дгту / иванча / математика / М7 / Математика к.р.1.7

Контрольная работа №1

Вариант 7

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C² – 2C^T -3C^-1.

а = -1, b = 1, c = 3, d = -3.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С^-1.

Главный определитель:

∆ = ((-1)•9-2•3) = -15

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С₁₁=(-1)¹⁺¹·9=9; С₁₂=(-1)¹⁺²·2 = -2; С₂₁=(-1)²⁺¹·3=-3; С₂₂=(-1)²⁺²·(-1)=(-1);

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = -1, b = 1, c = 3, d = -3.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = -2(-36 + 60) + 3(-18 + 75) + 3(12 – 30) = -48 + 171 - 54 = 69.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δ_х1 = 3(-36 + 135) + 3(24 – 54) = 297 - 90 = 207.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х2 = -2^.(-36 + 135) + 3(27 – 30) = -198 - 9 = -207.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х3 = -2^.(54 - 24) + 3(27 –30) = -60 - 9 = -69.

Неизвестные переменные x_i:

Проверка: -2^.3 - 3^.(-3) + 3^. (-1)) = 0.

-3^. 3 - 6^.(-3) + 15^. (-1)= -6.

-5•3 - 4^.(-3) + 6•(-1)) = -9.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 69 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹(-36 + 60) = 24,

A₁₂ = (-1)¹⁺²(-18 + 12) = 6,

A₁₃ = (-1)¹⁺³(-45 + 18) = -27,

A₂₁ = (-1)²⁺¹(-18 + 75) = -57,

A₂₂ = (-1)²⁺²(-12 + 15) = 3,

A₂₃ = (-1)²⁺³(-30 + 9) = 21,

A₃₁ = (-1)³⁺¹(12 – 30) = -18,

A₃₂ = (-1)³⁺²(8 – 15) = 7,

A₃₃ = (-1)³⁺³(12 – 9) = 3,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: -2^.3 - 3^.(-3) + 3^. (-1)) = 0.

-3^. 3 - 6^.(-3) + 15^. (-1)= -6.

-5•3 - 4^.(-3) + 6•(-1)) = -9.

в) Решение методом Жордана-Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (-2).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (-2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
-2 / -2 = 1	-3 / -2 = 1.5	3 / -2 = -1.5	0 / -2 = 0

Разрешающий элемент равен (-1.5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / -1.5 = 0	-1.5 / -1.5 = 1	10.5 / -1.5 = -7	-6 / -1.5 = 4

Разрешающий элемент равен (23).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / 23 = 0	0 / 23 = 0	23 / 23 = 1	-23 / 23 = -1

x₁ = 3

x₂ = -3

x₃ = -1

Проверка: -2^.3 - 3^.(-3) + 3^. (-1)) = 0.

-3^. 3 - 6^.(-3) + 15^. (-1)= -6.

-5•3 - 4^.(-3) + 6•(-1)) = -9.

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R₃.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (1,3,2)

= (3, 2, 5)

= (-6, 5, -3)

= (12, -10, 6)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R₃, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы по третьей строке:

Δ = (-6 - 25) - 3(-9 + 30) + 2(15 + 12) = -31 - 63 + 54 = - 40.

Так как определитель матрицы не равен нулю (-400), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R₃.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к _.

Провели следующие преобразования:

1) к 3 строке прибавили 2*2 строки;

2) из 2 столбца вычли 3 столбец;

3) из 2 столбца вычли 1 столбец;

4) из 2 строки вычли 3 * 1 строки;

5) из 3 столбца вычли 2 * 1 столбец;

6) из 3 столбца вычли 1/6 * 2 столбец;

7) к 3 строке прибавили 1/3 * 2 строку;

8) 2 строку разделили на -6;

9) 3 строку разделили на 20/3;

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с₁a₁ + с₂a₂ + с₃a₃ = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-1.6666666). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 22.0000004/(-0.749999965555)

x₂ = [32 - ( - 0.0556x₃)]/0.33333332

x₁ = [12 - ( - 2x₃)]/1

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Ответ. х = -46,67a₁ + 91,11а₂ – 29,33а₃

Задание 4.

Элементы матрицы С_4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С_4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

2	3	11	5	5	0
1	1	5	2	3	0
3	2	8	4	5	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	1	1	1	-1	0
1	1	5	2	3	0
3	2	8	4	5	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	1	1	-1	0
0	1	7	2	4	0
3	2	8	4	5	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	1	1	-1	0
0	1	7	2	4	0
0	-2	-6	-5	1	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-6	-1	-5	0
0	1	7	2	4	0
0	-2	-6	-5	1	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	-6	-1	-5	0
0	0	8	-1	9	0
0	-2	-6	-5	1	0
3	4	14	9	4	0

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	-14	14	0
0	0	8	-1	9	0
0	-2	-6	-5	1	0
3	4	14	9	4	0

Окончательный вид системы следующий:

x₁ = - (4x₂ + 14x₃ + 9x₄ + 4x₅)/3

x₂ = (- 6x₃ - 5x₄ + x₅)/2

x₃ = (x₄ - 9x₅)/8

x₄ = x₅ 

x₅ - свободная переменная

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

Необходимо переменную x₅ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Найдем частное решение системы уравнений:

Приравняем переменную x₅ к 0

Из 1-ой строки выражаем x₄

Из 2-ой строки выражаем x₃

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

2. Считая матрицу С_4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной матрицы:

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 4.

Ответ: rang|А|=4

Определим ранг расширенной матрицы:

2	3	11	5	5
1	1	5	2	3
3	2	8	4	5
3	4	14	9	4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	1	1	1	-1
1	1	5	2	3
3	2	8	4	5
3	4	14	9	4

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	1	1	-1
0	1	7	2	4
3	2	8	4	5
3	4	14	9	4

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	1	1	-1
0	1	7	2	4
0	-2	-6	-5	1
3	4	14	9	4

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-6	-1	-5
0	1	7	2	4
0	-2	-6	-5	1
3	4	14	9	4

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	-6	-1	-5
0	0	8	-1	9
0	-2	-6	-5	1
3	4	14	9	4

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	-14	14
0	0	8	-1	9
0	-2	-6	-5	1
3	4	14	9	4