u = u1 + u2 = U1msin(ωt + ψ1) + U2msin(ωt + ψ2) =

=U1m + U2m)sin(ωt + ψ) = Umsin(ωt + ψ).

Вобщем случае ψ2 ≠ ψ1 и аналитический расчет суммы двух синусоид с различными фазами представляет известные трудности. Расчет значительно упрощается, если воспользоваться векторным представлением синусоид напряжений. В этом случае общее напряжение будет равно геомет-

рической сумме напряжений U1 и U2. При этом определятся не только величина напряжения, но и его фаза. Вектор общего напряжения U опережа-

ет вектор U1 на угол φ1. Величину и фазу вектора U можно определить графически или графоаналитически.

Итак, сложение или вычитание синусоидальных величин необходимо выполнять не арифметически, а с учетом фазных сдвигов между ними, т.е. геометрически.

Например, при последовательном соединении двух приемников, действующие значения напряжений на которых равны 150 и 100 В, общее напряжение может изменяться в интервале от 250 В (если фазы равны) до 50 В (если напряжения находятся в противофазе). То же самое относится к сложению токов при параллельном соединении приемников.

3.3.Особенности цепей переменного тока

Анализ цепей переменного тока имеет свои особенности, хотя законы Ома, Кирхгофа, Джоуля – Ленца справедливы для мгновенных значений токов, напряжений и мощностей.

42

Вцепях переменного тока электрические и магнитные поля также будут переменными, и, следовательно, в самой цепи будут создаваться внутренние ЭДС, которые следует учитывать при анализе цепей.

Кроме того, в цепях переменного тока напряжения и токи непрерывно изменяют свое направление, но для правильного учета знаков при составлении уравнения по законам Ома и Кирхгофа следует задаваться условными положительными направлениями токов и напряжений, как и в цепях постоянного тока.

Вцепях переменного тока различают 3 вида нагрузки.

Вактивной нагрузке электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую и др.). Активная нагрузка характеризуется активным сопротивлением r, мало чем отличающимся от омического сопротивления постоянному току. Реальными устройствами, соответствующими активной нагрузке, являются электронагревательные приборы.

Виндуктивной нагрузке электрическая энергия преобразуется в энергию магнитного поля. Индуктивная нагрузка характеризуется индуктивностью L. Катушка, в которой отсутствует активное сопротивление, является идеальной индуктивной нагрузкой.

Вемкостной нагрузке электрическая энергия преобразуется в энергию электрического поля. Параметром емкостной нагрузки является емкость С, а реальным устройством, соответствующим идеальной емкости, является конденсатор.

3.4.Цепи с идеальными элементами

3.4.1. Цепь с активным сопротивлением

Пусть к нагрузке, имеющей чисто активный характер, приложено синусоидальное напряжение u = Umsinωt (рис. 3.3, а). По закону Ома мгно-

венное значение тока в любой момент времени i = ur = Urm sin ωt = Im sin ωt ,

где амплитудное значение тока Im = Urm . Разделив левую и правую части на 2 , получим аналог закона Ома для действующих значений синусои-

дальных величин: I = Ur .

43

Фазный сдвиг напряжения относительно тока ϕ = ωt − ωt = 0 , т.е. фазы тока и напряжения равны, и на векторной диаграмме действующие значения напряжения и тока параллельны (см. рис. 3.3, б).

Рис. 3.3. Цепь с активным сопротивлением:

а – электрическая схема; б – векторная диаграмма; в – волновая диаграмма

Мгновенная мощность p = ui = Umsinωt · Imsinωt = UmImsin2ωt = UmIm (0,5 –

– 0,5cos2ωt) изменяется также по синусоидальному закону, но с двойной частотой (см. рис. 3.3, в). При этом в любой момент времени мощность положительна. Это означает, что в любой момент времени приемник забирает энергию из сети.

3.4.2. Цепь с индуктивностью

Предположим, что под действием синусоидального напряжения в индуктивности протекает ток i = Imsinωt. ЭДС, возникающая в индуктивно-

сти, e = − ddtψ = −L dtdi = −LωIm cosωt . Для правильного учета знаков ЭДС следует направлять по выбранному направлению тока (рис. 3.4, а).

Рис. 3.4. Цепь с индуктивностью:

а – схема; б – векторная диаграмма; в – волновая диаграмма

44

По второму закону Кирхгофа e = –u, т.е.

u = LωIm cosωt = ωLIm sin(ωt + π2) =Um sin(ωt + π2) ,

где Um = ωLIm – амплитуда напряжения. Разделив левую и правую части на 2 , получим аналог закона Ома для действующих значений тока и на-

	пряжения: U = ωLI или I =	U	=	U , где xL = ωL = 2πfL называется индук-
		ωL
				xL

тивным сопротивлением и измеряется в омах. Например, индуктивность L = 0,1 Г переменному току частотой 50 Гц оказывает сопротивление xL = 2 ×3,14 ×50 × 0,1 = 31,4 Ом.

Фазный сдвиг напряжения относительно тока ϕ = (ωt + π2) − ωt = + π2 ,

т.е. напряжение опережает ток на 90º (см. рис. 3.4, б и в), а фазный сдвиг ЭДС относительно тока равен –90º. Таким образом, ЭДС, возникающая в индуктивности, находится в противофазе с приложенным напряжением.

Сопротивление, которое оказывает индуктивность переменному току, по характеру отличается от омического сопротивления постоянному току. Если включить индуктивность в цепь постоянного тока, то это будет равносильно короткому замыканию. Сопротивление индуктивности переменному току не равно нулю благодаря возникновению противо-ЭДС, которая создает эффект сопротивления. Индуктивное сопротивление, называемое реактивным, смещает фазу тока относительно приложенного напряжения в сторону отставания.

Мгновенная мощность p = ui = UIsin2ωt изменяется по синусои-

дальному закону с двойной угловой частотой. Как видно из графика, в первую четверть периода мощность положительна, т.е. индуктивность потребляет энергию из сети и запасает ее в виде энергии магнитного поля, во вторую четверть периода мощность отрицательная, а запасенная энергия возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывная «перекачка» энергии от генератора к потребителю и обратно.

При этом тепловой энергии в индуктивности не выделяется, т.е. реальная катушка с очень малым активным сопротивлением практически не нагревается несмотря на то, что через эту катушку протекает значительный ток.

45

3.4.3. Цепь с емкостью

При включении емкости на синусоидальное напряжение u = Um sinωt возникает ток, обусловленный изменением заряда q,

I = dq/dt = d (Сu)/dt = Сdu/dt = ϖ СUm cos ϖ t = Imsin (ϖ t + π2 ), где амплитудное значение тока

Im = ϖ CUm = Um . 1/ ωС

Величина 1/ϖ C называется емкостным сопротивлением, измеряется в омах. Например, емкость С = 40 мкФ переменному току частотой 50 Гц оказывает сопротивление

хс = 1/ϖ C = 1/2 πfC = 1/2 ∙ 3,14 ∙ 50 ∙ 40 ∙ 10–6 = 79,6 Ом.

Аналог закона Ома для действующих значений тока и напряжения

I = U/ хс.

Фазный сдвиг напряжения относительно тока ϕ = ω – (ω + π2 ) = – π2 ,

что означает отставание напряжения относительно тока на 1/4 периода. На рис. 3.5, а и б показаны схема включения и ВД цепи с емкостью.

Рис 3.5. Цепь с емкостью: а – схема; б – векторная диаграмма; в – временная (волновая) диаграмма

Ток в цепи с емкостью, обусловленный изменением заряда во времени, называется током смещения, который по характеру отличается от тока проводимости. Реальным устройством, эквивалентным емкостной нагрузке, является конденсатор.

Если включить конденсатор в цепь постоянного тока, то установившееся значение тока будет равно нулю, т.к. между обкладками конденсатора находится изолятор, оказывающий постоянному току бесконечно большое сопротивление.

46

Если включить конденсатор в сеть переменного тока, то на обкладках конденсатора появится заряд q = cu, который будет «следить» за изменением напряжения, т.е. будет пропорционален напряжению. Этот заряд создает внутреннюю ЭДС, которая, подобно ЭДС самоиндукции в катушке, препятствует нарастанию тока. Этот процесс формально учитывается так называемым емкостным сопротивлением. Емкостное сопротивление, называемое реактивным, смещает фазу тока относительно напряжения в сторону опережения.

Мгновенная мощность p = ui = UI sin 2ωt , потребляемая емкостью, –

синусоидальная, т.е. знакопеременная (см. рис 3.5, в). Как и в цепи с индуктивностью, происходит непрерывный обмен энергиями между сетью и нагрузкой (емкостью), но средняя мощность за период равна нулю, и конденсатор как устройство, близко соответствующее идеальной емкости, практически не нагревается.

3.5.Цепи последовательного соединения элементов

Вкачестве примера рассмотрим цепь последовательного соединения активного сопротивления и индуктивности (рис. 3.6, а).

Рис 3.6. Цепь последовательного соединения r и L:

а– схема; б – векторная диаграмма; в – треугольник сопротивлений;

г– треугольник мощностей

Пусть под действием приложенного напряжения U (действующее значение) в цепи установился ток I. В дальнейшем анализ цепи будем вести для действующих значений синусоидальных величин. Построим векторную диаграмму тока и напряжений (см. рис. 3.6, б).

47

Первый вектор, например, ток направим на плоскости произвольно (горизонтально). Этот ток протекает и по активному сопротивлению, вызывая падение напряжения Ur = rI , и по индуктивности – UL = xLI . Но в

активном сопротивлении Ur совпадает по фазе с током (направим его параллельно вектору тока), а в индуктивности UL опережает вектор тока на четверть периода, т.е. на 90º. Общее напряжение определится геометриче-

ской суммой Ur и UL : U = Ur +UL .

Введем понятие полного сопротивления цепи z как отношение действующего значения напряжения к току в этой цепи.

z = UI , откуда U = zI .

Если разделить каждый вектор напряжения на величину тока, то получим подобный треугольник сопротивления (см. рис 3.6, в).

По известным параметрам r и xL легко определить величину полного сопротивления последовательного соединения z = r2 + xL2 , а зная величи-

ну приложенного напряжения, определяем ток в цепи I = U / z .

Таким образом, полное сопротивление последовательно соединенных элементов, имеющих различный характер (активный и реактивный), не равно арифметической сумме этих сопротивлений. Например, r =40 Ом, xL = 30 Ом, тогда z = 50 Ом, а не 70 Ом.

С помощью треугольника сопротивлений легко можно определить фазный сдвиг напряжения относительно тока по тригонометрическим функциям этого угла: tgϕ = xL / r ; sin ϕ = xL / z , cosϕ = r / z .

Если в треугольнике напряжений каждый вектор умножить на величину тока I, то получим подобный треугольник мощностей (см. рис 3.6, г).

Величина rI2 называется активной мощностью, измеряется в ваттах (Вт) и обозначается буквой Р, величина xLI2 называется реактивной мощностью, измеряется в вольт-амперах реактивных (вар) и обозначается буквой Q, величина zI2 называется полной мощностью, измеряется в вольтамперах (ВА) и обозначается буквой S.

Так как U = zI , то полная мощность S = UI .

Полная мощность является характерной величиной для различных электротехнических устройств: генераторов, трансформаторов, электрических аппаратов, линий электропередач и т.д., так как сечение проводов этих устройств рассчитывается по току, а изоляция – по напряжению.

48

Активная мощность P = UI cosϕ в общем случае меньше полной мощности из-за сдвига фаз между током и напряжением. Она пропорциональна тепловой и механической энергии, потребляемой приемником.

Реактивная мощность Q = UI sin ϕ пропорциональна той энергии, ко-

торая непрерывно «перекачивается» от генератора к потребителю и обратно. Эта энергия идет на создание электромагнитного поля приемников и не преобразуется ни в тепловую, ни в механическую энергию.

Величина cosϕ называется коэффициентом мощности, который показывает, какая часть полной мощности источника питания расходуется на нагрев приемника и механическую работу.

Пользуясь векторной диаграммой, легко подсчитать полное сопротивление последовательного соединения активного сопротивления и емкости

z = r2 + xC2 или полное сопротивление последовательного соединения ак-

тивного сопротивления, индуктивности и емкости z = r2 + (xL − xC )2 .

На рис. 3.7, а и в показаны схемы, а на рис. 3.7, б и г – векторные диаграммы токов и напряжений, соответствующих этим схемам.

Рис 3.7. Последовательное соединение элементов (а и в) и векторные диаграммы токов и напряжений (б и г)

Фазный сдвиг напряжения относительно тока ϕ= arctg(UL −UC ) /Ur = = arctg(xL − xC ) / r – для схемы на рис. 3.7, а и ϕ = arctg(−xc / r) – для схемы на рис. 3.7, в.

Вобоих случаях угол ϕ отрицательный (напряжение отстает от тока).

Всхеме, изображенной на рис. 3.7, а это будет иметь место, если xc > xL .

49

Следует обратить внимание на то, что в цепях, содержащих индуктивность и емкость, напряжения на реактивных элементах могут превышать напряжение источника питания.

3.6. Параллельное соединение приемников

При параллельном соединении приемников по закону Ома определяют действующее значение тока в каждой ветви, его фазный сдвиг относительно приложенного напряжения и с помощью ВД геометрическим суммированием определяют общий ток параллельного соединения.

На рис. 3.8, а изображена схема параллельного соединения двух приемников: первый имеет активно-индуктивный характер, второй – активноемкостный.

Рис. 3.8. Параллельное соединение приемников: а – схема; б – векторная диаграмма

Графоаналитический расчет предполагает определение полного со-

		(z1 =		, z2 =		), тока в каждой
противления каждой ветви			r12 + xL21		r22 + xc22
ветви (I1 = U z1 ,	I2 = U z2	), фазного сдвига напряжения относительно
тока (ϕ1 =arctg xL1	r1 , ϕ2 = arctg − xc r2 ), построение ВД. При построении

ВД цепи параллельного соединения приемников вначале произвольно направляют на плоскости вектор общего напряжения и определяют общий ток

I = I1 + I2 . Величину тока I и фазный сдвиг ϕ напряжения относительно

тока можно определить, разложив все векторы по взаимно перпендикулярным осям, например, вдоль напряжения и перпендикулярно к нему.

Из расчета видно, что общая нагрузка параллельного соединения носит активно-индуктивный характер, так как общий фазный сдвиг получился положительным. Величину полного сопротивления можно определить по закону Ома: z = UI .

50