дгту / королькова / Математика к.р.1

Контрольная работа №1

Вариант 6

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C² – 2C^T -3C^-1.

а = 3, b = -2, c = 1, d = 1.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С^-1.

Главный определитель:

∆ = (3•3-(-1•(-4)) = 5

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С₁₁=(-1)¹⁺¹·3=3; С₁₂=(-1)¹⁺²·(-4) = 4; С₂₁=(-1)²⁺¹·(-1)=1; С₂₂=(-1)²⁺²·3=3;

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = 3, b = -2, c = 1, d = 1.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 6(12^.2-8^.5) -6(9^.2 – 5 ^.15) + (9^.8 – 15 ^.12) = -96 + 342-108 = 138.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δ_х1 = -6(2^.(-12) – 5 ^.(-18)) + (8^.(-12) – 12 ^.(-18)) = -396 + 120 = -276.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х2 = 6^.(2^.(-12) – 5 ^.(-18)) + (9^.(-18) – 15 ^.(-12)) = 396 + 18 = 414.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х3 = 6^.((-18)^.12-(-12)^.8) - 6(9^.(-18) –15 ^.(-12)) = -720 - 108 = -828.

Неизвестные переменные x_i:

Проверка: 6^.(-2) + 6^.3 + 1^.(-6) = 0.

9^. (-2) - 12^.3 + 5^. (-6) = -12.

15•(-2) - 8•3 + 2•(-6) = -18.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 138 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹(12^.2 – 5^.8) = -16,

A₁₂ = (-1)¹⁺²(2^.6 – 8) = -4,

A₁₃ = (-1)¹⁺³(5^.6 – 12) = 18,

A₂₁ = (-1)²⁺¹(2^.9 – 15^.5) = 27,

A₂₂ = (-1)²⁺²(2^.6 – 15) = -3,

A₂₃ = (-1)²⁺³(30 – 9) = -21,

A₃₁ = (-1)³⁺¹(72 – 180) = -108,

A₃₂ = (-1)³⁺²(48– 90) = 42,

A₃₃ = (-1)³⁺³(72 – 54) = 18,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: 6^.(-2) + 6^.3 + 1^.(-6) = 0.

9^. (-2) - 12^.3 + 5^. (-6) = -12.

15•(-2) - 8•3 + 2•(-6) = -18.

в) Решение методом Жордана-Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (6).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (6), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
6 / 6 = 1	6 / 6 = 1	1 / 6 = 0.17	0 / 6 = 0

Разрешающий элемент равен (3).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	3.5 / 3 = 1.17	-12 / 3 = -4

Разрешающий элемент равен (7.67).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / 7.67 = 0	0 / 7.67 = 0	7.67 / 7.67 = 1	-46 / 7.67 = -6

x₁ = -2

x₂ = 3

x₃ = -6

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R₃.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (5,1,4)

= (-1, 2, 3)

= (-1, 3, 2)

= (0, 14, 16)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R₃, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы:

Δ = 5 (2^.2-3^.3) - ((-1)^.2 – 3 ^.1) + 3((-1)*3-(-1)*2) = -25 + 5 - 3 = -23.

Так как определитель матрицы не равен нулю (-230), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R₃.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к _.

Провели следующие преобразования:

1) из 3 строки вычли 2 строку;

2) ко 2 столбцу прибавили 3 столбец;

3) к 2 строке прибавили третью строку, умноженную на 3;

4) к 1 строке прибавили третью строку, умноженную на 4;

5) 2 столбец разделили на 5;

6) к первому столбцу прибавили второй столбец.

7) Из 1 строки вычли вторую строку;

8) первый столбец разделили на 6;

9) 3 строку умножили на (-1).

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с₁a₁ + с₂a₂ + с₃a₃ = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-5.0000003). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 16/(-1)

x₂ = [-70.0000042 - ( - 11x₃)]/(-1.20000006)

x₁ = [0 - ( - 0.2x₂ + 4x₃)]/0.16666666

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Ответ. х = -18a₁ + 205а₂ + 630 а₃

Задание 4.

Элементы матрицы С_4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С_4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

2	3	4	1	2	0
1	1	7	1	6	0
3	2	1	5	8	0
2	1	-6	4	2	0

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	1	-10	-1	-10	0
1	1	7	1	6	0
3	2	1	5	8	0
2	1	-6	4	2	0

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	-10	-1	-10	0
0	1	20	-2	10	0
3	2	1	5	8	0
2	1	-6	4	2	0

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	-10	-1	-10	0
0	1	20	-2	10	0
0	1	20	-2	10	0
2	1	-6	4	2	0

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-30	1	-20	0
0	1	20	-2	10	0
0	1	20	-2	10	0
2	1	-6	4	2	0

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	-30	1	-20	0
0	0	0	0	0	0
0	1	20	-2	10	0
2	1	-6	4	2	0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0	0	0	0	0
0	0	-30	1	-20	0
0	1	20	-2	10	0
2	1	-6	4	2	0

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = -(x₄ - 20x₅)/(-30)

x₂ = -(20x₃ - 2x₄ + 10x₅)/1

x₁ = -(x₂ - 6x₃ + 4x₄ + 2x₅)/2

Необходимо переменные x₄,x₅ принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

Окончательный вид системы следующий:

x₁ = -(x₂ - 6x₃ + 4x₄ + 2x₅)/2

x₂ = -20x₃ + 2x₄ - 10x₅

x₃ = (x₄ - 20x₅)/30

x₄, x₅ - свободные переменные. 

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Подставим в качестве свободных переменных x₄ и x₅ число 1.

Тогда при x₄ = 1, x₅ = 1: x₃ = -19/30, x₁ = 217/30, x₂ = 14/3.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

Частное решение системы уравнений при x₄ = 0, x₅ = 0 имеет вид:

2. Считая матрицу С_4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной матрицы:

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

В матрице B 2-ая и 3-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 2-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 2-го уравнения системы, так как оно является следствием 3-го.

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Ответ: rang|А|=3

Определим ранг расширенной матрицы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	1	-10	-1	-10
1	1	7	1	6
3	2	1	5	8
2	1	-6	4	2

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	-10	-1	-10
0	1	20	-2	10
3	2	1	5	8
2	1	-6	4	2

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	-10	-1	-10
0	1	20	-2	10
0	1	20	-2	10
2	1	-6	4	2

В матрице B 2-ая и 3-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 2-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 2-го уравнения системы, так как оно является следствием 3-го.

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-30	1	-20
0	1	20	-2	10
2	1	-6	4	2

0	0	-30	1	-20
0	1	20	-2	10
2	1	-6	4	2

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Ответ: rang|А|=3

Следовательно, ранг основной и расширенной матрицы совпадает 3=3, и система уравнений является совместной.

Решим неоднородную систему уравнений:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.