дгту / музиков / математика / М1 / Математика к.р.1.1
.docx
Контрольная работа №1
Вариант 1
Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C2 – 2CT -3C-1.
а = -1, b = 1, c = 5, d = -4.
,
,
,
Найдем обратную матрицу С-1.
Главный определитель:
∆ = (-1•15-2•4) = -23
Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:
С11=(-1)1+1·15=15; С12=(-1)1+2·2 = -2; С21=(-1)2+1·4=-4; С22=(-1)2+2·(-1)=-1;
Тогда обратная матрица имеет вид:
Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
Найдем матрицу R:
Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы
а = -1, b = 1, c = 5, d = -4.
Решить систему уравнений тремя методами:
а) по формулам Крамера,
б) матричным методом,
в) Методом Жордана-Гаусса.
а) Решение СЛАУ методом Крамера:
Найдем главный определитель матрицы:
Δ = -2(-60+100) + 3(-30 + 125) + 5(12 – 30) = -80 + 285 - 90 = 115.
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:
Δх1 = 3(-100 + 375) + 5(40 – 90) = 825 - 250 = 575.
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В
Δх2 = -2.(-100 + 375) + 5(45 – 50) = -550 - 25 = -575.
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В
Δх3 = -2.(90 - 40) + 3(45 –50) = -100 - 15 = -115.
Неизвестные переменные xi:
Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.
-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.
-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.
б) Решение матричным методом:
Найдем главный определитель матрицы:
Δ = 115 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.
Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:
Алгебраические дополнения.
A11 = (-1)1+1(-60 + 100) = 40,
A12 = (-1)1+2(-30 + 20) = 10,
A13 = (-1)1+3(-75 + 30) = -45,
A21 = (-1)2+1(-30 + 125) = -95,
A22 = (-1)2+2(-20 + 25) = 5,
A23 = (-1)2+3(-50 + 15) = 35,
A31 = (-1)3+1(12 – 30) = -18,
A32 = (-1)3+2(8 – 15) = 7,
A33 = (-1)3+3(12 – 9) = 3,
Обратная матрица:
Вектор результатов:
Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.
-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.
-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.
в) Решение методом Жордана-Гаусса:
Составим расширенную матрицу:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (-2).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (-2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
-2 / -2 = 1 |
-3 / -2 = 1.5 |
5 / -2 = -2.5 |
0 / -2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешающий элемент равен (-1.5).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
|
|
|
|
0 / -1.5 = 0 |
-1.5 / -1.5 = 1 |
17.5 / -1.5 = -11.67 |
-10 / -1.5 = 6.67 |
|
|
|
|
Разрешающий элемент равен (38.33).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 / 38.33 = 0 |
0 / 38.33 = 0 |
38.33 / 38.33 = 1 |
-38.33 / 38.33 = -1 |
x1 = 5
x2 = -5
x3 = -1
Проверка: -2.5 - 3.(-5) + 5. (-1)) = 0.
-3. 5 - 6.(-5) + 25. (-1)= -10.
-5•5 - 4.(-5) + 10•(-1)) = -15.
Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:
а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R3.
б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.
= (2,3,2)
= (-1, 4, -1)
= (-1, -2, 4)
= (4, 11, 9)
а) Система векторов линейного пространства образует базис в R3, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :
Вычислим определитель основной матрицы по первой строке:
Δ = 2(16 - 2) - 3(-4 – 1) + 2(2 + 4) = 28 + 15 + 12 = 55.
Так как определитель матрицы не равен нулю (550), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R3.
б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к .
Провели следующие преобразования:
1) из 3 столбца вычли 1 столбец;
2) из 3 строки вычли 2 строку;
3) из 2 столбца вычли 1,5 * 1 столбец;
4) к 2 столбцу прибавили 6/5 3 столбца;
5) ко 2 строке прибавили 0,5 * 1 строку;
6) 1 столбец разделили на 2.
7) 2 столбец разделили на 5,5;
8) 3 столбец разделили на 5;
Матрица перехода имеет вид:
Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с1a1 + с2a2 + с3a3 = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (100.0001017501). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = 882.0009157509/20.00002035002
x2 = -18/(-0.36363637)
x1 = [4 - ( - 0.49x2 - 0.2x3)]/0.50000000
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Ответ. х = 44,1a1 + 49,5а2 + 74,24 а3
Задание 4.
Элементы матрицы С4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:
1. Считая матрицу С4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы
а) фундаментальную систему решений;
б) общее решение;
в) какое-нибудь частное решение.
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-4 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-4 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-4 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-4 |
4 |
0 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
Теперь исходную систему можно записать как:
x2 = - (- 2x3 - 4x4 + 4x5)/2
x1 = - (7x2 + 7x3 + 6x4)/2
Необходимо переменные x3,x4,x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Окончательный вид системы следующий:
x1 = - (7x2 + 7x3 + 6x4)/2
x2 = - (- 2x3 - 4x4 + 4x5)/2
x3, x4, x5 - свободные переменные.
Заданная система уравнений имеет множество решений.
Подставим в качестве свободных переменных x3, x4 и x5 число 1.
Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:
Частное решение системы уравнений при x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 имеет вид:
Из 3-ой строки выражаем x2
Из 4-ой строки выражаем x1
2. Считая матрицу С4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.
Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.
Определим ранг основной матрицы:
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Умножим 1-ую строку на (2).
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Ответ: rang|А|=2
Определим ранг расширенной матрицы:
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 |
1 |
-1 |
-2 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
|
|
|
|
Умножим 1-ую строку на (2).
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
2 |
9 |
5 |
2 |
4 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
2 |
-2 |
-4 |
4 |
2 |
7 |
7 |
6 |
0 |
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.