- •предикатов
- •Структура высказывания и их содержание не затрагивает некие глубинные процессы, которые можно сформулировать,
- ••Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании.
- ••Дизъюнкция предиката р(х), Q(х) - это новый предикат р(х) Q(x), который принимает ложное
- ••Наряду с образованием из предикатов единичное высказывание в логике предикатов рассматривает две операции,
предикатов
Логика
Структура высказывания и их содержание не затрагивает некие глубинные процессы, которые можно сформулировать, то есть структуру и содержание. Например, в рассуждении «Всякий ромб – параллелограмм, если а,в,с,д – ромб, то АВСД – параллелограмм». Здесь посылки и заключения являются элементами высказывания и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые неделимые без учета их внутренней структуры.
Возникает необходимость построения такой логической системы, средствами которой можно было исследовать и структуры тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные. Такой логической системой является логика предикатов, которая содержит логику высказываний
в качестве своей части. Логика предикатов расчленяет элементы высказывания на субъект (подлежащее, хотя оно может играть роль дополнения) и предикат (сказуемое, хотя оно может играть роль
определения).
В алгебре логике высказывание – это нераздельное целое только с точки зрения их истинности и ложности.
•Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании.
•Предикат – это то, что утверждается о субъекте.
•7 – субъект, а простое число – предикат. Если заменить «7» переменной х из множества N, то получим следующую высказывательную форму: « х – простое число». При одних значениях эта формула истинна, при других ложна. Ясно, что имеем функцию одной переменной х, определенной на множестве натуральных чисел N и принимающее значение {0;1}.
•Одноместным предикатом р(х) называется произвольная функция переменной х, определенной на множестве М и принимающее значение из {0;1}.
•Множество М, на котором определен предикат р(х) называется областью определения предиката.
•Множество всех элементов х (х М), при которых предикат принимает значение истинно называется множеством
истинности предиката р(х).
• |
Ip={х: х М, р(х)=1}. |
•Так предикат р(х), где х-простое число, является определенным на множестве М.
•Множество I(p) – множество всех простых чисел.
•Предикат р(х) определенный на множестве М называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I(p)=M, I(p)=
•Двуместным предикатом р(х;у) называется функция двух переменных х, у, определенная на множестве М1 и М2, принимающая значение из множества {0;1}.
•Логические операции над предикатами.
•К предикатам применяются все операции логики высказывания.
•Конъюнкцией предикатов р(х), Q(x), называется предикат р(х) Q(х),который принимает значение истинны при тех и только тех значениях х М, когда каждый из предикатов принимает значение истинны, а во всех остальных случаях ложно.
•Областью истинности конъюнкции предиката является Ip IQ.
•Дизъюнкция предиката р(х), Q(х) - это новый предикат р(х) Q(x), который принимает ложное значение, при тех и только тех значениях х М, при которых каждый из предикатов принимает ложное значение и принимает истинное значение во всех остальных случаях.
•Областью истинности дизъюнкции предиката является Ip IQ.
• |
___ |
•Отрицание предиката р(х) - это новый предикат р(х), который принимает истинное значение, при всех х М, при которых предикат р(х) принимает ложное значение и наоборот.
•Импликацией предикатов р(х), Q(х) называется новый предикат р(х)→q(x), который является ложным при х М, при которых р(х)=1,
|
q(х)=0 и значение истинны во всех остальных случаях. __ ___ |
• |
Р(х) v q(x) = p(x)→q(x) |
• |
Кванторные операции. |
• |
Пусть имеется предикат р(х), определенный на множестве М, |
|
если а является некоторым элементом из множества М, то |
|
подстановка его вместо х в предикат р(х), превращает предикат в |
• |
высказывательную формулу |
___ ___ |
|
• |
p(x)→Q(x) = p(x) v q(x) |
•такое высказывание называется единичным.
•Наряду с образованием из предикатов единичное высказывание в логике предикатов рассматривает две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.
• |
Квантор всеобщности. |
• |
•Пусть р(х) - это некий предикат, определенный на множестве М, тогда под выражением х р(х) понимают высказывание истинное для любого элемента из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х и читается «для всякого х, р(х) – истинно.»
•- квантор всеобщности.
•Переменная х в предикате р(х) называется свободной ( ей можно присвоить различное значение из М), а в высказывании хр(х) переменная х называется связанной квантором всеобщности.
• |
Квантор существования . |
• |
|
• |
Пусть р(х) предикат, определенный на множестве М,тогда под |
|
выражением хр(х) понимается высказывание, которое является |
|
истинным если существует элемент х из множества М, для |
|
которого р(х) истинно и ложно в противном случае. Это |
|
высказывание также не зависит от х и читается: «существует х, |
|
при котором р(х) истинно»; в этом случае переменная х |
|
считается связанной квантором существования. |