- •Элементы теории нечётких
- •Однин из простейших способов математического описания нечёткого множества – это характеристика степени принадлежности
- •Определение 3.1
- •Определение 3.2 Нечёткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на
- •Определение 3.5 Пусть А и В нечёткие множества в Х, а (х) и
- •Отметим, что если А и В – нечёткие множества в Х, что В
- •Определение 3.7 Объединением нечётких множеств А и В в Х называют нечёткое множество,
- •Определение 3.9 Дополнением нечёткого множества А в Х называется нечёткое множество ААс функцией
- •Определение 3.10
- •Определение 3.11 Множеством уровня α нечёткого множества А в Х называется множество, обозначаемое
- •Решение.
- •Прежде чем рассмотреть понятие нечётких отношений, сначала дадим определения обычных отношений на множестве
- •Определение 3.12 Пусть на одном и том же множестве Х – это значит
- •Элементы определяются следующим
- •Определение 3.13
- •Определение 3.14
- •Определение 3.15
- •Пример 3.3
- •Решение Составим декартово произведение
- •А) Согласно определению 3.13, имеем:
- •В) По определению 3.15 1 0 0
- •Определение 3.16
- •Определение 3.17
- •Определение 3.19
- •Определение 3.20 Максминное произведение
- •Пример 3.4
- •Решение.
- •В) Для определения R ◦ R сначала составим декартово произведение
- •По определению 3.21 функция принадлежности минмаксного произведения R ◦ R нечётких отношений R
- •Г) По определению 3.19 функция принадлежности нечёткого отношения R для каждого элемента множества
Элементы теории нечётких
множеств
Понятие нечёткого множества – попытка математической формализации нечёткой информации с целью её использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству в различной степени. При таком подходе высказывания типа «элемент x принадлежит данному множеству»
теряют смысл, так как необходимо
Однин из простейших способов математического описания нечёткого множества – это характеристика степени принадлежности элемента множеству чисел, например, из промежутка [0,1].
Определение 3.1
Пусть Х некоторое множество элементов. |
|
Нечётким множеством С в Х называется |
|
совокупность пар вида (х, |
(х) ), где х ϵ |
Х, а |
|
: Х→[0,1] – функция (т . |
- закон |
соответствия , по которому каждому элементу х ϵ Х ставится в соответствие единственное число отрезка [1,0]), называется функцией принадлежности нечёткого множества С. Значение (х) этой функцией для конкретного элемента х называется степенью принадлежности этого элемента к нечёткому множеству С.
Определение 3.2 Нечёткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всём множестве Х, т.е. = 0 для каждого элемента х ϵ Х.
Определение 3.3 Множество Х называется универсальным, если его функция принадлежности µᵪ(х) = 1 для каждого элемента х ϵ Х.
Определение 3.4 Носителем нечёткого множества А с функцией принадлежности
(х) называется множество, обозначаемое suppA и определяемое формулой
suppA = {x|x ϵ (x)>0}.
Определение 3.5 Пусть А и В нечёткие множества в Х, а (х) и
(х) – их функции принадлежности. Говорят, что А включает в себя В (обозначается В А), если для каждого элемента х ϵ Х выполнено неравенство
(х) (х).
Определение 3.6 Нечёткие множества А и В в Х называют эквивалентными или совпадающими, если (х)=
(х) для каждого элемента х ϵ Х.
Отметим, что если А и В – нечёткие множества в Х, что В А, то suppB suppA.
Вводя операции над нечёткими множествами, необходимо помнить, что класс нечётких множеств охватывает и множества в обычном смысле. Поэтому для нечётких множеств есть операции, которые соответствуют обычным операциям, принятым в теории множеств.
Определение 3.7 Объединением нечётких множеств А и В в Х называют нечёткое множество, обозначаемое AUB и имеющее функцию принадлежности
(х)=max{ |
(x), (x)}, х ϵ Х. |
Определение 3.8 Пересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество А В и имеющее функцию принадлежности
(х)=min { |
(x), (x)}, х ϵ Х. |
Определение 3.9 Дополнением нечёткого множества А в Х называется нечёткое множество ААс функцией пинадлежности
(х)=1 – (х), х ϵ Х. Пример 3.1 Пусть дано нечёткое множество
А = {Множество чисел гораздо больших 0}.
Тогда АА= {Множество чисел, не являющихся гораздо больше 0}
Определение 3.10
Разностью нечётких множеств А и В в Х называется нечёткое множество, обозначаемое АΘВ и имеющее функцию принадлежности
Определение 3.11 Множеством уровня α нечёткого множества А в Х называется множество, обозначаемое , составленное из элементов х ϵ Х, степени принадлежности которых нечёткому множеству А не меньше числа α: ={х α}.
Представление нечёткого множества А в Х в виде А = U , где = α
(х), называется разложением множества по его множествам уровня α. Здесь объединение нечётких множеств α берётся в соответствие с определением 3.7 по всем α
Пример 3.2 Дано множество Х = {3, 4}, а функции принадлежности нечётких множеств и В и заданы таблицей:
1.Найти объединение, пересечение, разность Нечётких множеств
А и В в Х, а также дополнение нечёткого
множества А в Х.
2. Разложить нечёткое множество В по множествам уровня α.