дгту / запольская / математика / Математика к.р.2

Контрольная работа №2

Вариант 4.

Задание 1. Найти производные первого порядка данных функций:

а)

б)

в)

г)

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у=f(x) в точке с абсциссой х₀:

Уравнение касательной в точке с абсциссой х₀ имеет вид:

_{Тогда при х0} = -1:

_{Определим уравнение касательной в точке х0:}

Нормаль - прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде: .

_{Определим уравнение нормали в точке х0:}

Задание 3. Найти производную функции у = у(х), заданной параметрически: .

Решение:

,

,тогда

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

а)

б)

в)

Задание 5. Найти производную второго порядка функции у = f(x):

Задание 6. Вычислить скорость и ускорение движения при прямолинейном движении точки в момент времени t = t₀, если S = s(t) – закон движения, S –путь, t – время.

Скорость – первая производная расстояния по времени:

_{при t0 = 2:}

Ускорение – вторая производная расстояния по времени:

_{при t0 = 2}

Задание 7. Найти пределы, используя элементарные способы раскрытия неопределенностей или правило Лопиталя:

а)

б)

В соответствии с правилом Лопиталя:

• В задании опечатка, по логике вещей в знаменателе x²-1, а не х³ -1.

в)

Так как при х → 0 (второй замечательный предел), а также

первый замечательный предел, то

Задание 8. Построить график функции у =f(x), используя общую схему исследования функции. Определить абсолютный максимум и абсолютный минимум функции на отрезке [a,b]:

1) Область определения функции , точек разрыва нет;

Пересечение с осью х: у = -5.

Пересечение с осью у:

Тогда точки пересечения с осью у: х = -1, х = 5.

Функция – кубическая парабола - является нечетной (график функции обладает симметрией относительно изменения знака аргумента), не периодична.

2) Проведем исследование функции с помощью первой производной:

Определим критические точки:

,

,

Исследуемая функция монотонно возрастает на интервале и убывает на интервале .

3) Исследуeм функцию с помощью производной второго порядка, найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Следовательно, точка перегиба: (1;-16)

На интервале - функция выпуклая.

На интервале - функция вогнутая.

1

4) Определим асимптоты:

А) Вертикальные асимптоты:

Вертикальных асимптот нет (т.к. отсутствует такое значение х, при котором функция обращается в бесконечность).

Б) Наклонные асимптоты:

_{Построим график функции}

Функция непрерывна на отрезке [-2;2], поэтому имеет абмолютный минимум и абсолютный максимум. Данные для построения графика функции:

х	у
-2	-7
-1,5	-1,625
-1	0
-0,5	-1,375
0	-5
0,5	-10,125
1	-16
1,5	-21,875
2	-27
-2	-7
-1,5	-1,625
-1	0
-0,5	-1,375
0	-5

Как видно из графика, абсолютный максимум функция достигает в точке (-1; 0), а абсолютный минимум – в точке [2; - 27].