алгебра / дополнительная лит-ра / Начала линейной алгебры

НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Ростов-на-Дону 2012

0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2012

1

УДК 512 (075.8) Н 36

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Фундаментальная

и прикладная математика» П.В. Николенко (РГЭУ («РИНХ»), г.Ростов-на-Дону)

Авторы: Г.И. Волокитин, В.И. Ларченко, Д.А. Азаров, Ю.С. Редько

Н36 Начала линейной алгебры: учеб. пособие / Г.И. Волоки-

тин и др. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2012. – 63 с.

Изложены основные вводные понятия линейной алгебры. Каждая рассматриваемая тема сопровождается решением задач и примеров, разъясняющих теоретические положения.

Предназначено для студентов, изучающих базовый курс математики. Пособие рекомендовано студентам всех форм обучения как технических специальностей, так и экономических.

УДК 512 (075.8)

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета

Научный редактор	доктор технических наук,
	профессор В.Б. Федосеев

Г.И. Волокитин, В.И. Ларченко, Д.А. Азаров, Ю.С. Редько, 2012

Издательский центр ДГТУ, 2012

2

Предисловие

Учебное пособие содержит основные начальные понятия линейной алгебры. Знание элементов линейной алгебры является необходимым при изучении различных математических дисциплин. Методы алгебры имеют также и самостоятельное значение в инженерной подготовке. В предлагаемом пособии рассматриваются понятия матрицы и ее числовых характеристик. Аппарат матриц последовательно применяется к исследованию систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены понятия линейного пространства и линейного оператора. Приведены сведения о задаче на собственные значения. Дано понятие квадратичной формы.

Выбор отобранных тем соответствует государственному стандарту по математике в базовой подготовке бакалавров как технических, так и экономических специальностей. По всем выбранным темам теоретический материал дополнен образцами решения типовых примеров и задач. Авторы полагают, что учебное пособие окажет помощь студенту в самостоятельной работе и при подготовке к экзаменам.

1. МАТРИЦЫ, ВИДЫ МАТРИЦ

Определение. Матрицей размеров m n называется упорядоченная совокупность mn элементов, представленных таблицей, состоящей из m строк и n столбцов.

В сравнении с числом матрица - новый самостоятельный математический объект. Матрицы имеют различные применения во многих разделах математики. Они широко используются во всех естественнонаучных дисциплинах и программировании. Матрицы принято обозначать заглавными буквами: A, B и т.д. В подробном виде матрицы будем обозначать при помощи круглых скобок:

	a11	a12		...	a1n
	a	a		...	a			aij .
	A 21		22	...		2n			(1)
	...	...			...
		am2		...
	am1				amn
где i 1,2,...,m;	j 1,2,...,n.

Место элемента в таблице указывает двойной нижний индекс. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца. Например, математический объект

3

2	3	4	5
A	0	1 2	8
1
– это матрица размеров 2 4 (2-й строки,				4-го столбца). Здесь один
из элементов a23 1 2 .	m n )
В общем случае (если			матрица называется прямо-

угольной, если m n, матрица называется квадратной, а число n –

ее порядок.

Если m 1, получаем матрицу-строку, если n 1, то имеем матрицу-столбец (в обоих случаях называемую вектором).

Если m 1 и n 1, получаем число.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не расположенные на главной диагонали, равны 0. Главную диагональ квадратной матрицы n-го порядка A образуют элементы

a11, a22 , …, ann . В частности, если диагональные элементы диаго-

нальной матрицы равны 1, то имеем единичную матрицу. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

	1		0	0
E		0	1	0
					.
		0	0	1

В последующем, когда будет определена операция перемножения матриц, единичная матрица играет роль нейтрального элемента. При сложении матриц нейтральным элементом является нульматрица. Она заполнена только нулями. Действия с диагональными матрицами выполнить проще, чем действия с произвольными матрицами. Также удобно использовать и треугольные матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы выше (либо ниже) главной диагонали равны нулю.

2.ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ

1.Определение равенства матриц. Две матрицы A и B на-

зываются равными, если они имеют одинаковые размеры и соответствующие элементы совпадают:

	A B		aij bij ,
где i 1,2,...,m;	j 1,2,...,n.

4

Пример 1. Даны матрицы X		и A:	x		x
			X	11	12	,
				x	x
				21	22
2	14	X , если	X A.
A	. Найти элементы матрицы
1 3	1

Решение. Равенство возможно, так как матрицы одинаковых размеров. Далее уравниваем соответствующие элементы и получаем

ответ: x11 2, x12 14 , x21 13, x22 1.

2. Определение линейных операций. К линейным операциям над матрицами относятся операция сложения матриц и операция умножения матрицы на число.

Операция сложения определена для матриц одинаковых размеров по правилу сложения соответствующих элементов:

A B aij bij .

Пример 2. Даны матрицы	2 3	4	5	3		2	5 100
	A			, B			.
	1 0 12 8				1 12 3 2 0

Найти сумму матриц A и B.

Решение. Так как матрицы одинаковых размеров, определена сумма матриц, их сумма – матрица таких же размеров. Складывая

соответствующие элементы, имеем
2 3	3 2	4 5	5 100			5 1		1 105
A B		1 2 3 2		8 0			0 12	2 8	.
1 1 0 12

Операция умножения матрицы на число определена для любой матрицы по правилу умножения каждого элемента матрицы на это число:

k aij kaij .

	2	3	4	5
Пример 3. Дана матрица A		0	1 2	8	и число
1

k 2 . Найти матрицу kA.

Решение. Произведение матрицы на число – это матрица таких же размеров, что и исходная матрица. Чтобы найти ее элементы, следует каждый элемент исходной матрицы умножить на указанное

число:
2 2	3 2	4 2	5 2		4		6 8 10
2A	0 2 1 2 2		8 2			2	0 1 16	.
1 2

5

Замечания: а) матрица 1 A A называется противопо-

ложной матрице A. С помощью противоположной матрицы вводится операция вычитания матриц: разность B A – это сумма B A ;

б) непосредственно из определений следует, что линейные операции над матрицами подчиняются законам арифметики для чисел.

3. Определение операции умножения матрицы на матрицу.

Произведение матрицы A (слева) на матрицу B (справа) определено, если согласованы размеры матриц: необходимо, чтобы число столбцов левой матрицы A совпадало с числом строк правой матрицы B. В результате перемножения матриц получится матрица, которая наследует число строк левой матрицы A и число столбцов пра-

вой матрицы B:		Am n	Bn k Cm k . При этом элемент				cij матрицы-
произведения	C	есть	сумма произведений		элементов		i-й строки
левой матрицы	A на соответствующие элементы					j-го столбца пра-
вой матрицы B:		cij ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj .
Напомним, i 1,2,...,m . j 1,2,...,k .
							1	2
Пример 4. Даны матрицы				2 3	4	5
				A		и	B 2	1 .
				1 0 1 2 8			2	0
Найти произведение A B.							0	3
					A
Решение.		Количество строк		матрицы		равно количеству
столбцов матрицы		B,	следовательно, произведение A B C опре-

делено. Матрица C имеет размеры 2 2 . Покажем подробно вычисление элементов матрицы C . Рассматривая первую строку матрицы A и первый столбец матрицы B, найдем элемент c11 :

c11 2 1 3 2 4 2 5 0 12 .

Аналогично вычислим остальные элементы матрицы C . Перемножая элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы второго столбца B и складывая, получим

6

c12 2 2 3 1 4 0 5 3 22 .

Далее

c21 1 1 0 2 12 2 8 0 2 ,

c22 1 2 0 1 12 0 8 3 26.

Итак,

12		22
A B	2	26	.

В общем случае матрица B A может быть не определена. Отметим, произведение B A здесь также возможно:

	0		3	14	11
	5	6		15 2	18
B A						.
4			6	8	10
	3		0	3 2	24

Замечание. Операция перемножения матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, однако коммутативный закон, вообще говоря, не выполняется (даже если определены оба произведения A B и B A): A B B A. Однако «перестановочны» диагональные матрицы. Например,

			d		0	0	d		0	0	d d		0	0
								11				11 11
				11
	D D			0	d22		0		d22	0 0			d22d22	0	D D.
						0
				0	0			0				0	0	d d
						d33			0 d
										33				33 33
			Отметим			легко			проверяемые			равенства:		A E A и
	E A A. Здесь					E – соответствующие единичные матрицы. Эти ра-

венства поясняют, что при перемножении единичная матрица играет роль нейтрального элемента.

	3		4	5					1					0
Пример 5. Пусть A		1	0	2		,	E			0		,	E		0
							1						3
		1	1	3						0					1
- единичные векторы. Найти произведения A E ,									E		A.
							3			1

7

	3 0 4 0 5 1			5
Решение. A E3					2			1 0	0 -
		1 0 0 0 2 1				.	E1
					3
		1 0 1 0 3 1
матрица-строка. Произведение E A определено:
		1
E1 A 1 3 0 1 0 1		1 4 0 0 0 1 1 5 0 2 0 3 3 4							5 .

Видим, умножение на единичные векторы выделяет в матрице строки или столбцы.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений

сn неизвестными x1,x2,...,xn :

a11x1 a12 x2 ... a1nxn b1,

				... a2nxn			b2 ,
a21x1 a22 x2
							(2)
...........................................
a	m1	x a	x	... a	mn	x	b .
		1	m2 2			n	m

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов (1), а также матри- цы-столбцы неизвестных и правых частей:

x1			b1
x		,	b
X 2			B 2	.
...			...
xn			bm

Тогда, используя операцию умножения матриц, систему (2) можно записать в матричном виде:

A X B .

3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТРИЦ. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Важнейшими числовыми характеристиками являются определитель квадратной матрицы и ранг матрицы. Разберем понятие определителя подробно. Рассмотрим систему (2) для случая m n 2 :

a		x	a	x	b ,	(3)
	11	1	12	2	1
a21x1 a22 x2 b2.

8

Исключая неизвестные (например, из первого уравнения выразим x1

и подставим во второе уравнение), несложно получить формулы для неизвестных:

x	b1a22		b2a12			,	x	b2a11		b1a21			.	(4)
1	a a	22	a	21	a		2	a a	22	a	21	a
	11				12			11				12

Видим, в формулах (4) знаменатель - одно и то же число, которое определяет характер системы (3). Если a11a22 a21a12 0, то сис-

тема (3) имеет единственное решение. Если =0, а хотя бы один из числителей в формулах (4) отличен от нуля, то система не имеет решения. В этом случае равенства, предшествующие (4):

a11a22 a21a12 x1 b1a22 b2a12;

a11a22 a21a12 x2 b2a11 b1a21 ,

невыполнимы. Наконец, если =0 и оба числителя в формулах (4) равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений. При вычислении задействованы все элементы матрицы A, а так как эта матрица определяет систему, то естественно число называть

определителем матрицы системы.

Определение. Определителем второго порядка матрицы A называется число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали:

A		det A	a11	a12	a a	22	a	21	a .	(5)
			a21	a22	11				12

В левой части формулы (5) различные обозначения, принятые для определителя, правая часть выражает порядок вычисления (раскрытия) определителя. Подчеркнем, в определении главный упор делается на схему вычисления.

Используя понятие определителя, соотношения (4), выражающие решение системы, можно переписать в виде формул Кра-

мера:

					x			1			,			x		2	,			(6)
			1										2
где		b1	a12		,					a11		b1		. Определители				и		полу-
1		b	a			2				a		b			1				2
		2	22							21		2

чаются из определителя заменой в нем соответственно первого и второго столбцов на столбец правых частей.

9