Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
дгту / запольская / математика / Математика к.р.1.docx
Скачиваний:
24
Добавлен:
19.05.2015
Размер:
246.48 Кб
Скачать

Контрольная работа №1

Вариант 4

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C2 – 2CT -3C-1.

а = 2, b = 1, c = 6, d = 1.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С-1.

Главный определитель:

∆=(2•18-(-1•2)=38

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С11=(-1)1+1·18=18; С12=(-1)1+2·2=-2; С21=(-1)2+1·(-1)=1; С22=(-1)2+2·2=2;

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = 2, b = 1, c = 6.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 4(12.(-6)-30.(-4))+3(6.12 – 30 .10) + 6(-4.6 – (-6) .10) = 192 +684+ 216 = -276.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δх1 = 3(24.12 – 36 .30) + 6(24.(-4) – 36 .(-6)) = -2376 + 720 = -1656.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δх2 = 4.(24.12 – 36 .30) + 6(6.36 –10 .24) = -3168 - 144 = -3312.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δх3 = 4.((-6).36-(-4).24) + 3(6.36 –10 .24) = -480 - 72 = -552.

Неизвестные переменные xi:

Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.

6.6 -6.12+30.2 = 24.

10•6 -4•12+12•2 = 36.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = -276 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A11 = (-1)1+1(12.(-6) – (-4).30) = -72 + 120 = 48,

A12 = (-1)1+2(12.(-3) – (-4).6) = -(-36 + 24) = 12,

A13 = (-1)1+3((-3).30 – (-6).6) = -90 + 36 = -54,

A21 = (-1)2+1(12.6 – 30.10) = 228,

A22 = (-1)2+2(4.12 – 6.10) = -12,

A23 = (-1)2+3(4.30 – 6.6) = -84,

A31 = (-1)3+1(-4.6 + 6.10) = 36,

A32 = (-1)3+2(-4.4 – 10.(-3)) = 14,

A33 = (-1)3+3(4.(-6) – 6.(-3)) = -6,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.

6.6 -6.12+30.2 = 24.

10•6 -4•12+12•2 = 36.

в) Решение методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (4).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

4 / 4 = 1

-3 / 4 = -0.75

6 / 4 = 1.5

0 / 4 = 0

Разрешающий элемент равен (-1.5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

0 / -1.5 = 0

-1.5 / -1.5 = 1

21 / -1.5 = -14

24 / -1.5 = -16

Разрешающий элемент равен (46).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1

x2

x3

B

0 / 46 = 0

0 / 46 = 0

46 / 46 = 1

92 / 46 = 2

x1 = 6

x2 = 12

x3 = 2

Проверка: 4.6 -3.12+6.2 = 0.

6.6 -6.12+30.2 = 24.

10•6 -4•12+12•2 = 36.

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R3.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (1,5,3)

= (2, 1, -1)

= (4, 2, 1)

= (31, 29, 10)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R3, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы:

Δ = (1.1-2.(-1)) - 5(1.2 – (-1) .4) + 3(2*2-1*4) = 3 - 30 = -27.

Так как определитель матрицы не равен нулю (-270), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R3.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к .

Провели следующие преобразования:

1) к 3 столбцу прибавили 2 столбец;

2) из 2 столбца вычли 3 столбец;

3) разделили 3 строку на 3;

4) из 1 столбца вычли 8 3-х строк;

5) к 1 строке прибавили 2 строку;

6) 2 разделили на (-3).

7) Из второй строки вычли удвоенную первую строку;

7) Из третьей строки вычли удвоенную первую строку;

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с1a1 + с2a2 + с3a3 = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x3 = 91/9.9999999947364E-9

x2 = [-19 - (0.33x3)]/(-0.33333333)

x1 = [10 - ( - 0.93x2 + 0.7x3)]/0.22222222

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x3 = 91/9.9999999947364E-9

x2 = [-19 - (0.33x3)]/(-0.33333333)

x1 = [10 - ( - 0.93x2 + 0.7x3)]/0.22222222

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Ответ. х = 57а2 + 282,5 а3

Задание 4.

Элементы матрицы С4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

1

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

-3

-3

4

-5

    

0

2

-3

4

-5

2

    

0

9

-9

6

-16

2

    

0

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

-3

-3

4

-5

    

0

0

-7

4

1

-2

    

0

9

-9

6

-16

2

    

0

Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1=

9

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

-3

-3

4

-5

    

0

0

-7

4

1

-2

    

0

0

-27

6

11

-16

    

0

Разделим строку 2 на a2,2 =

-3

Получим матрицу :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

-7

4

1

-2

    

0

0

-27

6

11

-16

    

0

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-7

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

0

11

-25

3

29

3

    

0

0

-27

6

11

-16

    

0

Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a4,2=

-27

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

0

11

-25

3

29

3

    

0

0

0

33

-25

29

    

0

Разделим строку 3 на a3,3 =

11

Получим матрицу :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

0

1

-25

33

29

33

    

0

0

0

33

-25

29

    

0

Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a4,3=

33

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

0

1

-25

33

29

33

    

0

0

0

0

0

0

    

0

4-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась). Редуцированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

1

-4

3

5

3

    

0

0

0

1

-25

33

29

33

    

0

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

1

Модифицированная матрица :

1

2

0

-3

2

    

0

0

1

0

-19

33

26

33

    

0

0

0

1

-25

33

29

33

    

0

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

2

Модифицированная матрица :

1

0

0

-61

33

14

33

    

0

0

1

0

-19

33

26

33

    

0

0

0

1

-25

33

29

33

    

0

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x1

-

61

33

x4

+

14

33

x5

=

0

x2

-

19

33

x4

+

26

33

x5

=

0

x3

-

25

33

x4

+

29

33

x5

=

0

Соседние файлы в папке математика