Контрольная работа №1
Вариант 4
Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C2 – 2CT -3C-1.
а = 2, b = 1, c = 6, d = 1.
,
,
,
Найдем обратную матрицу С-1.
Главный определитель:
∆=(2•18-(-1•2)=38
Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:
С11=(-1)1+1·18=18; С12=(-1)1+2·2=-2; С21=(-1)2+1·(-1)=1; С22=(-1)2+2·2=2;
Тогда обратная матрица имеет вид:
Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
Найдем матрицу R:
Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы
а = 2, b = 1, c = 6.
Решить систему уравнений тремя методами:
а) по формулам Крамера,
б) матричным методом,
в) Методом Жордана-Гаусса.
а) Решение СЛАУ методом Крамера:
Найдем главный определитель матрицы:
Δ = 4(12.(-6)-30.(-4))+3(6.12 – 30 .10) + 6(-4.6 – (-6) .10) = 192 +684+ 216 = -276.
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:
Δх1 = 3(24.12 – 36 .30) + 6(24.(-4) – 36 .(-6)) = -2376 + 720 = -1656.
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В
Δх2 = 4.(24.12 – 36 .30) + 6(6.36 –10 .24) = -3168 - 144 = -3312.
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В
Δх3 = 4.((-6).36-(-4).24) + 3(6.36 –10 .24) = -480 - 72 = -552.
Неизвестные переменные xi:
Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.
6.6 -6.12+30.2 = 24.
10•6 -4•12+12•2 = 36.
б) Решение матричным методом:
Найдем главный определитель матрицы:
Δ = -276 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.
Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:
Алгебраические дополнения.
A11 = (-1)1+1(12.(-6) – (-4).30) = -72 + 120 = 48,
A12 = (-1)1+2(12.(-3) – (-4).6) = -(-36 + 24) = 12,
A13 = (-1)1+3((-3).30 – (-6).6) = -90 + 36 = -54,
A21 = (-1)2+1(12.6 – 30.10) = 228,
A22 = (-1)2+2(4.12 – 6.10) = -12,
A23 = (-1)2+3(4.30 – 6.6) = -84,
A31 = (-1)3+1(-4.6 + 6.10) = 36,
A32 = (-1)3+2(-4.4 – 10.(-3)) = 14,
A33 = (-1)3+3(4.(-6) – 6.(-3)) = -6,
Обратная матрица:
Вектор результатов:
Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.
6.6 -6.12+30.2 = 24.
10•6 -4•12+12•2 = 36.
в) Решение методом Гаусса:
Составим расширенную матрицу:
Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
4 / 4 = 1 |
-3 / 4 = -0.75 |
6 / 4 = 1.5 |
0 / 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешающий элемент равен (-1.5).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
|
|
|
|
0 / -1.5 = 0 |
-1.5 / -1.5 = 1 |
21 / -1.5 = -14 |
24 / -1.5 = -16 |
|
|
|
|
Разрешающий элемент равен (46).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 |
x2 |
x3 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 / 46 = 0 |
0 / 46 = 0 |
46 / 46 = 1 |
92 / 46 = 2 |
x1 = 6
x2 = 12
x3 = 2
Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.
6.6 -6.12+30.2 = 24.
10•6 -4•12+12•2 = 36.
Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:
а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R3.
б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.
= (1,5,3)
= (2, 1, -1)
= (4, 2, 1)
= (31, 29, 10)
а) Система векторов линейного пространства образует базис в R3, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :
Вычислим определитель основной матрицы:
Δ = (1.1-2.(-1)) - 5(1.2 – (-1) .4) + 3(2*2-1*4) = 3 - 30 = -27.
Так как определитель матрицы не равен нулю (-270), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R3.
б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к .
Провели следующие преобразования:
1) к 3 столбцу прибавили 2 столбец;
2) из 2 столбца вычли 3 столбец;
3) разделили 3 строку на 3;
4) из 1 столбца вычли 8 3-х строк;
5) к 1 строке прибавили 2 строку;
6) 2 разделили на (-3).
7) Из второй строки вычли удвоенную первую строку;
7) Из третьей строки вычли удвоенную первую строку;
Матрица перехода имеет вид:
Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с1a1 + с2a2 + с3a3 = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = 91/9.9999999947364E-9
x2 = [-19 - (0.33x3)]/(-0.33333333)
x1 = [10 - ( - 0.93x2 + 0.7x3)]/0.22222222
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = 91/9.9999999947364E-9
x2 = [-19 - (0.33x3)]/(-0.33333333)
x1 = [10 - ( - 0.93x2 + 0.7x3)]/0.22222222
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Ответ. х = 57а2 + 282,5 а3
Задание 4.
Элементы матрицы С4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:
1. Считая матрицу С4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы
а) фундаментальную систему решений;
б) общее решение;
в) какое-нибудь частное решение.
Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= |
1 |
Модифицированная матрица :
|
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1= |
9 |
Модифицированная матрица :
|
Разделим строку 2 на a2,2 = |
-3 |
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= |
-7 |
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2= |
-27 |
Модифицированная матрица :
|
Разделим строку 3 на a3,3 = |
11 |
Получим матрицу :
|
Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3= |
33 |
Модифицированная матрица :
|
4-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :
|
Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3= |
1 |
Модифицированная матрица :
|
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= |
2 |
Модифицированная матрица :
|
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
x4 |
+ |
|
x5 |
= |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
- |
|
x4 |
+ |
|
x5 |
= |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
- |
|
x4 |
+ |
|
x5 |
= |
|
0 |
|