- •Производная функции.
- •Производные высших порядков.
- •2.Экстремумы.
- •3.Вогнутость.
- •4.Перегибы.
- •5.Ассимптоты.
- •Исследование функции
- •Неопределённый интеграл.
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Повторный интеграл
- •Основные теоремы о степенных рядах.
- •Ряд Тейлора.
- •Разложение основных функций в ряд Тейлора.
- •Некоторые применения.
- •Числовые ряды комплексных чисел.
- •Степенные ряды комплексных чисел.
- •Периодичность.
- •П zоказательная функция.
- •Дост. Условия дифференцируемости.
- •Комплексно-значная формула комплексной переменной.
- •Правило обхода сложного контура.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Решение неоднородного уравнения.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, где правая часть имеет специальный вид.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление вычетов в приложении к несобственным интегралам
- •Лемма Жордана
- •Решение дифференциальных уравнений.
- •Свертка функций.
Числовые множества:
Z-мн. целых чисел n≠0;
Q-мн. рациональный чисел
Рациональные числа выражаются конечной и бесконечной периодической дробью, а все остальные числа называются иррациональной бесконечной непериодической дробью.
a<b то число которое левее всегда меньше числа которое правее
Свойства действительных чисел:
Между двумя действительными числами всегда находится рациональное и иррациональное.
Любое иррациональное число можно с любой степени точности заменить рациональным.
А,В – множество
(a вложено в B)
А={1,3,5,7}
B={1,2,3,4,5,6,7}
пустое подмножество любого множества
N<Z<Q<R<C
[a,b]- отрезок
(а,b)- интервал
a<x<b
Окрестность точки – интервал с центром в этой точке
r- радиус окрестности
Ur(a)- r окрестность точки а.
Ur0(a)- проколотая окрестность.
a-r<x<a+r , x≠a.
|a-x|<r , x≠a.
|a|=
Окрестность- все числа а и b которые отдалены на расстояние r.
Свойства обсалютных величин:
1) |a+b||a|+|b|
Доказательство:
|a|=
|a+b||a|+|b|
-(a+b) |a|+|b| => |a+b||a|+|b|
2) |a|-|b||a-b|
Доказательство:
Пусть a-b=c
a=b+c
|b+c||b|+|c|
|a||b|+|a-b|
|a|-|b||a-b|
|ab|=|a|*|b|
Операции над множествами
универсальное множество
А,В- подмножества U,
пустое множество
Диаграмма Эйлера
- объединение
«ИЛИ»
«И»
, и .
А- дополнение(все элементы которой не принадлежат А)
«НЕ»
Свойство операций:
1) 1)’
2)2)’
3)3)’
Законы Моргана
4)4)’
5)5)’
6) 6)’
7) 7)’
8)
Отображения множеств
Кванторы
- всеобщность (всякий, любой).
- существования (существует, найдется).
Любому элементу множества А ставится в соответствии единственный элемент из множества В. Т.е. аА→ единств.bВ.
мн. А - область определения функции
мн. В- множество значений функции.
Сложная функция: если на мн. А определены функция , на В определена функция q, то на а определяется функция a=g(f(a)).
Отображение множителей
1.Отображением называется инъективным или просто инъекция.
- инъекция, если разным прообразам соответствуют разные образы.
2. - сюрьективным, сюрьеция, если множество образов A совпадает со множеством В. bB a A : f(a)=b
3. - биективным- биекция(взаимно однозначные), если оно одновременно инъективно и сюрьективно.
bB a A : b= f(a). ур. имеет ед. решение.
Например:
[-1,1] [-1,1]
f(x)=x2
[0,1] [-1,1]
[-1,1] [0,1]
[0,1] [0,1]
Некоторые свойства функций:
f(x)- называется четной, если
x A => f(-x)=f(x).
f(x)- нечетная, если
x A => f(-x)=-f(x).
f(x)- периодическая, если М >0, то x A => f(x+M)=f(x).
f(x)- возрастает, если x1 < x 2 => f (x1)< f (x2).
f(x)- убывает , если x1 > x 2 => f (x1)> f (x2).
Графики прямой и обратной функции, симметричной относительно прямой
x=y.
f(x)- неубывающая, если x1 < x 2 => f (x1) f (x2).
f(x)- невозрастающая, если x1 > x 2 => f (x1) f (x2).
Если ф-ия равна постоянно, то она не убывает.
f(x) -ограничена сверху на E1, если
f(x) - ограниченна снизу на E1 ,если
Определение. f(x) –ограничена, если она ограничена сверху и снизу.
Утверждение: f(x) -ограничена k>0: |f(x)|k.
Доказательство:
1). => Е m M : m
2). <= k:
Основные элементарные функции
Степенная
ООФ: мн. знач.
(α>1) (α=1)
(0<α<1) (α=0)
Показательные
(α>1) (0<α<1)
Логарифмическая
x>0 (a>0; a≠1)
(a>1) (0<a<1)
Тригонометрические
Элементарные функции- функции полученные из элементарными действиями (сложение, умножение и т.д.).
Рациональные функции
Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы правильного многочлена и правильной дроби.
Полярная система координат
Параметрически заданная кривая
Пределы
Предел последовательности
ф-ция определена наR
- последовательность
Число а называют пределом последовательностиаn , если для любого положительногонайдется такой номерn, начиная с которого все члены последовательности принадлежат последовательности точки а :
наибольшее целое, не превосходящее а
Свойства предела.
Теорема 1. Предел постоянной = самой постоянной.
Д – во:
Теорема 2. Пост-ть не может иметь двух различных пределов, если предел
существует, то он единственный.
Д – во: (от противного)
пусть
противоречие : одно и то же число не может попасть в 2 не пересекающие
плоскости
Предел функции.
Н.р.
Окрестность бесконечности – это множество всех х
удовлетворяющих неравенству
Теорема об ограниченности
Если ф-ция имеет конечный предел, то она ограничена в окрестности точки а.
огранич. в
Д – во:
ограничена
Односторонние пределы
(предел слева)
(предел справа)
Теоремы об односторонних пределах
Т1. Если сущ. односторонний предел, то сущ. и односторонние пределы.
Т2. Если сущ-ют односторонние пределы, равные между собой, то сущ
обычный предел.
Бесконечно малые ф-ции
бесконечно большой, если ее предел
Св-ва б/м
Т1.
Д-во:
Т2. Сумма б/м есть б/м
Д-во:
пусть
т.е.
Т3. Произведение б/м ф-ций на ограниченную, есть б/м
ограничена в
Д-во:
Следствия:
1. произведение б/м на const - б/м:
2. произведение б/м на ф-цию, имеющую предел, - б/м
3. произведение 2-х б/м – б/м:
Теорема 1. критерий существования предела
Д-во:
Свойства пределов:
Д-во:
покажем, что ограничена:
Теорема 2. о переходе к пределу в неравенстве
Д-во: (от противного)
d не может быть пределом h(x)
Теорема 3. (о двух милиционерах)
Д-во:
При переходе к пределу линейная операция сохраняется.
Некоторые свойства предела последовательности
1. если посл-ть имеет предел – она ограничена
ограничена
2. если посл-ть возрастает и имеет предел, то она ограничена сверху своим
пределом:
3. если посл-ть возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел
Понятие непрерывности ф-ции
опр 1 : f(x)непрерывна иа, если
опр 2: f(x)непрерывна иа, если
Покажем, что это одно и то же:
непрерывность означает что предел можно ввести под знак ф-ции.
Свойства непрерывности функции:
1. f(x)непрерывна ва
непрерывны в а
g(x)непрерывна ва
Если ф-ции непрерывны, то их линейные комбинации тоже непрерывны
2. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения
3. f(x)непрерывна ва, g(x)непрерывна ва
непрерывна ва
4. y=f(x) непрерывна ва
обратная функциянепрерывна вb=f(a)
следует из непрерывности функции
I замечательный предел
Теорема.
справедливо и для x<0, т.к. еслиx заменить на - x, то ничего не
изменится – все функции четные
II замечательный предел
Теорема(вспомогательная) последовательность
, гдеимеет предел, заключенный на отрезке
Д-во:
число сочетаний поk-элементов из n
Теорема Второй замечательный предел
Д-во:
х>0:
х<0: обозначим t=-(x+1)
Следствия II замечательного предела:
1.
Д-во:
2.
ln– это не предельная функция, поэтому знак предела можно вынести под знакln
3.
Д-во:
Сравнение бесконечно малых
Опр. 1
Опр. 2
Опр. 3
Опр. 4
Таблица эквиволетности б/м
Т-1.
Точки разрыва функций
y=f(x) x=a- точка разрыва функции f(x), если коор. условия непрерывны.
x=a- т. непрер. оси
2)
3.
Однородная непрерывность
y=f(x) – непрерывна слева(справа)
если :
y=f(x) – непрерывна на интервале (a,b), если f(x) непрерывна
y=f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] если непрерывна на интервале (a,b)
f(x) непрерывна слева в (.) b
f(x) непрерывна справа в (.) а
Свойства функций не прерывных на замкнутом отрезке
1. f(x) непрерывна на [a,b]
2.
f(x) непрерывна на [a,b]
3. f(x) непрерывна на [a,b]
Производная функции.
Y=f(x) определилась в окрестности U(Xo)
- функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.
Теорема: (о непрерывности дифференцируемой функции)
Если функция дифференцируема в Хо, тогда она непрерывна в этой точке.
Док-во:
, тогда
Значение f(x) непрерывно
Y(x) Xо=0, функция непрерывна.
Если ,
нет предела.
Функция не дифференцируема
Основные формулы дифференцирования.
1. (С)`=0
Док-во:
2. (сложение)
Док-во:
3.
Док-во:
Производная сохраняет линейные комбинации.
4. Производная произведения:
5. Производная частного:
Док-во:
6.Производная сложной функции:
Док-во:
7. Производная обратной функции
Док-во:
Если
Если
8. Производная параметрически заданной функции:
Док-во:
Производные элементарных функций
1. ,
2.
3.
4. ,,
5.
6. ,
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
,
14. ,
15. ,
16. ,
Примеры:
1.
2.
3.
4.
Механический смысл производной
Геометрический смысл производной.
(фиксированная точка)
(текущая)
Касательная (предельное положение секущей)
то
- уравнение касательной
- уравнение прямой
- нормали
Дифференцируемость функции. Дифференциал.
определена в
Опр.
Т.
диф. в
Д.
в
- б/м
=A
=
Опр.
Диф. лин. часть примера
Геометрический смысл диап.
- уравнение касательной
Применение диф. прибл. к функции
Свойства дифференциалов:
1)
2)
3)
4)
5)
6)Форма дифференциала инвариантна (неизменна)
Д.
Производные и дифференциалы высших порядков.
1)x– нед. пер.
, еслиx– недов. перем.
2)
- формула
Производная первой функции
Основные теоремы дифференциального исчисления
Т. Ферма
Пусть ф. непрерывна на, диф. надостигает своего наибольшего и наименьшего значения:
Д.
Т. Ролля.
непрерывна на, диф. на
Д.
Наибольшее , наименьшее.
1)
2)
Т. Логранжа.
непрерывна на, диф. на
Д.
непрерывна на, диф. на
- угловой коэф. конст.
,
=k
Т. Коши.
непрерывна на, диф. на
Д.
непрерывна на, диф. на
Теорема Логранжа – частный случай теоремы Коши
Т. Лопиталя
удовлетворяют условиям т. Коши
Д.
Замечание.
Вместо можно
Дифференциальные уравнения
Уравнения первого порядка
(1)
(2)
Задача Каши
Это поиск решения уравнения с начальными условиями (2).
Теорема (о существовании решения задачи Каши)
- непрерывная и дифференцируемая функция в области
- ограничена
! Решение уравнения, удовлетворяющего условию (2)
Интегральная кривая – решение дифференциального уравнения
Решая уравнение будем получать семейство кривых
- общее решение ()
1) удовлетворяет () прис
2) при (2)!при которомудовл. () и (2)
- частное решение, удовл. (2)
Уравнения с разделяющимися переменными.
|
,
iПример.
Задача о распаде радиоактивного вещества.
Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.
Т – период полураспада
Уравнение с однородными множителями
(*)
M, N – однородные функции одной степени
- однородная функция степени, если
Решение.
Уравнение сводится к виду (**)
(уравнение с разделяющимися переменными)
Пример.
Линейные уравнения
(1)
(2)
1способ
2способ
Решаем (2)
Подставим в (1)и найдём .
Лекция №11
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
1.Монотонность
Теорема 1(необходимое условие монотонности)
- непрерывна и дифференцируема
Доказательство
Теорема 2 (достаточное условие монотонности)
- непрерывна и дифференцируема
Доказательство
(две произвольные точки)
C
2. Экстремумы
Определение. определена в окрестности
- точка максимума функции, если
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)
- непрерывна и дифференцируема в
- точка экстремума функции
Доказательство.
- точка минимума
;
;
.
Стационарные точки – точки, в которых производная равна нулю.
Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв.
Экстремумы могут находится только среди критических точек.
Теорема 2.(достаточное условие экстремума)
- непрерывнаи дифференцируема в
- критическая точка
- точка минимума
- точка максимума
Доказательство.
C
- точка минимума
Теорема 3.(Исследование на экстремум с помощью второй производной)
- непрерывна в
- непрерывна в
- точка максимума
- точка минимума
Доказательство.
,
- точка максимума
3.Вогнутость.
Кривая называется вогнутой вверх (выпуклой) , если она лежит ниже касательной проведённой в любой точке отрезка.
Если кривая лежит выше касательной то она вогнута книзу или просто вогнута.
Теорема 1. (необходимое условие вогнутости)
- непрерывна и дифференцируема
Если вогнута кверху
Если вогнута книзу
Доказательство. (нестрогое доказательство)
Если кривая вогнута книзу то первая производная возрастает.
Теорема 2. (достаточное условие вогнутости)
- непрерывна и дифференцируема
Если , то вогнута книзу
Если ,то вогнута кверху
Доказательство.
- кривая
- касательная
справа и слева. Ч.Т.Д.
4.Перегибы.
-точка перегиба кривой если с одной стороны она вогнута кверху, а с другой вогнута книзу.
Теорема 1.(необходимое условие перегиба)
- непрерывна и дифференцируема в
-точка перегиба
Доказательство.
Точка перегиба - точка экстремума для производной в критических точках второго порядка, нужно искать экстремумы.
Теорема 2.(достаточное условие перегиба)
- непрерывна в
- непрерывна в
- непрерывна в
или
Если производная второго порядка меняет знак при переходе через точку , то-точка перегиба.
Доказательство.
Следует из основного условия для экстремума.
5.Асимптоты.
1) Вертикальные асимптоты
называется асимптотой , если
2) Наклонные асимптоты
называется наклонной асимптотой , если
называется асимптотической кривой для , если
Вывод уравнения наклонной асимптоты.
(1)
подставляем в формулу (1)
Формула Тэйлора
имеет непрерывную производную до парв
Пусть имеет непрерывную производную до порядкав
+
(Формула Макларена)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Исследование функций на экстремумы с помощью формулы Тэйлора.
Теорема 1.
Пусть имеет непрерывную производную до порядкав
1) - четная
2) - нечетнаянет экстремума в точке
(- точка перегиба)
Доказательство.
aCx
1) - четная
поскольку произведение непрерывно то знак совпадёт со знаком функции в точке а.- точка минимума
- точка максимума
2) - нечетнаяменяет знак
не меняет знака
меняет знакнет экстремума
Функции нескольких переменных
Z=f(x,y)
Для любых x,y->z
Окрестностью точки на плоскости называется круг с центром в этой точке.
(x-xо)2+(y-yo)2<z2
Ur(Mo) –r– окрестностьMo
r(Mo) – проколотая окрестность
Точка Moназывается внутренней точкой множестваD. ТочкаMназывается внутренней если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.M1 – граничная точкаDесли в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие. Совокупность граничных точек называется границей.D– граница множестваD.M2- изолированная точка множестваD, если в некоторой ее окрестности нет других точек множестваDкроме ее самой. МножествоDназывается открытым если состоит только из внутренних точек. множествоDназывается замкнутым если содержит все граничные точки.
- замыкание
Множество Dназывается связным если 2 любые точки множестваDможно соединить непрерывной кривой лежащей вD.
Область – открытое связное множество.
Множество называется ограниченным если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в Dможно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множестваD.
Непрерывность функции
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (xo,yo) еслиf(x,y) =f(xo,yo) илиf=0.
Частные приращения
Дадим приращение аргументу x=xo+xxf=f(xo+x,yo) -f(xo,yo)
y=yo+yyf=f(xo,yo+y) -f(xo,yo)- полное приращение
частные производные
Пример:
Полное приращение и полные дифференциалы.
Если полное приращение функции можно записать в виде z=Ax+By+Q() где, то линейная часть уравнения (Ax+By) называется полным дифференциалом. Предположим что функцияz=f(x,y) имеет непрерывные частные производные вU(xo,yo). Дадим приращение независимым переменнымxоxo+x,
y yo+yz=f(xo+x,yo+y)-f(xo,yo)=(f(xo+x,yo+y)-f(xo,yo+y))+ (f(xo,yo+y)-f(xo,yo)=
( по теореме Логранта
(xo+x,yo+y)
)
=
где
x = dx
y = dy
f(x,y)-f(xo,yo)
Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве
Функция z=f(x,y) имеет наибольшее значение наDв точкахxo, yo если
f(xo,yo)f(x,y)
??????????????????????????
f(xo,yo)f(x,y)
f(x,y) непрерывна нато
: f(xo, yo) f(x,y)
: f(x1, y1)f(x,y)
f(x,y) непрерывна нато
M= наибольшееf(x,y)
M= наименьшееf(x,y)
Частная производная сложной функции
Z=f(u,v)
u = u(x,y)
v = v(x,y)
Пример
Полная производная
z=z(x,y,t)
x=x(t)
y=y(t)
Производные неявной функции
F(x,y)=0 (*) задает неявную функцию в окрестности точки (xo,yo)
F(xo,yo)=0
Будем считать что функция Fимеет непрерывные частные производныевU(xo,yo),(xo,yo)
x = xo+x y = yo+y
F(xo+x, yo+y)=0
F= F(xo+x, yo+y) - F(xo,yo)=0
Пример
Частные производные неявной функции
F(x,y,z)=0 (**)
Z=z(x,y)
xyz-a3=0