Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matematika / 1 семестр / Метод. указ. к К.Р. № 2.doc
Скачиваний:
55
Добавлен:
19.05.2015
Размер:
1.33 Mб
Скачать

Краткие теоретические сведения и образец выполнения заданий контрольной работы № 2

Задание 1. Построить график функции используя общую схему исследования функции. Определить абсолютный максимум и абсолютный минимум функции на отрезке [–1, 2].

Краткие теоретические сведения и образец решения примера сведены в таблицу 1.

Общая схема исследования и построения графика функции

п/п

Краткие теоретические сведения

Пример

1

Область определения функции (о.о.ф.). Областью определенияD(f) функции называется множество всехтаких, что выражениеf(x) имеет смысл, т. е. взяв любое и подставив вf(x) можно найти соответствующее значение функции f(x)

определена для любого х, т. е. о.о.ф. или

2

Область непрерывности функции. Функция называетсянепрерывной в точке х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элемен-тарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Так как функция определена на всей числовой оси, то она и непрерывна для любого

Точек разрыва нет.

3

Исследовать функцию на чётность, нечётность.

Функция называетсячётной, если , её график симметричен относительно осиОY.

Функция называетсянечётной, если , её график симметричен относительно начала координат. Остальные функции называютсяфункциями общего вида.

—общего вида

4

Определить (если возможно) точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решить системы:

Пересечение с осью OY пересечение с осьюОХ

решение затруднено.

5

Определить асимптоты графика функции. Асимптотой кривой называется прямаяl, такое, что расстояние точки от этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по кривой от начала координат. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , еслих0 есть точка бесконечного разрыва функции, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов функции

Прямая есть наклонная асимптота графика функции , если причем оба предела существуют и конечны.

Т. к. функция не имеет точек разрыва, то вертикальных асимптот у графика функции нет.

Наклонных асимптот нет.

6

Определить интервалы монотонности и точки локального экстремума функции. Функция называетсявозрастающей на (а, b) если дляФункцияназываетсяубывающей на (а, b) если дляФункция называется монотонной на (а, b), если толькоили толькона (а, b).

Если для всех тона (а, b).

Е

сли для всехтона (а, b).

а) Определим критические точки:

б) о.о.ф. найденными критическими точками разбиваем на интервалы и определяем знак внутри каждого

Точка называется точкой локального максимума (max), [минимума (min)] функции , если существует некоторый интервалсодержащий точкух0 такой, что для всех

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Если х0 точка локального экстремума непрерывной функции , то её первая производнаяв точкех0 или равна нулю, или не существует.

Точки, в которых илине существует, называютсякритическими точками. Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через критическую точку х0 знак изменился

с «+» на «–», то в точке х0 локальный максимум;

с «–» на «+», то в точке х0 локальный минимум;

если знак не изменился, то в точкех0 экстремума нет.

и

нтервала. Результаты оформим в таблице.

х

–2

(–2; 0)

0

+

0

0

+

7

Определить интервалы выпуклости функции, точки перегиба

Функция называетсявыпуклой вверх [вниз ] на интервале (а, b), если для любых выполняется неравенство:

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

Если всюду на (а, b), то функция выпукла вниз () на (а, b).

Если всюду на (а, b), то функция выпукла вверхна (а, b).

а) Определим точки, подозрительные на перегиб:

б) О.о.ф. найденными точками разбиваем на интервалы, определяем знак внутри каждого интервала.

Необходимое условие перегиба: если х0 — абсцисса точки перегиба непрерывной функции , тоилине существует.

Достаточное условие точки перегиба: пусть илине существует. Тогда если при переходе черезх0 знак второй производной изменился, тоточка перегиба графика функции (при этомсуществует).

х

–1

0

+

8

Построить график. Для построения графика можно взять несколько дополнительных точек (–3,1), (1, 5).

9

Абсолютным (или глобальным) экстремумом функции называется наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значения функции в области.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она всегда имеет на этом отрезке абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Абсолютный экстремум может быть или в точках локального экстремума [a, b] или в концевых точках отрезка.

Если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет единственную точку локального экстремума, то эта точка будет и точкой абсолютного экстремума функции на (а, b).

Пример. на[–1; 2]

Следовательно: — абсолютный минимум;

—абсолютный максимум

функции на [–1; 2].

Функция двух переменных,область определения,непрерывности

Переменная величина называется функцией двух независимых переменных иy: z = f (x, y) (или функцией точки z = f (M)), заданной на множестве D, если по некоторому закону каждой паре (каждой точке) соответствует определенное значениеz.

Функциональную зависимость отизаписывают в видеz =f (x, y) или z = f (M), или z = z (x, y). Множество называется областью определения функции и обозначаетсяD ( f ). Онa находится из двух условий:

1) В множество включаются все точки плоскостиOXY, где выражение определено, т. е. имеет смысл.

2) Если функция получена для некоторой физической задачи, то учитывается смысл переменных и .

Число называется пределом функции при (или), если для любого числанайдется число, зависящее от ε, такое, что для всех точек, отстоящих от точкине более чем на δ, выполняется неравенство:

.

Обозначается или.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и.

Функция называетсянепрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке области D.

Область непрерывности элементарной функции совпадает с областью ее определения.

Задание 2. Найти область определения и область непрерывности функции

Изобразить область графически.

Решение. Выражение, определяющее функцию, имеет смысл при двух условиях:

а) аргумент логарифма должен быть положительным;

б) знаменатель дроби не равен нулю.

Таким образом, область определения функции представляет собой решение системы неравенств:

Рис. 1

Уравнение определяет окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (табл. 1). Решением неравенстваявляется множество точек, расположенных вне круга радиуса 1. Из этого множества нужно исключить точки окружности с центром в начале координат и радиуса

Область определения функции изображена на рис. 1.

Область непрерывности функции совпадает с областью определения. Точки окружности являются точками разрыва функции, также точками разрыва являются точки окружностиограничивающей область определения функции.

Линии уровня функции f(x,y)

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек плоскости из области определения функции таких, что во всех точках этого множества значение функции одно и то же: ,ЧислоC называется уровнем функции.

Уравнение совокупности линий уровня функции имеет вид:

, где C — постоянная.

Если нужно выделить определенную линию уровня, проходящую через данную точку М0 (х0, y0), то значение постоянной С определяем из условия: точка М0 лежит на линии и, следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению линии: Таким образом уравнение такой линии уровня имеет вид:

(1)

Задание 3. Записать уравнение семейства линий уровня функции . Выделить линию уровня, проходящую через точкуМ0 (2, –1) и изобразить ее графически.

Решение. Данная функция определена на всей плоскости, т. е. Уравнение семейства линий уровня имеет вид:

(2)

При С < 0 множество решений уравнений пусто, при С = 0 уравнение определяет точку (0, 0) и при С > 0 уравнение определяет эллипс. Выделим линию уровня, проходящую через точку М0 (2, –1). Для этого в уравнение (2) подставим координаты точки М0:

Следовательно, при С = 2 линия уровня проходит через данную точку и её уравнение

Рис. 2

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде и построим его (табл. 1):

Центр эллипса в начале координат, полуось по оси Ox полуось по осиOy (рис. 2).

Таблица 1