Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

дгту / музиков / математика / М1 / Математика к.р.1.1

.docx
Скачиваний:
22
Добавлен:
19.05.2015
Размер:
213.69 Кб
Скачать

Контрольная работа №1

Вариант 1

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C2 – 2CT -3C-1.

а = -1, b = 1, c = 5, d = -4.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С-1.

Главный определитель:

∆ = (-1•15-2•4) = -23

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С11=(-1)1+1·15=15; С12=(-1)1+2·2 = -2; С21=(-1)2+1·4=-4; С22=(-1)2+2·(-1)=-1;

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = -1, b = 1, c = 5, d = -4.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = -2(-60+100) + 3(-30 + 125) + 5(12 – 30) = -80 + 285 - 90 = 115.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δх1 = 3(-100 + 375) + 5(40 – 90) = 825 - 250 = 575.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δх2 = -2.(-100 + 375) + 5(45 – 50) = -550 - 25 = -575.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δх3 = -2.(90 - 40) + 3(45 –50) = -100 - 15 = -115.

Неизвестные переменные xi:

Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.

-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.

-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 115 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A11 = (-1)1+1(-60 + 100) = 40,

A12 = (-1)1+2(-30 + 20) = 10,

A13 = (-1)1+3(-75 + 30) = -45,

A21 = (-1)2+1(-30 + 125) = -95,

A22 = (-1)2+2(-20 + 25) = 5,

A23 = (-1)2+3(-50 + 15) = 35,

A31 = (-1)3+1(12 – 30) = -18,

A32 = (-1)3+2(8 – 15) = 7,

A33 = (-1)3+3(12 – 9) = 3,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.

-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.

-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.

в) Решение методом Жордана-Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (-2).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (-2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

-2 / -2 = 1

-3 / -2 = 1.5

5 / -2 = -2.5

0 / -2 = 0

Разрешающий элемент равен (-1.5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

0 / -1.5 = 0

-1.5 / -1.5 = 1

17.5 / -1.5 = -11.67

-10 / -1.5 = 6.67

Разрешающий элемент равен (38.33).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

0 / 38.33 = 0

0 / 38.33 = 0

38.33 / 38.33 = 1

-38.33 / 38.33 = -1

x1 = 5

x2 = -5

x3 = -1

Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.

-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.

-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R3.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (2,3,2)

= (-1, 4, -1)

= (-1, -2, 4)

= (4, 11, 9)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R3, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы по первой строке:

Δ = 2(16 - 2) - 3(-4 – 1) + 2(2 + 4) = 28 + 15 + 12 = 55.

Так как определитель матрицы не равен нулю (550), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R3.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к .

Провели следующие преобразования:

1) из 3 столбца вычли 1 столбец;

2) из 3 строки вычли 2 строку;

3) из 2 столбца вычли 1,5 * 1 столбец;

4) к 2 столбцу прибавили 6/5 3 столбца;

5) ко 2 строке прибавили 0,5 * 1 строку;

6) 1 столбец разделили на 2.

7) 2 столбец разделили на 5,5;

8) 3 столбец разделили на 5;

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с1a1 + с2a2 + с3a3 = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (100.0001017501). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x3 = 882.0009157509/20.00002035002

x2 = -18/(-0.36363637)

x1 = [4 - ( - 0.49x2 - 0.2x3)]/0.50000000

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Ответ. х = 44,1a1 + 49,5а2 + 74,24 а3

Задание 4.

Элементы матрицы С4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1

4

3

2

1

0

0

1

-1

-2

2

0

2

9

5

2

4

0

2

7

7

6

0

0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

1

-1

-2

2

0

1

4

3

2

1

0

2

9

5

2

4

0

2

7

7

6

0

0

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

1

-1

-2

2

0

0

-1

1

2

-2

0

2

9

5

2

4

0

2

7

7

6

0

0

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0

1

-1

-2

2

0

0

-1

1

2

-2

0

0

2

-2

-4

4

0

2

7

7

6

0

0

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

0

0

0

0

0

-1

1

2

-2

0

0

2

-2

-4

4

0

2

7

7

6

0

0

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

-2

-4

4

0

2

7

7

6

0

0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

-2

-4

4

0

2

7

7

6

0

0

Теперь исходную систему можно записать как:

x2 = - (- 2x3 - 4x4 + 4x5)/2

x1 = - (7x2 + 7x3 + 6x4)/2

Необходимо переменные x3,x4,x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Окончательный вид системы следующий:

x1 = - (7x2 + 7x3 + 6x4)/2

x2 = - (- 2x3 - 4x4 + 4x5)/2

x3, x4, x5 - свободные переменные. 

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Подставим в качестве свободных переменных x3, x4 и x5 число 1.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

Частное решение системы уравнений при x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 имеет вид:

Из 3-ой строки выражаем x2

Из 4-ой строки выражаем x1

2. Считая матрицу С4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной матрицы:

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Умножим 1-ую строку на (2).

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Ответ: rang|А|=2

Определим ранг расширенной матрицы:

1

4

3

2

1

0

1

-1

-2

2

2

9

5

2

4

2

7

7

6

0

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

1

-1

-2

2

1

4

3

2

1

2

9

5

2

4

2

7

7

6

0

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

1

-1

-2

2

0

-1

1

2

-2

2

9

5

2

4

2

7

7

6

0

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0

-1

1

2

-2

2

9

5

2

4

2

7

7

6

0

Умножим 1-ую строку на (2). 

0

-1

1

2

-2

2

9

5

2

4

2

7

7

6

0

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

-1

1

2

-2

0

2

-2

-4

4

2

7

7

6

0

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Соседние файлы в папке М1