ПРЕДИКАТЫ

В алгебре логики все высказывания рассматриваются как истина или лож. Ни структура высказываний, ни их содержание не затрагиваются. В науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания, следовательно, алгебра логики оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений. В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, такой логической системой является логика предикатов

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект - это то, о чем что-то

утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о

субъекте.

Предикаат (n-местный, или n-арный) - это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве

M = M1 × M2 ×…× Mn. Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат называют тождественно- истинным если на любом наборе

аргументов он принимает значение 1 и пишут:

P(x1,…, xn) ≡ 1

Предикат называют тождественно- ложным если на любом наборе

аргументов он принимает значение 0 и пишут:

P(x1,…, xn) ≡ 0

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Одноместный предикат

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью

определения предиката.

Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х).

Тождественно истинный предикат

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если 1р = М (1р = ).

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Двухместный предикат

Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух переменных х и у (субъекты предиката), определенная на множестве М =М1 М2 (х М1 , у М2 ) и принимающая значения из множества {1,0}.