дгту / ждан / математика / М2 / Математика к.р.2.2 (продолжение)

Контрольная работа №2

Вариант 2

Задание 7. Найти пределы, используя элементарные способы раскрытия неопределенностей или правило Лопиталя:

а)

б)

В соответствии с правилом Лопиталя:

в)

так как при х → 0 → 3х, а также = 1+ х - 1 = х:

Задание 8. Построить график функции у =f(x), используя общую схему исследования функции. Определить абсолютный максимум и абсолютный минимум функции на отрезке [a,b]:

1) Область определения функции , точек разрыва нет;

Пересечение с осью х: у = 8.

Пересечение с осью у:

Тогда точки пересечения с осью у: х = -8, х = 1.

Функция – кубическая парабола - является нечетной (график функции обладает симметрией относительно изменения знака аргумента), не периодична.

2) Проведем исследование функции с помощью первой производной:

Определим критические точки:

,

,

Исследуемая функция монотонно возрастает на интервале и убывает на интервале .

3) Исследуeм функцию с помощью производной второго порядка, найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Следовательно, точка перегиба: (-1;0)

На интервале - функция выпуклая.

На интервале - функция вогнутая.

4) Определим асимптоты:

А) Вертикальные асимптоты:

Вертикальных асимптот нет (т.к. отсутствует такое значение х, при котором функция обращается в бесконечность).

Б) Наклонные асимптоты:

_{Построим график функции}

Функция непрерывна на отрезке [-1;3], поэтому имеет абсолютный минимум и абсолютный максимум. Данные для построения графика функции:

х	у
-1	28
-0,5	16,875
0	8
0,5	2,125
1	0
1,5	2,375
2	10
2,5	23,625
3	44

Из графика видно, что абсолютный максимум на данном отрезке функция достигает в точке [3;44], а абсолютный минимум – в точке [1; 0].